高等工程流体力学(新)

高等工程流体力学授课教师：内容概要•粘性流体流动现象•粘性流体流动性质•粘性流动的基本方程•粘性流动的若干特解•边界层理论•湍流模型理论•流动问题的数值解初步第一章粘性流体流动现象自然界固有的流动现象自然的流动现象人类的利用第二章粘性流体的性质2-1假设条件：流体是连续介质流体是均质不可压缩的各向同性牛顿流体流体是每一瞬时流体质量处于准热平衡态流体中的热传导过程服从傅里叶定律2-2粘性流体不同于无粘性流体的特点：1.粘性流体运动的有旋性2.粘性流体运动机械能的耗散性3.粘性流体运动中涡旋的扩散性第三章粘性流动的基本方程3-1研究流体运动的两种方法（两种参考坐标系）（1）拉格朗日法：跟随流体质点去研究流体运动的方法。独立变量为ξ，t。位置向量速度向量加速度向量下标ξ表示是ξ所标志的流体质点。),()(321txxxxx，，)(),,(321txuuuuu)(),,(22321txaaaaxx2x1x3xt=tt=t0（2）欧拉法：着眼于从空间坐标去研究流体流动。独立变量为,t。速度向量加速度向量注意：一切流体运动的力学属性均是流体质点的属性而不是空间点的属性。流体质点位于空间点上从而流体质点的运动属性为时间和不依赖于时间的空间坐标的函数。),,(321xxxx),(txuu),(txaaF(x,t)F(x+δx)(t+δt)研究欧拉空间场中某一运动属性F的变化率必须跟踪一个固定的流体质点。F可以代表速度密度温度等流体运动的各种力学属性。)],([txFdtddtdF]),,([),(ttxFtxF)()()(1,,132txxFtFtxxx)()()()(,2131,2,,2tFtFtxxFtxxtxx称为F的物质导数或成为随体导数，它是以欧拉空间坐标所表示的流体质点的运动属性对时间的全导数。物质导数写为向量的形式：（3-1）式中：1第一项为F的当地变化率，是在某一点x处F随时间t的变化率，是由流动的不恒定性引起的。2第二项为F的迁移变化率，是由流畅的不均匀性引起的。FutFxFutFdtdFii)(•两种流动描述方法之间的关系欧拉方法在数学处理上的最大困难是方程式的非线性，而拉格朗日方法中的加速度项则为线性。直接应用拉格朗日型的基本方程解决流体力学问题是困难的，因此在处理流动问题时，常常必须用拉格朗日的观点而却应用欧拉的方法。为此引用雅可比行列式建立两种系统之间的变换关系。（3-2）拉格朗日变量与欧拉变量可以互换的唯一条件是：雅可比行列式的时间导数：（3-3）jixtJdet)(.0)(tJJuxudtdJii)(3-2雷诺输运方程用欧拉导数表示一个流体系统的拉格朗日变化率，即为雷诺输运方程。取定一个系统在流动过程中t=t时所占据的空间作为控制体V(t)。系统在t=t0所占据的控制V0=V(t0)作为识别这一系统的标志。令，则（3-4）系统所具有的某种运动要素对时间的全导数推导为：式中F代表该运动要素的体积分布密度。0321321)(JdVJddxdxdxtdV3213210)(,dxdxdxtdVddV000000)()(VVVtVdVdtdJFdtdFJdVFJdtdFJdVdtdFdVdtddVuFdVtFdVuFtFdVuFFutFdVuFdtdFdVJuFdtdFJtVtVtVtVtVtV)()()()()(0)()()()()(）（）（由高斯公式得：（3-5）可见系统对时间的全导数，即系统的物质导数是由两部分组成的，其中是由于流场中F的不恒定性所引起的整个控制体内所含物理量在单位时间内的增量。表示在单位时间内，流体通过控制体表面S(t)而引起的控制体内物理量的变化，也就是系统由一个位置流动到另一个位置时，由于流场不均匀性而引起的迁移变化率。可以看出，雷诺输运方程（3-1）与（3-5）式所表示的物质导数从本质上讲是相同的，只不过是雷诺输运方程是以系统的流动作为研究的对象而物质导数式研究流体质点的运动，因此可以说输运方程是流体质团的物质导数。dSnuFdVtFFdVdtdtVtstV)()()()(tVdVtF)(tVFdVdSnuFts)()(tVFdV)(tVFdV3-3连续方程连续方程是质量守恒原理在流体运动中的表现形式。系统的质量为：质量守恒要求：（3-6）此即拉格朗日型的积分形式的连续方程。应用输运方程：（3-7）或写为：则为欧拉形式的积分形式的连续方程。为通过控制体表面积的物质通量，此式对于流动中的任何一个体积都是适用的，即V(t)时任一选取的，因此得：（3-8）为微分形式的欧拉型连续方程式。)(tvdVm0)(tVdVdtddtdm0)()()(dVutdVdtdtVtVdSnudVttVts)()(dSnuts)(00)(utut或3-4雷诺第二输运方程应用输运方程时，如把(ρF)看作某一物理量，则：右侧第二，三两项可写为，由（3-8）式此项为零。（3-9）此式即为雷诺第二输运方程。）（）（tt)())(()(VVdVuFdtdFdtdFdVuFdtFd)()(tVdVFdtd)(udtdF）（tVdVdtdF)()(tVdVFdtd3-5动量方程动量方程是动量守恒原理在流体运动中的表现形式。