第三章导数及其应用的小结

优化问题用函数表示数学问题建立数学模型用导数解决数学问题作答优化问题答案解决数学模型阿尔山市一中高二年级数学学科导学案主备人代丽艳课时1时间45分钟课题第三章导数及其应用的小结学习目标1、知识与技能：学生能正确地理解导数的定义及几何意义与物理意义，理解用导数的定义求某些基本初等函数的导数和方法。熟记这些函数和导数公式，掌握可导与连续的关系。2、过程与方法：提高学生综合、灵活运用导数的知识解决有关函数问题的能力3、情感态度价值观：进一步感受数学的应用价值，提高数学的应用意识，坚定学好数学的信心。重点导数和定义。几个基本初等函数的导数公式。难点导数的定义，用导数定义求函数的导数。导学设计1.本章知识结构2.知识点总结（1）导数与函数单调性导函数的符号与函数的单调性之间具有如下的关系：ⅰ．如果在某个区间内，函数xfy的导数________，则在这个区间上，函数xfy是________，该区间是函数的_______。ⅱ．如果在某个区间内，函数xfy的导数________，则在这个区间上，函数xfy是________，该区间是函数的_______。ⅲ.如果在某个区间内，函数xfy恒有导数________，则xf为_______。注：①)(xf＞0（或)(xf＜0)是xf在某一区间上是增加的（或减少的）的充分不必要条件.,②在利用导数讨论函数的单调区间时，首先要确定函数的定义域，在解决问题的过程中，只能在定义域内，通过讨论导数的符号来判断函数的单调区间.⑵函数的极值与导数一般情况下，求函数xfy的极值点的步骤如下：ⅰ求出导数________；ⅱ解方程________；ⅲ对于方程)(xf=0的每一个解x0，分析)(xf在x0左、右两侧的_______（即xf的单调性），确定极值点：若)(xf在x0两侧的符号“左正右负”，则x0为______；若)(xf在x0两侧的符号“左负右正”，则x0为______；若)(xf在x0两侧的符号相同，则x0_______极值点注：极值反映的是函数在某一点附近的大小情况，函数应在极值点附近有定义，端点绝对不是极值点⑶函数最值的实际应用（优化问题的解决）①求连续函数xf在ba,上上最值的步骤：ⅰ求xf在（a,b）上的极值；ⅱ将xf的各极值与)(),(bfaf比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值.②最值与极值的区别与联系：ⅰ最值是整体性概念，极值是局部的概念ⅱ最大（小）值不一定是极大（小）值，极大（小）值也不一定是最大（小）值.函数在某一区间上的极值可能有多个，但在某一区间上存在最大（小）值时，最大（小）值只能有一个ⅲ极值有可能成为最值，最值存在且不在端点处取得，则必是极值③解决优化问题的方法：解决优化问题的基本思路是注：用导数的方法解决实际问题，可归纳为：费用最省问题；面积、体积最大问题；利润最大问题等三、合作、探究、展示导数应用函数的单调性与极值函数的单调性（用导数的符号判断单调性）函数的极值（利用导数确定函数的极值点和极值）点）导数在实际问题中的应用实际问题中的导数的意义最大、最小值问题（最优化问题）1．求下列函数的单调区间和极值⑴xxy⑵xxysin⑶xxycossin2.设函数2()ln(23)fxxx（Ⅰ）讨论()fx的单调性；（Ⅱ）求()fx在区间3144，的最大值和最小值．解：()fx的定义域为32，∞．（Ⅰ）224622(21)(1)()2232323xxxxfxxxxx．当312x时，()0fx；当112x时，()0fx；当12x时，()0fx．从而，()fx分别在区间312，，12，∞单调增加，在区间112，单调减少．（Ⅱ）由（Ⅰ）知()fx在区间3144，的最小值为11ln224f．又31397131149lnlnln1ln442162167226ff0．所以()fx在区间3144，的最大值为117ln4162f．2.已知函数处取的极值在13)(23xxbxaxxf（1）求xf的极值（2）当2,2x时，求xf的最大值和最小值2..已知函数cbxxaxxf44ln)((x0)在x=1处取得极值c3，其中a,b,c为常数。（1）试确定a,b的值；（2）讨论函数f(x)的单调区间；（3）若对任意x0，不等式22)(cxf恒成立，求c的取值范围。解：（I）由题意知(1)3fc，因此3bcc，从而3b．又对()fx求导得34341ln4'bxxaxxaxxf3(4ln4)xaxab．由题意(1)0f，因此40ab，解得12a．（II）由（I）知3()48lnfxxx（0x），令()0fx，解得1x．当01x时，()0fx，此时()fx为减函数；当1x时，()0fx，此时()fx为增函数．因此()fx的单调递减区间为(01)，，而()fx的单调递增区间为(1)，∞．（III）由（II）知，()fx在1x处取得极小值(1)3fc，此极小值也是最小值，要使2()2fxc≥（0x）恒成立，只需232cc≥．即2230cc≥，从而(23)(1)0cc≥，解得32c≥或1c≤．所以c的取值范围为3(1]2，，．2.已知函数2221()()1axafxxxR，其中aR．