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本讲主要内容：1.二维离散随机变量2.二维连续随机变量（重点）3.二维随机变量函数的分布（重点）设Ｘ与Y为两个随机变量，那么我们称二元组（X，Y）为二维随机变量.一、二维离散随机变量定义7：设X与Y均为离散随机变量，取值分别x1,x2,…,xi，…，y1,y2,…，yj,…那么我们称（X，Y）为二维离散随机变量，并称P（X=xi,Y=yj）=pij,i,j=1,2,…为（X，Y）的联合分布列.联合分布列的性质：①pij≥0②边际分布列：X与Y独立的任何两行或者两列都成比例离散随机变量的独立性：设（X，Y）为二维离散随机变量，如果即联合分布列等于边际分布列的乘积，则称X与Y相互独立.条件分布列与乘法公式：二、二维随机变量的联合分布函数定义8：设（X，Y）为二维随机变量，我们称二元函数为（X，Y）的联合分布函数.联合分布函数的性质：（1）F（x,y）为x与y的右连续函数.（2）F（x,y）为x与y的不减函数.（3）（4）三、二维连续随机变量定义9：设（X，Y）为二维随机变量，如果（X，Y）的联合分布函数可以写成则称（X，Y）为二维连续随机变量，并称f（x,y）为（X,Y）的联合密度函数.易知：联合密度函数的性质：（1），（2）边际密度函数：随机变量X的边际密度：随机变量Y的边际密度：连续随机变量的独立性：设（X，Y）为二维连续随机变量，如果则称X与Y相互独立.条件密度：我们称为在给定Y=y时X的条件密度.为在给定X=x时Y的条件密度.如果二维连续随机变量（X，Y）的联合密度为则称（X，Y）服从区域G上的二维均匀分布.其中为区域G的面积.【例39·解答题】假设随机变量Y服从参数的指数分布，随机变量求X1和X2的联合概率分布.[答疑编号986303101：针对该题提问]解：P（X1=0,X2=0）=P（Y≤1，Y≤2）=P（X1=1,X2=0）=P（Y＞1，Y≤2）=【例40·解答题】某射手向一目标进行连续射击，每次命中的概率都是p，各次命中与否相互独立.以X表示第二次命中时的射击次数，以Y表示第三次命中时的射击次数.求（X，Y）的联合分布列以及Y的边际分布列.[答疑编号986303102：针对该题提问]解：P（X=m，Y=n）=令m-1=k=n=3,4,5……【例41·解答题】设（X，Y）具有联合分布列：且已知EX=-0.2，记Z=X+Y.求（1）a,b,c的值；[答疑编号986303103：针对该题提问]（2）Z的概率分布；[答疑编号986303104：针对该题提问]（3）P（X=Z）.[答疑编号986303105：针对该题提问]解：（1）a+b+c=0.4-（a+0.2）+c+0.1=-0.2解得a=0.2,b=c=0.1（2）Z的概率分布（3）【例42·解答题】设某汽车的车站人数X～P（），每个人在中途下车的概率都是P,且下车与否相互独立，以Y表示中途下车的人数。求（X，Y）的联合分布列，并求Y的边际分布列.[答疑编号986303106：针对该题提问]解：【例43·解答题】设有一个母鸡每年产鸡蛋个数为X～Ｐ（λ）,每个鸡蛋孵出小鸡的概率都是p，且孵出与否相互独立.以Y表示小鸡的个数.求（X,Y）的联合分布列，并求Y的边际分布列.[答疑编号986303201：针对该题提问]【例44·解答题】设某人每天打电话的次数X～Ｐ（15），每次能接通的概率为0.8.以Y表示此人每天打通电话的次数.求（X,Y）的联合分布列，并求Y的边际分布列.[答疑编号986303202：针对该题提问]1.联合分布列2.边际分布列3.独立性判断4.条件分布列的使用方法二维连续（X,Y）～f（x,y）【例45·解答题】设（X，Y）的联合密度函数f（x,y）=Axy，0x1，.求（1）常数A.[答疑编号986303203：针对该题提问]（2）X与Y的边际密度.[答疑编号986303204：针对该题提问]分析：f（x,y）=Axy，0x1，1.该区域为（X,Y）的变化范围2.关于（X,Y）的一切运算（二重积分），必须限制在该区域内.3.利用区域投影求X与Y的取值范围解：（1）∵∴∴A=12（2）【例46·解答题】随机向量（X,Y）的概率密度求两个边缘密度fX（x），fY（y）.[答疑编号986303205：针对该题提问]同理可得二维连续随机变量概率的计算公式：其中G为二维平面中的区域.