第三章功能原理和机械能守恒定律

第三章动量守恒定律和能量守恒定律1第三章功能原理和机械能守恒定律基本内容本章重点是掌握功和能等概念及其物理规律，并掌握这些规律的应用条件和方法。本章难点是所研究的系统的划分和选取、守恒定律条件和审核、综合性力学问题的分析求解。教学目的1.掌握功的概念，能够计算直线运动情况下变力的功。理解保守力作功的特点及势能的概念，会计算重力、弹性力和引力势能。2.掌握质点的动能定理，能正确地用于质点平面运动的力学问题。3.掌握运用机械能守恒定律分析问题的思想和方法，能分析简单系统在平面内运动的力学问题。牛顿定律表明，力的瞬时效应是受力物体获得加速度，而任何运动必定经历空间和时间.因此，应用牛顿定律于质点组，研究力作用的时间累积效应与空间累积效应，从中寻求某些规律，便成为动力学理论进一步向前发展的一个方向.在动力学定律的基础上引进一些新的概念和新的物理量，如动量、第三章动量守恒定律和能量守恒定律2能量和角动量等，就可进而得到关于这些量的新的规律，而直接用这些规律去分析质点的运动问题，往往比从运动定律出发更为方便。动量守恒和能量守恒不仅是力学也是物理学中各种运动所遵循的普遍规律，三四两章的主要内容有质点和质点系的动量定理和动能定理，外力与内力，保守力与非保守力等概念，以及动量守恒定律和机械能守恒定律。3-1动能定理一、功如有一质点在力F的作用下，沿图3-8所示的路径AB运动。设在时刻t、质点位于A，经过时间间隔td，质点的位移为rd。力F与质点位移之间的夹角为。在物理学中，功的定义是：力对质点所作的功为力在质点位移方向的分矢量与位移大小的乘积。按此定义，该力所作的元功为rFWdcosd（3-6a）从上式可以看出，当90o＞θ＞0o时，功为正值，即力对质点作正功；当90o＜θ≤180o时，功为负值，即力对质点作了负功。由于力F与位移rd均为矢量，从矢量的标积定义知，上式等号右边为F与rd标积，即rFddW（3-6b）质点由点A运动到点B，在这过程中作用质点上的力的大小和方向都可能在改变。为求得在这过程中变力所作的功。我们把路径分成很多段的多个位移元，使得在这些位移元内，力可近第三章动量守恒定律和能量守恒定律3似地看成是不变的。于是，质点从点A移到点B时，变力所作的功应等于力在每段位移元上所作元功的代数和，即BABArWWdcosddFrF（3-7）上式是变力作功的表达式。功常用图示法来计算。如图3-10所示，图中的曲线表示cosF随路径变化的函数关系。曲线下面的面积等于变力作功的代数值。在直角坐标系中，F和rd都是坐标x、y、z的函数，即kjiFzyxFFF和kjirzyxdddd因此式（3-7）亦可写成BAzyxBAzFyFxFW)ddd(drF（3-8）物理学上功的含义与一般情况下的工作含义是不同的，按照物理学上功的定义，如果一个人把40千克的重物提在手中一段时间，他并没有做功，然而，他会感到很累。显然，物理学上功的定义与生理学中功的定义不一样。那么为什么我们要取现在的定义去计算功呢？这是因为这样计算功是有意义的：作用在一个质点上的力所作的功，恰好等于该质点动能的变化。有时重要的问题不是能作多少功，而是作功的效率，即在单位时间内作多少功。单位时间所做的功称为功率：平均功率瞬时功率一般，汽车发动机的功率是恒定的（如原来的上海桑塔纳轿车，发动机的最大功率是66kW），因此在启动或爬坡时，因所需驱动力较大，司机总是调到低档驾驶。在国际单位制中，力的单位是牛顿（N），功的单位则为牛顿·米（N·m），通常把1牛顿·米称作1焦耳（J），功率的单位是焦耳/秒，也称瓦（W）。如果用瓦乘以时间就是所作的功，电力公司在计算每家用电量时，常采用千瓦·小时来计量用电量的多少，1千瓦·小时等于1千瓦乘3600秒，即3.6×106焦耳。