第三章向量线性关系秩

第三章向量线性关系秩基本要求：1.理解n维向量的概念.2.理解向量组的线性组合、线性相关、线性无关的概念.3.掌握向量组的线性相关、线性无关的有关性质及判别方法.4.了解向量组的极大线性无关组和向量组的秩的概念，会求向量组的极大线性无关组及秩.一、向量及其运算1.向量向量是用有序数组表示的既有大小又有方向的量，又称矢量.n维向量有两种表示形式：12naaa或12,,,naaa.前者称为n维列向量，后者称为n维行向量.列向量常记作a、或a、或等.有大小无方向的量，称为数量或标量.注：列向量可视为或等同于列矩阵，行向量可视为或等同于行矩阵2.向量运算及其运算规律零向量、负向量(1)运算①相等②加法③数乘④转置若12naaaa，则12,,,Tnaaaa.⑤内积(向量与向量的乘法)(见下一章)注：相等、加法、内积运算要求向量同型、同维.向量没有“逆”运算，即向量没有逆向量.(2)运算规律同矩阵的运算规律，故略.定义了加法与数乘法两种运算的所有n维列(行)向量的全体构成一个所谓的n维线性空间(见第五章)，亦称向量空间.以下讨论一般在n维向量空间中进行.3.应用用向量表示线性方程组11112211211222221122,,.nnnnnnnnnnaxaxaxbaxaxaxbaxaxaxb(1)设12(1,2,,)iiiinaaaina，12nbbbb，则方程组(1)可表示为1122nnxaxaxab.(2)作业：P631.2.二、向量组的线性关系1.基本概念定义1若存在一组数skkk,,,21使1122sskkk，(3)则称向量可由向量组12,,,s线性表示，也称向量是向量组12,,,s的一个线性组合.例如：3112210表明23可由向量组0111，线性表示.例如：10532436327是1052,3,6327的一个线性组合，而1052236327是1052,3,6327的另一个线性组合.其实，可以利用(分块)矩阵乘积的形式表示(3)式：sskkk2121),,,(.(当12,,,s为列向量时)或sskkk2121),,,(.(当12,,,s为行向量时)定义2若存在一组不全为零的数skkk,,,21使1122sskkk.(4)则向量组12,,,s称为线性相关.不线性相关的向量组称为线性无关.定义2表明，向量组12,,,s线性相关仅当齐次线性方程组1122ssxxx有非零解skkk,,,21.定义2表明，向量组12,,,s不线性相关，若对于任意一组不全为零的数skkk,,,21总有sskkk2211.换句话说，1122sskkk成立仅当021skkk.例如：3112210，表明向量组311,,210线性相关.0700230321321kkk，即齐次线性方程组0723032001321kkk当且仅当1230kkk，所以向量组1002,3,0327线性无关.2.基本结论(1)向量组12,,,s线性相关12,,,s中至少有一个向量可由其它向量线性表示.P55证向量组12,,,s线性无关12,,,s中任意一个向量不能由其它向量线性表示.证(2)向量组12,,,s线性相关齐次线性方程组1122ssxxx有非零解.P54证推论n个n维向量线性相关n个向量所构成的方阵的行列式为0.向量组12,,,s线性无关齐次线性方程组1122ssxxx只有零解.P54推论n个n维向量线性无关n个向量所构成的方阵的行列式不为0.(3)一个向量线性相关.P54证一个向量线性无关.例如，(4)两个向量,线性相关kl或＝(几何上，即,共线或平行).证两个向量,线性无关kl且(几何上，即,不共线或不平行).例如，(5)标准单位向量组是线性无关的向量组.P54证(6)若向量组中的一个部分组线性相关，则该向量组线性相关.(部分相关，整体相关)P55证若向量组线性无关，则它的任意一个部分组也线性无关.(整体无关，部分无关)P55推论含有零向量的向量组线性相关.P55(7)设向量组12,,,s线性无关，向量组12,,,,s线性相关，则可由向量组12,,,s唯一线性表示.(表示系数称为关于向量组12,,,s的坐标)P55证(8)线性相关向量组的缩短向量组线性相关.证设1122sskkk，即,0,0,0221122221211212111smsmmsssskaxakakakakakakaka不妨去掉最后一个方程，则有,0,0,0121211122221211212111ssmmmsssskaxakakakakakakaka即12,,,s的少一个分量的缩短向量组也线性相关.线性无关向量组的加长向量组线性无关.P56(9)任意1n个n维向量线性相关.P59推论任意mmn个n维向量线性相关.3.向量组线性相关/线性无关的判定方法(1)观察法；(2)定义法；(3)基本结论法；(4)秩法(下面讲).作业：P646.7.8.9.10.