第三章幂函数指数函数及其图像3.1指数和幂概念的推广

92第三章幂函数指数函数及其图像在第一章我们学习了用计算器求诸如an，nma的数值，也就是说，至今我们所接触的数的运算，还仅限于+,-,,四则运算和乘方、开方．但在实际问题中遇到的数的运算，远不止这几种．本章将对数的运算作进一步扩充，最终能知道xy(x0,x,yR)是什么含义，这种运算有些什么性质，如何求它们的值，以及当y固定、x变化，或x固定、y变化时，它们的值的变化规律．93§3.1指数和幂概念的推广预备知识整数指数幂及其运算性质数的开方重点指数概念的推广幂的运算性质及其应用难点对指数概念推广的理解学习要求理解指数概念的推广熟练掌握幂的运算性质，并能正确地进行运算会用计算器求qpx的值94在第一章数的运算中，我们学习了对诸如1010,3115类型的运算，如何用计算器计算它们的值．本节将在此基础上，对上述类型的运算进行总结，并推广指数的概念，最终得出实数指数幂的意义及其运算性质．1.整数次幂在初中时，你已经学习了整数指数幂，它的意义是an=aa...a，(nN+)；a0=1,(a0)；a-n=na1,(a0,nN+)．整数指数幂有下列性质：(1)aman=am+n,(a0,m,nZ)；(2)(an)m=amn,(a0,m,nZ)；(3)(ab)m=ambm,(a0,b0,mZ)．例如(0.4)0=1，(a-b)0=1,(ab)，10-2=(101)2=0.01，(21)3=(-2)3=-8，(2x)-2=(x21)2=241x,(x0)．课内练习11.填空：(1)(53)0=；(2)-(53)0=；(3)10-3=；(4)(0.1)-2=；(5)(32)3=；(6)(132)-2=．2.有理指数幂(1)方根的概念和性质在初中时，你也学习了方根的概念，例如因为34=81，所以称3为81的4次方根，记作3=481．一般地，若一个数x的n次方等于a，即xn=a(n1,nN)，则称x为a的n次方根．一个数a的n次方根的下列规则，是必须知道的：①一个正数a的偶次方根有两个，它们互为相反数，分别表示为na和-na(n为偶数)．例如，因为(-2)4=16,24=16，所以16的4次方根有两个，一个是-2，另一个是2．②因为任何一个实数的偶次方不可能是负数，所以负数的偶次方根是没有意义的．③一个正数的奇次方根是正数，一个负数的奇次方根是负数，因此当n为奇数时，a的n次方根都可以表示为na．例如因为(-2)5=-32，所以-2是n个95-32的5次方根，即532=-2；因为43=64，所以4是64的3次方根，即364=4．④因为0的n(n0)次方还是0，而任何非零数的n次方不可能是0，所以0的n(n0)次方根为0，即n0=0．课内练习21.填空(1)128的6次方根是；(2)-243的5次方根是；(3)0的4次方根是．当na有意义时(请你思考一下它的含义)，称它为n次根式，称n为根指数，且此时有(na)n=a．今后若无特别说明，我们写na总认为已经是有意义的了．一个正数a的正n次方根，称为a的n次算术根．因为正数的奇次方根总是正数，因此正数a的n次算术根与a的n次方根是同一回事；但一个正数a的偶次方根有两个na，此时a的n次算术根特指+na，-na只是a的n次方根之一，而不是a的n次算术根．(2)有理指数幂现在请你看下面的例子．我们已经知道(3a)3=a(1)你虽然还不知道31a是什么意义，但形式地应用幂的运算性质，应该有(31a)3=a(2)比较(1)(2)，很自然地可以认为31a=3a．同样，因为(43a)4=a，形式地应用幂的运算性质，又有(43a)4=a，也很自然地可以认为43a=43a．把特殊的数3,4所呈现这种规律，推广到一般正数n,m的情况，也自然地可以规定na1=na，nma=nma,(n,mN+,且nm为既约分数)(3-1-1)这样，我们就把整数指数幂的概念推广到了分数指数幂．至于负分数指数幂的意义，与负整数指数幂的意义一样，即nma=nma1,(n,mN+,且nm为既约分数)(3-1-1)这样，我们就把整数指数幂的概念推广到了有理指数幂．课内练习31.把下列根式表示为有理指数幂的形式：(1)436=；(2)316=；(3)97b=；(4)nb2=；(5)6mb=；(6)mnx=．96有理指数幂的一般形式，可以写成a,(Q)．可以证明，整数指数幂的运算性质，对有理指数幂也是成立的，即aa=a+；aa=a-；(a)=a；(ab)=ab(3-1-2)其中的a0,b0,,Q．例如52/351/3=51=5；82/3=(23)2/3=22=4；(a1/2+b1/2)(a1/2-b1/2)=(a1/2)2-(b1/2)2=a-b．根据运算性质，am/n=nma=(a1/n)m=(am)1/n．课内练习41.