第三章交流电路

第三章交流电路3.1正弦交流电的基本概念正弦量：按正弦(余弦)规律变化的电压、电流称为正弦电压、电流，统称为正弦量周期T：重复变化一次所需的时间（单位：s，秒）频率f：每秒重复变化的次数（单位：Hz，赫(兹)）正弦量三要素：幅值(振幅、最大值)Im：反映正弦量变化幅度的大小。角频率：相位变化的速度，反映正弦量变化快慢初相位：正弦量的计时起点的相位（相位差：两个相同频率正弦量之间的相位之差称为相位差）周期电流：随时间作周期变化的电流。周期电流瞬时值的表达式是时间的周期函数，它应该满足i=f(t)=f(t+T)。交变电流：在一个周期内平均值为零的周期电流。正弦交流电：在电力和电子技术中普遍使用正弦交流电，其瞬时值一般表达式为u=Umsin(ωt+φu),i=Imsin(ωt+φi),其中，Um,Im分别表示电压和电流的最大值。正弦交流电每完成一个循环，在时间上是经过一个周期T，正弦函数的角度变化2π弧度（rad）。交流电的有效值：设有交流电流i通过一个电阻R，在一个周期内产生的热量为Qa，若与一个直流电流I通过相同电阻R在相同时间内产生的热量Qd相等，则这一直流电的值就称为该交流电流的有效值。交流电流i通过电阻R时，在一个周期T内产生的热量与直流电流I在相同时间内通过的电阻R产生的热量相同，则Im=√2I≈1.414IUm=√2U≈1.414U交流电压表与交流电流表测量的数据为有效值,交流设备铭牌标注的电压、电流均为有效值。3.2正弦量的相量表示法正弦量的相量表示法：一个复数由模和幅角两个特征量确定一个正弦量具有幅值、频率和初相位三个要素.将几个同频率的正弦量用相应的矢量来表示并画在同一个坐标平面上，这样的图叫做矢量图。矢量图可以简单而明确地表示同一电路中各个电压（电流）的大小和相位关系，并可以进行正弦量的加减运算。矢量可以用复数表示，所以用矢量表示的正弦量也可以用复数表示。采用复数坐标，实轴与虚轴构成的平面称为复平面。A=a+jb，a为实部，b为虚部。复数的模复数的辐角实部虚部复数还可以写成或者如果用复数表示正弦量，则复数的模即为正弦量的幅值，复数的幅角即为正弦量的初相位。我们把表示正弦量的复数称为相量，并用大写字母加上点表示复数的基本形式三角式指数式22baAabψarctanψAacosψAbsinψeAAjψAAψUUψUeUjψAψAAsinjcosψAAje极坐标式基尔霍夫定律不仅适用于直流电路，对于随时间变化的电压与电流，在任何瞬间都是适用的。基尔霍夫电流定律和基尔霍夫电压定律的一般形式为在正弦交流电路中，各个电压与电流都是同频率的正弦量，基尔霍夫定律可以用相量形式来表示。3.3单一元件参数电路电阻电路：若由欧姆定律得瞬时功率p：瞬时电压与瞬时电流的乘积由此可见，电阻吸收的瞬时功率由两部分组成，第一部分是常数UI，第二部分是幅值为UI，并以2ω的角频率随时间变化的交变量UIcos2ωt。电阻所吸收的瞬时功率在任何瞬时总是大于或等于零的，这说明电阻是耗能元件。通常所说的正弦电流电流的功率是指一个星期内的平均功率，又称有功功率。P=UI，这里U与I是电压与电流的有效值。电感电路：电压与电流的关系若可见，电感电压u与电流为同频率的正弦量，且电压的相位超前电流90度，其大小关系为U=ωL，电感电压U与电流I的比值用Xl表示，ψAA0)(0)(tutitωIisin2iRutωIRusinmtωRIsin2tωUutωIisin2sin2iuptωIU2mmsin)2cos(121mmtωIUtiLeuLddtωIisin2ttωILud)sin2d(则)90(sin2tωLIω)90(sin2tωU即Xl=ωL=2πfL，称为感抗，单位为欧姆。感抗反映了电感阻止正弦电流通过的能力。Xl与电感量L和f成正比，在L一定下，频率越高，电感对电流的阻碍能力越大，在极端情况下，若f无穷大，则电感视为开路。若f=0，直流状态下电感视为短路。电容电路:电流与电压的关系若则可见，电容电流与电压是同频率的正弦量，且电流相位超前电压90度，两者的大小关系为Um=Im/ωC令Xc称为电容的容抗，单位为欧姆，容抗反映了电容阻止正弦电流通过的能力。Xc与电容量C和频率f成反比，在C一定时，频率越高，电容对电流的阻碍能力越小。在极端情况下，若f无穷大，电容可视为短路。电容电压与电流之间的关系它既表明电压有效值是电流有效值的ωC分之一倍，有标明电压相位之后电流90度。电容电路吸收的瞬时功率为p=UIsin2ωt，而平均功率P=0，即电容电路也不消耗功率，只与电流进行功率交换，其最大值为UI。3.4简单的正弦交流电路RLC串联交流电路:设有正弦电流i=Imsinωt通过，则R,L,C分别压降RImsinωt，XlImsin（ωt+90°），XcImsin（ωt-90°），对应的相量tuCtqiddddtωUusin2tωωUCtuCicos2dd)90sin(2tωCωUCfπCωXC211IωCIIXUCj1ωC1jj形式为由KVL得式中，X=Xl-Xc，它是感抗与容抗之差，称为电抗，单位为欧姆，而Z=R+jX=R+j(Xl-Xc)，称为电路的复阻抗，简称阻抗。