第三章导数练习题及答案函数的极值

利用导数求函数的极值例求下列函数的极值：1．xxxf12)(3；2．xexxf2)(；3．.212)(2xxxf分析：按照求极值的基本方法，首先从方程0)(xf求出在函数)(xf定义域内所有可能的极值点，然后按照函数极值的定义判断在这些点处是否取得极值．解：1．函数定义域为R．).2)(2(3123)(2xxxxf令0)(xf，得2x．当2x或2x时，0)(xf，∴函数在2,和,2上是增函数；当22x时，0)(xf，∴函数在（－2，2）上是减函数．∴当2x时，函数有极大值16)2(f，当2x时，函数有极小值.16)2(f2．函数定义域为R．xxxexxexxexf)2(2)(2令0)(xf，得0x或2x．当0x或2x时，0)(xf，∴函数)(xf在0,和,2上是减函数；当20x时，0)(xf，∴函数)(xf在（0，2）上是增函数．∴当0x时，函数取得极小值0)0(f，当2x时，函数取得极大值24)2(ef．3．函数的定义域为R．.)1()1)(1(2)1(22)1(2)(22222xxxxxxxxf令0)(xf，得1x．当1x或1x时，0)(xf，∴函数)(xf在1,和,1上是减函数；当11x时，0)(xf，∴函数)(xf在（－1，1）上是增函数．∴当1x时，函数取得极小值3)1(f，当1x时，函数取得极大值.1)1(f说明：思维的周密性是解决问题的基础，在解题过程中，要全面、系统地考虑问题，注意各种条件综合运用，方可实现解题的正确性．解答本题时应注意0)(0xf只是函数)(xf在0x处有极值的必要条件，如果再加之0x附近导数的符号相反，才能断定函数在0x处取得极值．反映在解题上，错误判断极值点或漏掉极值点是学生经常出现的失误．复杂函数的极值例求下列函数的极值：1．)5()(32xxxf；2．.6)(2xxxf分析：利用求导的方法，先确定可能取到极值的点，然后依据极值的定义判定．在函数)(xf的定义域内寻求可能取到极值的“可疑点”，除了确定其导数为零的点外，还必须确定函数定义域内所有不可导的点．这两类点就是函数)(xf在定义内可能取到极值的全部“可疑点”．解：1．.3)2(533)5(2)5(32)(33323xxxxxxxxxf令0)(xf，解得2x，但0x也可能是极值点．当0x或2x时，0)(xf，∴函数)(xf在0,和,2上是增函数；当20x时，0)(xf，∴函数)(xf在（0，2）上是减函数．∴当0x时，函数取得极大值0)0(f，当2x时，函数取得极小值343)2(f．2．),32(,6),32(,6)(22xxxxxxxxf或∴).32(,),32(,12),32(,12)(xxxxxxxxf或不存在或令0)(xf，得21x．当2x或321x时，0)(xf，∴函数)(xf在2,和3,21上是减函数；当3x或212x时，0)(xf，∴函数)(xf在,3和21,2上是增函数．∴当2x和3x时，函数)(xf有极小值0，当21x时，函数有极大值425．说明：在确定极值时，只讨论满足0)(0xf的点附近的导数的符号变化情况，确定极值是不全面的．在函数定义域内不可导的点处也可能存在极值．本题1中0x处，2中2x及3x处函数都不可导，但)(xf在这些点处左右两侧异号，根据极值的判定方法，函数)(xf在这些点处仍取得极值．从定义分析，极值与可导无关．根据函数的极值确定参数的值例已知)0()(23acxbxaxxf在1x时取得极值，且1)1(f．1．试求常数a、b、c的值；2．试判断1x是函数的极小值还是极大值，并说明理由．分析：考察函数)(xf是实数域上的可导函数，可先求导确定可能的极值点，再通过极值点与导数的关系，即极值点必为0)(xf的根建立起由极值点1x所确定的相关等式，运用待定系数法求出参数a、b、c的值．解：1．解法一：cbxaxxf23)(2．1x是函数)(xf的极值点，∴1x是方程0)(xf，即0232cbxax的两根，由根与系数的关系，得）（）（2,131,032acab又1)1(f，∴1cba，（3）由（1）、（2）、（3）解得23,0,21cba．解法二：由0)1()1(ff得023cba，（1）023cba（2）又1)1(f，∴1cba，（3）解（1）、（2）、（3）得23,0,21cba．2．xxxf2321)(3，∴).1)(1(232323)(2xxxxf当1x或1x时，0)(xf，当11x时，.0)(xf∴函数)(xf在1,和,1上是增函数，在（－1，1）上是减函数．∴当1x时，函数取得极大值1)1(f，当1x时，函数取得极小值1)1(f．说明：解题的成功要靠正确思路的选择．本题从逆向思维的角度出发，根据题设结构进行逆向联想，合理地实现了问题的转化，使抽象的问题具体化，在转化的过程中充分运用了已知条件确定了解题的大方向．可见出路在于“思想认识”．在求导之后，不会应用0)1(f的隐含条件，因而造成了解决问题的最大思维障碍．