【例47·解答题】设二维连续随机变量（X,Y）的联合密度为（1）求P（XY）[答疑编号986303206：针对该题提问]（2）P（2X+Y1）[答疑编号986303207：针对该题提问]P（2X+Y1）=1-P（2x+y≤1）【例48·解答题】设（X,Y）的密度函数为试求：（1）X,Y的边缘密度函数，并判别其独立性；[答疑编号986303208：针对该题提问]（2）（X,Y）的条件分布密度；[答疑编号986303209：针对该题提问]（3）[答疑编号986303210：针对该题提问]（2）（3）【例49·解答题】设随机变量X～e（1），且对每个x0，当X=x时，Y～e（x）.求概率P（YX）[答疑编号986303211：针对该题提问]X～e（1），当X=x时，Y～e（x）四、二维随机变量函数的分布问题提法：设二维连续随机变量（X,Y）的联合密度为f（x,y），令Z=g（X,Y），其中g（x,y）为一个二元函数.求Z=g（X,Y）的密度函数.【例50·解答题】设二维连续随机变量（X,Y）的联合密度为f（x,y）=.求Z=X+3Y的密度.[答疑编号986303212：针对该题提问]解：【例51·解答题】设（X,Y）～f（x,y）=1，0x1，0y2-2x.求Z=Y+2X的密度函数.[答疑编号986303301：针对该题提问]解：【例52·解答题】设随机变量（X,Y）的分布密度为f（x,y）=3x，0x1，0yx试求：Z=X-Y的分布密度.[答疑编号986303302：针对该题提问]解：Z的取值范围：[0,1]当0≤z1时，【例53·解答题】设X与Y相互独立，且都服从（0，a）上的均匀分布，试求Z=X/Y的分布函数与密度函数.[答疑编号986303303：针对该题提问]解：x=zyZ的取值范围：[0，+∞）当z＜0时，Fz（Z）＝0，当时，当时，【例54·解答题】设随机变量X和Y的联合分布是正方形上的均匀分布，试求随机变量的概率密度f（z）.（答案：）[答疑编号986303304：针对该题提问]【例55·解答题】设（X,Y）服从区域上的均匀分布，求Z=X+Y的密度.[答疑编号986303305：针对该题提问]【例56·解答题】设，Y的密度为，X与Y相互独立求的密度.[答疑编号986303306：针对该题提问]【例57·解答题】设二维随机变量（X,Y）的联合概率密度为求（1）（x,y）的边际概率密度[答疑编号986303307：针对该题提问]（2）的概率密度.[答疑编号986303308：针对该题提问]（3）[答疑编号986303309：针对该题提问]极大极小分布：设随机变量X的分布函数，随机变量Y的分布函数为，且相互独立.令那么如果随机变量相互独立，并且具有相同的分布函数F（x）,令那么例58设随机变量相互独立，并且都服从区间[0,1]上的均匀分布，令求Z与W的密度函数.[答疑编号986303310：针对该题提问]解：Z与W的分布函数为：【例59·解答题】设随机变量相互独立，并且都服从参数为θ的指数分布，求的密度.[答疑编号986303311：针对该题提问]答案：fZ（z）=nθe-nθzz0z～e（nθ）【例60·解答题】对某种电子装置的输出测量了5次，得到的观察值，设它们是相互独立的变量，且都服从同一分布试求：的概率.解：令，由于相互独立，且服从同一分布，则，所求概率为.随机变量的可加性：正态分布的可加性：设，且相互独立，那么更一般地，我们有：【例61·解答题】设，且相互独立，求的分布.[答疑编号986303312：针对该题提问]解：【例62·解答题】设，且相互独立，求的分布.[答疑编号986303313：针对该题提问]解：泊松分布的可加性：设，且相互独立，那么二项分布的可加性：设，且相互独立，那么【例63·填空题】设相互独立，则[答疑编号986303314：针对该题提问]答案：（1）【例64·解答题】（条件概率分布）假设某地区一年内发生有感地震的次数X和无感地震的次数Y，相互独立且分别服从参数为的泊松分布.试在“一年共发生了n（n≥0）次地震”条件下，求有感地震次数X的条件概率分布.[答疑编号986303315：针对该题提问]解：在X+Y=n下求X的分布X的取值：0，1，…，n【例65·选择题】设相互独立，则（A）P（X+Y0）=0.5;（B）P（X+Y≤0）=0.5;（C）P（X+3Y0）=0.5;（D）P（X-3Y0）=0.5.[答疑编号986303316：针对该题提问]答案：C