tWPvFtWtWPtddlim0第三章动量守恒定律和能量守恒定律4课本44页例一例二二、质点的动能定理1质点的动能定理力对物体作功，则要使物体的运动状态发生变化。它们之间的关系如何呢？如图3-11所示，一质量为m的质点在合外力F作用下，自点A沿曲线移动到点B。它在点A和点B的速率分别为21vv和。设作用在位移元rd上的合外力F与rd之间的夹角为。由式（3-6）可得，合外力F对质点所作的元功为rFdWdcosdrF（3-9）由牛顿第二定律及切向加速度的定义,有tvmmaFddcost故可得vmvrtvmWddddd于是，质点自点A移动至点B这一过程中，合外力所作的总功为21dvvvmvW21222121mvmv（3-9a）我们把221mv叫做质点的动能，用kE表示，即2k21mvE这样，21k121mvE和22k221mvE分别表示质点在起始和终了位置时的动能。式（3-9a）可写成k1k2EEW（3-9b）上式表明，合外力对质点所作的功，等于质点动能的增量。这个结论就叫做质点的动能定理。k1E称为初动能，而k2E称为末动能。2关于质点的动能定理几点说明（1）对质点而言，W为合外力的功。（2）功与动能之间的区别和联系：区别：功与物体的状态变化过程相联系，为过程量，我们说物体在某一时刻或某一位置具有多少功，是没有任何意义的。动能决定于质点的运动状态，动能是状态量。第三章动量守恒定律和能量守恒定律5联系：外力持续作用在物体上，外力的功是动能变化的量度。按照质点动能定理的表达式可知，在合外力对物体作正功(W＞0)的过程中，物体在末态的动能大于始态的动能，反之，在合外力对物体作负功(W＜0)的过程中，物体在末态的动能小于始态的动能，这时物体反抗合外力作功，或者说，物体克服施力物体的作用力作了正功，使物体减少或损失动能。所以，物体动能的改变可用功来量度。（3）动能定理仅适用于惯性系。（4）动能定理提供了一种计算功的简便方法.（5）功和动能具有相对性，但KWE具有相对不变性.课本46页例三例题3-1.一质量为m的质点在沿x轴方向的合外力作用下（其中，,k为正的恒量），从x=0处自静止出发，求它沿x轴运动时所能达到的最大速率。解：按题设，质点由x=0处沿x轴运动到任一位置x的过程中，合外力所作的功为利用质点动能定理的表达式，考虑到初动能为零，则有即质点的动能为第三章动量守恒定律和能量守恒定律6可见，质点的动能随位置x而改变，令,则得质点所具有的最大动能为按质点的动能定义，则相应的最大速率为例题3-2如图，质量为M的卡车载一质量为m的木箱，以速率v沿平直路面行驶.因故突然紧急刹车，车轮立即停止转动，卡车滑行一定距离后静止，木箱在卡车上相对于卡车滑行了l距离,卡车滑行了L距离.求L和l.巳知木箱与卡车间的滑动摩擦系数为1，卡车轮第三章动量守恒定律和能量守恒定律7与地面的滑动摩擦系数为2.解：解法一（用质点动能定理求解）只有卡车和木箱二者间摩擦力f、'f和地面对车的摩擦力F做功，三力之受力质点位移各为L、L+l、L。根据质点动能定理得解得解法二（用质点系动能定理求解）①221210MvLgMmmg②21210mvlLmgLgvlgmmMMvL121222第三章动量守恒定律和能量守恒定律8视卡车与木箱为一质点系.外力F做功2()MmgL，内力做功等于力与相对位移的标积，即根据质点系动能定理，有又视木箱为质点，得上面②式.②③联立得与上法相同结果.注意：⑴卡车与木箱之间相互摩擦力做的功并不等值，表明一对内力之功并不一定等值反号.⑵滑动摩擦力做正功或负功，必须在搞清楚力和相对于一定参考受力点位移的基础上作具体分析.但一对滑动摩擦力所做功的代数和却总是负的.三、思考题mgl1③22121vmMgLmMmgl第三章动量守恒定律和能量守恒定律91合外力对物体所作的功等于物体动能的增量，那么，其中某一个分力作的功，能否大于物体动能的增量？