第三章函数的极限

第三章函数的极限1．用极限定义证明下列极限：(1)2131lim29xxx；(2)2331lim69xxx；(3)11lim21xxx；(4)1(2)(1)lim03xxxx；(5)22lim53xx；(6)21(1)1lim21xxxx；(7)23lim9xxx；(8)1lim12xxx；(9)2lim1xxxx；(10)225lim11xxx.2．用极限的四则运算法则求下列极限：(1)2201lim21xxxx；(2)2211lim21xxxx；(3)3230(1)(13)lim2xxxxx；(4)21limxxxx；(5)312lim3xxx；(6)22356limxxxxx；(7)11lim1nmxxx（,nm为正整数）；(8)4123lim2xxx.3．设()0fx，证明：若0lim()xxfxA，则0lim()nnxxfxA，其中正整数n.4．证明：若0lim()xxfxA，则0lim|()|||xxfxA，但反之不真.5．求下列函数字所示点的左右极限：(1)21,()1,2,1,xfxxxx在=1x；(2)21sin,(),xxfxxxx在=0x；(3)2||1(),1xfxxx在=0x；(4)11()[],fxxx在1=xn，n是正整数；(5)2,()0,,0,xxfxxxx在=x.6．求下列极限：(1)221lim21xxxx；(2)57lim2xxxx；(3)2lim(1xxx；(4)2lim(1xxx；(5)223limxxxx；(6)2sinlim4xxxx；(7)coslimxxxx；(8)lim1xxxxx.7．用变量替换求下列极限：(1)01lim[]xxx；(2)0limln(0)axxxa；(3)lnlim0axxax；(4)1limxxx.8．设()fx在(,)a上单调上升，limnnx，若lim()nnfxA，求证：lim()xfxA（A可以为无穷）.9．设()fx在集合X上定义，则()fx在X上无界的充要条件是：存在,nxX1,2,n，使lim()|nfx.10．利用重要极限求极限：(1)0sin2limxxx；(2)220sinlim(sin)xxx；(3)0tan3limsin5xxx；(4)302sinsinlimxxxx；(5)20cos5cos3limxxxx；(6)30tansinlimxxxx；(7)0arctanlimxxx；(8)0sin4lim11xxx；(9)201coslim1cosxxx；(10)0cos(arccos)limxnxnx为奇数；(11)4tan1lim4xxx；(12)sinlim,sinxmxmnnx（为整数）；(13)2coslim2xxx；(14)1limsinxxx；(15)lim[coscos]xnn；(16)2limsin(1)xnn为整数；(17)limxxx－；(18)10lim(1)xxnxn为整数；(19)cot0lim(1tan)xxx；(20)101lim()1xxxx；(21)2132lim()31xxxx；(22)tan2lim(sin)xxx；(23)2221lim1xxxx；(24)lim1nxnxn.11．证明01limcosxx不存在.12．证明0lim()xxDx不存在，其中1,(),.xDxx为有理数，为无理数13．求极限limcoscoscos242nnxxx.14．用定义证明：(1)若lim()xafx，lim()xagxA，则lim()()]xafxgx；(2)若lim()xafx，lim()xagxA，则lim()()]xafxgx.15．若lim()xfxA，lim()xgxB，证明：lim()()]xfxgxAB.16．证明lim()xfxA的充要条件是：对任何数列()nxn，有(()nfxAn.17．证明0lim()xxfx的充要条件是：对任何数列0()nxxn，有(()nfxAn.18．设函数()fx在(0,)上满足方程(2)()fxfx，且lim()xfxA，证明：(),(0,)fxAx.