-11.三、秩1.向量组的秩设有两个向量组(Ⅰ)12,,,s；(Ⅱ)12,,,t.定义3若向量组(Ⅰ)中的每个向量都可由向量组(Ⅱ)线性表示，则称向量组(Ⅰ)可由向量组(Ⅱ)线性表出.P57线性表出的性质:1)反身性；2)传递性.定义4若两个向量组可以互相线性表出，则称它们等价.P57向量组(Ⅰ)与(Ⅱ)等价，当它们都是列向量组时，则有st矩阵A和ts矩阵B使(12,,,s)=(12,,,t)A，(12,,,t)=(12,,,s)B.向量组等价的性质:1)反身性；2)对称性；3)传递性.定义5若一个向量组的某个部分向量组线性无关，且向量组中没有包含该部分向量组的更大线性无关组，则称这个部分向量是向量组的一个极大线性无关组.P57注：一个向量组可能有极大线性无关组，也可能没有极大线性无关组；可能有一个极大线性无关组，也可能有多个极大线性无关组.例如，1)只有零向量的向量组没有极大线性无关组；2)线性无关的向量组只有一个极大线性无关组.如：标准单位向量组只有一个极大线性无关组；3)102,,013有多个极大线性无关组.定理1(P57命题3.5)向量组与它的任意一个极大线性无关组等价.推论1(P57推论)向量组中的任意两个极大线性无关组等价.定理2(P57引理3.6)若列向量组12,,,r线性无关，且12,,,rAO，则AO.定理3(P58定理3.7)等价的线性无关向量组所含向量的个数相等.证设向量组(Ⅰ)与(Ⅱ)等价，且它们都是线性无关的列向量组，则有st矩阵A和ts矩阵B使(12,,,s)=(12,,,t)A，(12,,,t)=(12,,,s)B.从而(12,,,s)=(12,,,s)BA.于是由定理2有OBAEs，即BAEs.同理有ABEt.根据第38页上的例2.11知，必有ts.所以等价的线性无关向量组所含向量的个数相等.推论2(P58推论)一个向量组的极大线性无关组所含向量的个数相同.定义6向量组的极大线性无关组所含向量的个数称为向量组的秩.记作)(r或)(rank.P58规定：没有极大线性无关组的向量组的秩为0.例如:102,,2013r＝.关于向量组还有以下常识结论：(1)对于任意一个向量组12,,,s，总有12,,,srs.(2)若向量组12,,,s是向量组12,,,t的一部分，则1212,,,,,,strr.(3)若向量组12,,,s可由向量组12,,,t线性表出，则1212,,,,,,strr.(P58定理3.8)(4)若线性无关的向量组12,,,s可由向量组12,,,t线性表示，则st.(P58推论2)(5)若向量组12,,,s可由向量组12,,,t线性表出，且st，则12,,,s线性相关.(P58推论3)(6)等价向量组的秩相等.(P58推论1)(7)对于任意两个向量组12,,,s和12,,,t，总有121212121212max,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,tsststrrrrr　　求极大线性无关组的方法：(1)观察法并参考基本结论；(2)初等行变换法(后面讲)；(3)常识结论法.作业：习题AP6412.2.矩阵的秩一个mn矩阵可以写成如下两种分块形式：TmTTmnmmnnaaaaaaaaaA21212222111211TnTT21，其中TmTT,,,21叫作A的行向量组，TnTT,,,21叫作A的列向量组.定义7矩阵的行向量组的秩称为矩阵的行秩；矩阵的列向量组的秩称为矩阵的列秩.定理1(P59引理3.9)初等变换不改变矩阵的行秩与列秩.定理2(P60定理3.10)矩阵的行秩等于矩阵的列秩.定理2表明：)()(ArArT.推论(P61定理3.11)初等变换不改变矩阵的秩.定义8矩阵的行秩(或者列秩)称为矩阵的秩.记作)(r或)(rank.定义9在mn矩阵A中任选k行与k列(},min{1nmk)，则由这些行、列交叉点上的元素(不改变它们的相对位置)所构成的k阶行列式称为A的一个k阶子式.定理3(P61定理3.12)rAr)(的充分必要条件是A至少有一个r阶子式不为零，且若有r阶以上的子式，则所有r阶以上的子式皆为零.定理4rAr)(的充分必要条件是A至少有一个r阶子式不为零，且若有r阶以上的子式，则含该r阶子式的所有r阶以上的子式皆为零.定理3、定理4其实给出了求矩阵的秩的一种原则方法.例(P63例3.9)解分析：形如0000002100015302，00000000000410083521.的矩阵称为行阶梯形矩阵.P62形如000000210015002，00000010000010080021.的行阶梯形矩阵称为行最简形矩阵.行阶梯形矩阵的特点：(1)；(2)；(3)；(4).定理5(P63命题3.13)行阶梯形矩阵的秩等于元素不全为零行的行数.定理6(P63命题3.14)任