2质点的动量和动能是否与惯性系的选取有关？功是否与惯性系有关？质点的动量定理和动能定理是否与惯性系有关？3-2保守力与非保守力势能一、万有引力、重力、弹性力作功的特点1万有引力作功如课本图3-13所示，有两个质量为mm和的质点，其中质点m固定不动。取m的位置为坐标原点，A、B两点对m的距离分别为mrrBA,和经任一路径由点A运动到点B，万有引力作的功为计算万有引力作功设在某一时刻质点m距质点m的距离为r，其位矢为r，这时质点m受到质点m的万有引力为r2eFrmmGre为沿位矢r的单位矢量，当m沿路径移动位移元rd时，万有引力作的功为rerFdddr2rmmGW从图可以看出rdcosdcosddrrrrere于是，上式为rrmmGWdd2所以，质点m从点A沿任一路径到达点B的过程中，万有引力作的功为第三章动量守恒定律和能量守恒定律10BArrBArrmmGWW2d1d即)11(ABrrmmGW（3-10）上式表明，当质点的质量mm和均给定时，万有引力作的功只取决于质点m的起始和终了的位置，而与所经过的路径无关。这是万有引力作功的一个重要特点。2重力作功如图3-14所示，一个质量为m的质点，在重力作用下从点A沿ACB路径至点B，点A和点B距地面的高度分别为21yy和，因为质点运动的路径为一曲线，所以重力和质点运动方向之间的夹角是不断变化的。我们把路径ACB分成许多位移元，在位移元rd中，重力P所作的功为rPddW若质点在平面内运动，按图所选坐标，并取地面上某一点为坐标原点O，有jiryxddd且jPmg。于是，前式为ymgyxmgWd)dd(djij质点由点A移至点B的过程中，重力作的总功为)(d1221yymgymgWyy即12mgymgyW（3-11）上式表明，重力作功只与质点的起始和终了位置有关，而与所经过的路径无关，这是重力作功的一个重要特点。3弹性力作功如图3-15所示是一放置在光滑平面上的弹簧，弹簧的一端固定，另一端与一质量为m的物体相连接。当弹簧在水平方向不受外力作用时，它将不发生形变，此时物体位于点O（即位于0x处），这个位置叫做平衡位置。现以平衡位置O为坐标原点，向右为Ox轴正向。弹簧伸长量由1x变到2x时，计算弹性力对物体的作的功为第三章动量守恒定律和能量守恒定律11若物体受到沿Ox轴正向的外力F作用，弹簧将沿Ox轴正向被拉长，弹簧的伸长量即其位移为x。根据胡克定律，在弹性限度内，弹簧的弹性力F与弹簧的伸长量x之间的关系为iFkx式中k称为弹簧的劲度系数。在弹簧被拉长的过程中，弹性力是变力。但弹簧位移为xd时的弹性力F可近似看成是不变的。于是，弹簧位移为xd时，弹性力作的元功为iiiixFxkxxkxWdddd有xkxWdd这样，弹簧的伸长量由21xx变到时，弹性力所作的功就等于各个元功之和。由积分计算可得21ddxxxxkWW)2121(2122kxkxW（3-12）式中k为弹簧的劲度系数。从式（3-12）可以看出，对在弹性限度内具有给定劲度系数的弹簧来说，弹性力作的功只由弹簧起始和终了的位置（1x和2x）决定，而与弹性形变的过程无关。二、保守力与非保守力保守力作功的数学表达式从上述对重力、万有引力和弹性力作功的讨论中可以看出，它们所作的功只与物体（或弹簧）的始、末位置有关，而与路径无关。这是它们作功的一个共同特点。我们把具有这种特点的力叫做保守力。除了上面所讲的重力、万有引力和弹性力是保守力外，电荷间相互作用的库仑力和原子间相互作用的分子力也是保守力。保守力作功与路径无关的特性还可以用另一种方式来表示：物体沿任意闭合路径运动一周时，保守力对它作功为零，即0drFW（3-13）式（3-13）是反映保守力作功特点的数学表达式。然而，在物理学中并非所有的力都具有作功与路径无关这一特点，例如常见的摩擦力，它所作的功就与路径有关，路径越