运动着的流体微团的动量可表示为：动量守恒原理要求流体系统的动量变化率等与该系统上的全部作用力：在流体运动中作用力F包括：（1）体积力(包括质量力)：是作用于流体质量上的非接触力。这种力可以穿透到流体的内部而作用于每一流体质点上。体积力可以表示为。其中为单位质量力，为单位体积力。（2）面积力：为流体或固体通过接触面二十家在另一部分流体上的力。它是流体在运动过程中作用在流体内部假想的面积上的由于流体的变形和相互作用而在流体内部产生的各种应力，或者是流动的固体边界对流动所施加dVudmuFdVudtdtV)(Vfff的面积力。设单位面积上的面积力为p，它是空间坐标x,时间t，和作用面外法线方向n的函数，n为单位法线向量。令下标1，2，3分别表示在x1,x2,x3轴上的分量。流场中某一坐标点处，某一时刻t时的流体面积力，由于它是向量的一个向量函数，所以可以写为9项：（3-10）一点的应力状态常用应力张量来表示，下标中I表示作用面的外法线方向，j表示面积力的方向。为空间点坐标及时间t的函数。（3-11）写为张量形式为或（3-12）),,(),,(321321nnnnppppn333223113333222211223312211111nnnpnnnpnnnp333231232221131211ijijijijnpjjiinp于是动量方程式可写为：此即为拉格朗日型积分形式的动量方程。右侧第一项为体积力，第二项为面积力。由雷诺第二输运方程，此式改为：即欧拉型积分形式的动量方程。此时也可写为:由高斯公式，右侧第二项的面积分写为体积分的形式：由于V(t)是任取的一个控制体体积，可得微分形式的欧拉型动量方程为：（3-13）向量形式为：（3-14）)()()(tStVtVdSpdVfdVudtd)()()(tStVtVdSndVfdVdtud)()()(tSjijtVitVidSndVfdVdtdu)()()(tVjjitVitVidVxdVfdVdtdujjiiixfdtdufdtud3-6能量方程能量方程是能量守恒原理在流体运动中的表现形式。令e代表单位质量流体所具内能，则为单位体积流体所具内能。代表单位体积动能，从而单位体积流体所包含的总能量。能量守恒原理可表示为：单位时间内外力作功为：由高斯公式，表面力作功可写为积分形式：式中I=1,2,3,j=1,2,3。单位时间内传入系统的热量为：e22121uuu221ueE由外界传入系统的能量外力对系统做功dVuuedtdtV)(21dSundVuftStV)()()(dVuxdSundSunijitVjijitSjtS)()()()()(（1），Q表示由辐射或化学能释放等因素而产生的系统内单位体积流体热量的增量。（2），q为热通量向量，负号表示热的流通与外法线方向相反，即热量进入系统。应用雷诺第二输运方程即得欧拉型能量方程的积分形式：（3-15）能量方程的微分形式为：（3-16）向量形式为：（3-17）)(tVQdVdSnqtS)(ndVqxdSnqtViitS)()()(])([tViijijiidVxqQuxufdVuuedtddVuuedtdiitVtVii2121)()(jijijijjiiiiiixqQxuxuufdtduudtdeqQupdted3-7纳维-斯托克斯方程微分形式的动量方程为：（3-18）当容积粘度。由牛顿流体本构方程式得到：（3-19）将（3-19）代入（3-13）式得：（3-20）此即牛顿流体的运动方程，称为纳维-斯托克斯方程，简称N-S方程。这一方程于1821年由法国力学家纳维提出，1845年英国力学家斯托克斯完成最终的型式。jjiiixfdtdu32,0vijijijeup2)32()]([)32(ijjijiiixuxuxupxfdtdu当为常数时（3-21）对于不可压缩流动，，则（3-22）对于不可压缩的理想流体，，则为欧拉方程（3-23）)()(322uxxxuuxxpfdtduijjiiiii)](31[2uxxxuxpfijjiii0uupfdtudxxuxpfdtdujjiiii22或0,0upfdyud3-8纳维-斯托克斯方程的边界条件和初始条件3-3-1边界条件在连续介质假定下，由试验所确定的粘性流动的边界条件为：在流体与固体的交界面处流体与固体无相对滑移。当然从分子的尺度看滑移是可能的，但这种滑移只限于其厚度只有一个分子平均自由程量级的薄层内。1固定边界处如果固定边界的速度为U,则流动的边界条件为：u=U（3-24）在无穷远处，流场应与未扰动流体的状态相衔接，如未扰动流体为静止状态，则当时，考虑热效应，则一般边界条件为：在边界处，温度T为常数或边界温度梯度为常数，n为边界外法线方向。0,uxnT2两种液体的分界面在分界面两侧其速度,压强与温度均相等，即（3-25）摩擦力和通过分界面的热传导量也相等，即（3-26）（3-27）式中K1K2分别为两种液体的导热系数。3液体和气体的分界面最常见的为液体与大气的分界面，称为自由水面。其边界条件为：212121,,TTppuu22112211)()()()(nTKnTKqnunu