第6.6节一阶常系数线性差分方程

1第第第二二二六六六讲讲讲2微积分教学设计教学札记教学对象：财经类，管理类等专业教学内容：一阶常系数齐次线性差分方程、一阶常系数齐次（非齐次）线性差分方程的通解教学目的：理解一阶常系数齐次（非齐次）线性差分方程的通解求法教学方法：利用多媒体进行启发式教学教学重点：一阶常系数线性差分方程的通解教学难点：待定系数法求非齐次线性方程的特解教学过程1．一阶常系数线性差分方程在n阶常系数线性方程中，当1n时，便得到一阶常系数线性差分方程的，即)(1tfayytt（1）其中)(tf为t的已知函数，a为已知的非零常数。而（8.3.1）相应的齐次方程为01ttayy（2）2．迭代法求一阶常系数齐次线性差分方程的通解将方程（2），将其改写为ttayy1，2,1,0t，假设在初始时刻（即0t），函数ty的取值为常数C（C任意），当t分别为,2,1,0时，逐次迭代算得aCayy01，Caayy212)(Caayy323)(，Caayy434)(于是，归纳可得方程（2）的通解为ttaCy)(，,2,1,0t（3）其中0yC为任意常数。例1求差分方程005.11ttYY的通解。3．一阶常系数非齐次线性差分方程的通解求非齐次线性差分方程（1）的通解的程序为：第1步：求相应齐次线性方程（2）的通解)(tyc；第2步：求非齐次线性方程（1）的一个特解)(~ty；第3步：写出非齐次线性方程（1）的通解)()(~tytyyct。注：求方程（8.3.1）的特解的常用方法为“迭代法”与“待定系数法”。迭代法将方程（1）改写为)(1tfayytt，,2,1,0t教学心得3则有：)0()0(01ffayy（00y）)1()0()()1(12ffafayy)2()1()()0()()2(223ffafafayy)3()2()()1()()0()()3(2334ffafafafayy由数学归纳法可证)1()2()()1()()0()()(~21tftfafafatytt10)1()(tkkktfa为方程的一个特解，因此方程（1）的通解为10)1()()()(tkktktfaaCty，其中C为任意常数。例2求差分方程tttyy3311的通解。待定系数法情形一：)(tf为常数设btf)(，其中b为非零常数。方程（8.3.1）相应地变为bayytt1方程的通解为1,1,)(1abtCaaCyabtt例3某客户在银行开了10000元的账户，年利率为%4，并计划以后每年年终再连续加存500元。试问t)3,2,1(t年末该客户账户有多少存款？例4求差分方程41ttyy的通解。情形二：)(tf为t的多项式函数以一次多项式为例：设tbbtf10)(，其中0b、1b为常数，且01b。这时，方程（1）相应地变为tbbayytt101则方程的通解为1,)(1,)()(222)1()1(11012101attCataCybbbabbaabtt注：可以类似地讨论)(tf为t的k次多项式的一般情形。例5求差分方程tyytt21的通解。情形三：)(tf为指数函数设tbdtf)(，其中b、d为非零的常数，且1d。这时，方程相应地变为tttbdayy1，则方程的通解为0,)(0,)(1dabtdaCdadaCytttdabtt教学札记教学心得4例6求差分方程tttyy3311的通解。例7求差分方程tttyy2631的通解。情形四：)(tf为正弦—余弦型三角函数设tbtbtfsincos)(21，其中、1b、2b为常数，且0，1b与2b不同时为零。这时，方程（1）相应地变为tbtbayyttsincos211则方程的通解为0,)sincos(0,)sincos()(2121DtttCDtAtAaCyababtt其中22sin)(cosaD]sin)cos([2111babAD，]sin)cos([1212babAD。注：如果函数为tbtfcos)(或tbtfsin)(，作为特解的试解函数仍应为tAtAtysincos)(~21或)sincos()(~21tAtAtty例8已知级数1nnU的通项为22sin3cos2nnnU（,3,2,1n）求其部分和序列的通项nS。4．作业教学札记教学心得