实部为电阻，虚部为电抗。它表示了电路中电压与电流的关系。阻抗是复数，但不是表示正弦量，所以大写字母上面不加“点”。复阻抗的模复阻抗的辐角称为阻抗角R，X，〡Z〡三者之间构成直角三角形，称为阻抗三角形。可见，复阻抗的模等于电压与电流有效值之比，其单位为欧姆，而幅角ψ就等于电压对电流的相位差。当XLXC时，X0，电路呈电感性，称为感性电路。当XLXC时，X0，电路呈电容性，称为容性电路。阻抗的串联和并联：阻抗的串联可以看出，这里的分析方法和结论与直流电阻电路串联很类似。与直流电阻电路类似，Z称为等效阻抗。00IRUR00jIXULL00jIXUCCIZIXRIXXRIXIXIRUUUUCLCLCLR)j()]j([jj2222)1-(ωCωLRXRZRXarctaniuψψIUIUZIUZiuψψIZZIZIZUUU)(21212121ZZZ分压公式：显然，多个阻抗串联时的等效阻抗为Z=Z1+Z2+Z3+….阻抗的并联：得到2个阻抗并联时等效阻抗为分流公式：导纳：复阻抗的倒数称为复导纳，简称导纳。当并联支路较多时，应用导纳计算比用阻抗计算要简单。可见复导纳的模与复阻抗的模互为倒数，复导纳的辐角是复阻抗辐角的负数。复导纳并联时3.6正弦交流电路的功率瞬时功率：设负载电流为i=Imsinωt，负载电压为u=Umsin（ωt+ψ）式中ψ为电压与电流的相位差。该电路中负载吸收的瞬时效率为平均功率：在一个周期内，电路所吸收的瞬时功率的平均值称为平均功率，又叫做有功功率，即有效功率不仅与电压，电流的有效值的乘积有关，而且与电压电流的相位差有关，对于正弦交流电路来说，计算功率比直流电路多了一个cosψ，它是电压与电流相位差的余弦，称为功率因数角，功率因数UZZZU2111UZZZU2122212121212111RRRRUZZUZUZUIII2121ZZZZZIZZZI2121IZZZI2112ZY1ZZZ111321YYYY)t(UI-UItωItωUiup2coscossin)(sinmmcos)]d(2coscos[1d100UIttωUIUITtpTPTT的大小取决于电路参数。在纯电阻情况下，ψ=0，cosψ=1，P=UI；在纯电感或纯电容情况下，ψ的绝对值=2/π，cosψ=0，P=0；而在既有耗能元件，又有储能元件的情况下，0ψ的绝对值2/π，0cosψ1,PUI。视在功率和无功功率：在正弦交流电路中，电压有效值与电流有效值的乘积称为视在功率，单位是伏安（VA)，即S=UI。在工程上还引入无功功率的概念，用表示，单位为乏(var)。即Q=UIsinψ。无功功率的量纲和有功功率，视在功率相同。可以使正值，也可以是负值。电感性电路电流滞后电压，φ0，Q0，无功功率Q为正值；电容性电路电流超前电压，φ0，Q0，无功功率Q为负值。对于纯电感电路，φ=90°，于是无功功率为QL=UIsin90°=UI，对于纯电容电路，φ=-90°，Qc=UIsin（-90°）=-UI，对于纯电阻电路，φ=0°，Qr=0.由上式可得视在功率，无功功率，有功功率之间的关系为P=Scosφ，Q=Ssinφ，S=√P*P+Q*Q。三者之间构成一个直角三角形，称为功率三角形。3.7正弦交流电路中的谐振交流电路中电压与电流一般会有相位差。调节信号源频率或者元件参数，使得电压与电流同相位，这种现象称为谐振。串联谐振：发生在RLC串联电路中的谐振称为串联谐振。其阻抗为Z=R+j（Xl-Xc）。若电路处于谐振状态，阻抗应为纯电阻，必须满足若电路处于谐振状态，阻抗应为纯电阻，必须满足0CLXX发生谐振时的角频率为谐振频率为串联谐振电路主要的特点是：（1）电流与电压同相位，电路呈现电阻性。（2）串联阻抗最小，电流最大，由于Z=R，故电流为（3）电感电压与电容电压大小相等相位相反，之和为零，电阻电压等于电源电压。（4）谐振时电感电压与电源电压之比称为品质因数，用Q表示（前面用同样的符号Q表示了无功功率）电感电压与电容电压有可能远远大于电源电压。并联谐振：发生在RLC并联电路中的谐振称为并联谐振。若电路处于谐振状态，电流与电压同相位，阻抗应为纯电阻，必须满足发生谐振时的角频率为谐振频率为并联谐振电路主要的特点是：（1）电流与电压同相位，电路呈现电阻性。（2）并联阻抗最大，电流最小，由于Z=R，故电流为（3）电感电流与电容电流大小相等相位相反，之和为零补偿，电路总电流等于电阻电流。（4）谐振时电感电流与总电流之比称为品质因数，用Q表示（前面用同样的符号Q表示了无功功率）电感电流与电容电流有可能远远大于电源电流。01CLLC1ω0LCf210RUIRLRILIUUQL00ULCjRIIIICLR1101LCLC1ω0LCf210RUILRRULUQ00