（Ⅰ）当1a时，求曲线()yfx在点(2(2))f，处的切线方程；（Ⅱ）当0a时，求函数()fx的单调区间与极值．（Ⅰ）解：当1a时，22()1xfxx，4(2)5f，又2222222(1)2222()(1)(1)xxxxfxxx·，6(2)25f．所以，曲线()yfx在点(2(2))f，处的切线方程为46(2)525yx，即62320xy．（Ⅱ）解：2222222(1)2(21)2()(1)()(1)(1)axxaxaxaaxfxxx．由于0a，以下分两种情况讨论．（1）当0a时，令()0fx，得到11xa，2xa．当x变化时，()()fxfx，的变化情况如下表：x1a，∞1a1aa，a()a，∞()fx00()fx减函数极小值增函数极大值减函数所以()fx在区间1a，∞，()a，∞内为减函数，在区间1aa，内为增函数．函数()fx在11xa处取得极小值1fa，且21faa，函数()fx在21xa处取得极大值()fa，且()1fa．（2）当0a时，令()0fx，得到121xaxa，，当x变化时，()()fxfx，的变化情况如下表：xa，∞a1aa，1a1a，+∞()fx00()fx增函数极大值减函数极小值增函数所以()fx在区间()a，∞，1a，+∞内为增函数，在区间1aa，内为减函数．函数()fx在1xa处取得极大值()fa，且()1fa．函数()fx在21xa处取得极小值1fa，且21faa．3．甲方是一农场，乙方是一工厂，由于乙方生产需占用甲方的资源，因此，甲方有权向乙方索赔以弥补经济损失并获得一定的净收入，在乙方不赔付甲方的情况下，乙方的年利润x（元）与年产量t（吨）满足函数关系tx2000，若乙方每生产一吨必须赔付甲方S元（以下称S为赔付价格）（1）将乙方的年利润W（元）表示为年产量t（吨）的函数，并求出乙方获得最大利润的年产量；（2）甲方每年受乙方生产影响的经济损失金额2002.0ty（元），在乙方按照获得最大利润的产量进行生产的前提下，甲方要在索赔中获得最大净收入，应向乙方要求的赔偿价格S是多少？（答案在中学第二教材74p）当堂反馈1.（07江苏）已知函数3,3812)(23在xxxf上的最大值和最小值分别为M,m，M-m=_________.2.已知函数处取在点023)(xcxbxaxxf得极大值5，其导函数)(xfy的图象经过点（1，0），（2，0）,如图所示，求（1）0x的值（2）a,b,c的值3.已知上在2,293)(23mxxxxf的最大值为20，则实数m的值为_________※4.(08湖北)若,12ln21)(2在xbxxf上是减函数，求b的取值范围是（）A.),1[B.,1C.]1,(D.)1,(※※5.（08天津文21）设函数RbaRxbxaxxxf,)(2)(234其中（1）当a=310时，讨论函数xf的单调性；（2）若函数xf仅在x=0处有极值，求a的取值范围；（3）若对于任意的a2,2.不等式xf111，在上恒成立，求b的取值范围当堂收获（1）导数在实际生活中的应用主要是解决有关函数最大值、最小值的实际问题，主要有以下几个方面：1、与几何有关的最值问题；2、与物理学有关的最值问题；3、与利润及其成本有关的最值问题；4、效率最值问题。解决实际问题的方法：首先是需要分析问题中各个变量之间的关系，建立适当的函数关系，并确定函数的定义域，通过创造在闭区间内求函数取值的情境，即核心问题是建立适当的函数关系。再通过研究相应函数的性质，提出优化方案，使问题得以解决，在这个过程中，导数是一个有力的工具．（2）函数极值的判断方法:(1)定义法，若xf在0x点附近有定义，且满足附近所有点x都有0xfxf，则说0xf为极大值；反之，则说0xf为极小值，本方法主要用于判断不可导函数的极值。（2）导数法，当函数xf在0x处连续可导时，如果0x附近的左侧0xf，右侧0xf，那么0xf是极大值；若左侧0xf，右侧0xf，那么0xf是极小值。注：导数不存在的点有可能是极值点；而导数为0的点也不一定是极值点。（3）函数最值与极值的区别与联系：①函数的极值是在局部范围内讨论问题，是一个局部概念，而函数的最值是对整个定义域而言，是在整体范围内讨论问题，是一个整体性的概念②闭区间上的连续函数一定有最值，开区间内的可导函数不一定有最值，若有唯一的极值，则此极值必是函数的最值。③函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值则可能不止一个，也可能没有极值。④如果函数不在闭区间ba,上可导，则确定函数的最值时，不仅比较该函数各导数为零的点与端点处的值，还要比较函数在定义域内各不可导的点处的值。⑤在解决实际问题应用中，如果函数在区间内只有一个极值点，那么要根据实际意义判定是最大值还是最小值即可，不必再与端点的函数值进行比较。家庭作业P110复习参考题教学反思应用导数解决函数的单调性、极值、最值问题，同时利用导数概念形成过程中的思想分析问题并建立导数模型。深刻理解导数是能够比单调性更加精确地反映函数变化趋势的一个量。主管校长审核___________教务主任审核____________备课组长审核_______________