填空：(1)(-7)1/3(-7)2/3=；(2)(-7)1/372/3=；(3)82/381/3=；(4)(162)1/8=；(5)(2a2b)1/(a+b)=；(6)(9a)1/2=；(7)(a1/3+b1/3)(a2/3-a1/3b1/3+b2/3)=．(3)有理指数幂的应用有理指数幂运算性质，在幂的计算中很有用．第一类应用是简化较复杂的根式运算．例1计算下列根式运算的结果：(1)633333；(2)aaa43；(3)3aa．解(1)633333=3131/231/331/6=3(1+1/2+1/3+1/6)=32=9▍(2)aaa43=a-1a1/3a1/4=a(-1+1/2+1/4)=a-5/12=1251a=aa127▍(3)3aa=(aa1/2)1/3=(a3/2)1/3=a1/2=a▍课内练习51.化简：(1)842222；(2)43xxx．第二类应用是简化幂的计算．例2求下列幂：(1)525377；(2)328；(3)21)41(；(4)4316；(5)21100；(6)32)278(．解(1)525377=1775253=7▍(2)328=23322)2(3232=4▍(3)21)41(=214=2▍97(4)4316=342)2(43=8▍(5)21100=101)10(1)1001(21212▍(6)32)278(49)23(])23([)827(233232▍总结上面例子，在使用幂的运算性质(3-1-2)等简化幂的过程中，常常先作一些预处理，如把根式化为有理指数幂；把负指数幂的底变为倒数，指数变为相反数，成为正指数幂；底数可以分解因数的，一般先分解成为质因数的乘积．课内练习61.求下列值：(1)321000；(2)21)416(；(3)41681；(4)364．第三类应用是简化一些较复杂的含有字母的幂的运算式．例3计算下列各式运算结果：(1))6()4()3(656121323121bababa；(2)3a3b)()(212167baba．解(1))6()4()3(656121323121bababa=[3(-4)(-6)]656121323121bababa=2652131613221ba=2a1b0=2a▍(2)3a3b)()(212167baba=2121676731212131baba)b()a(=212121216761216761)ba(baba=abab1)1(21=abab▍课内练习71.计算下列各式运算结果：(1))ba()ba(31323131324；(2)4a4b)ba(ba21218789．3.无理指数幂(1)无理指数幂的定义10为底的幂10，如果是无理数，例如10，你可以轻松地说它是一个无理指数幂，但它到底是什么意思呢？我们知道，无理数是无限不循环小数，如=3.1415926535...．虽然写不尽，但可以用越来越接近于它的一系列有理数近似值去逼近，如3.14,3.141,3.1415,3.14159,...(3)98对应于每一个近似值，因为它们都是有理数，可以计算相应的一系列有理指数幂：103.14,103.141,103.1315,103.14159,...(4)当近似系列(3)无限制地进行下去，近似值就无限制地接近，自然有理由认为，同时无限制进行下去的系列(4)，也能够与一个数A无限制地接近，这个数A就作为10的值．对一般实数a为底的幂a，当是无理数时，称为以a为底的无理指数幂．我们可以仿照(3)(4)那样，用一系列无限接近的有理数系列，去逼近，对应的a为底、近似值为指数的有理指数幂的系列，也与一个数M无限接近，这个M就称为无理指数幂a的值．由此可见，任何无理数，幂a是可以按上述方法去定义它的，但是它的具体的值，正如同所有的无理数一样，一般是无法用有限形式表示出来的，在具体求值时，往往还是只能求出足够精确的无理指数幂近似值．至此，我们已经完成了幂的推广，其实就是幂指数的推广：从正整数指数幂整数指数幂有理指数幂无理指数幂，也就是说，现在幂a(a0)中的指数，可以是任何实数．(2)无理指数幂的运算性质因为无理指数幂a(为无理数)，是一系列有理指数幂逼近的结果，因此有理指数幂是具有运算性质(3-1-2)，对无理指数幂同样也成立．也就是说，运算性质(3-1-2)中的,现在可以是任何实数．4.使用计算器计算幂在有理指数幂运算性质的应用中，你看到过几个例子，一个很复杂的幂，经过演化，变得十分简单，甚至直接得到了结果．但是，你不要以为所有的幂都能作简化，例子中的这种好事，在实际计算中是难得碰到的，例如71056107543，你就很难作简化，更说不上直接得到结果．因此实际中的幂，在多数情况下，你还得老老实实地算出来．下面你要学习的，就是如何使用计算器计算幂．(1)有理指数幂及其运算的计算计算幂qpa．qpa=qpa,(p,qZ,q0,且p,q既约)．在第一章里已经给了你一种使用计算器计算的方法：先用乘方键算出pa，再用开方键算出qpa．其实你不必分两步计算．计算器上有一个yx键，就是用来计算y的x次幂的，因此可以一步就算出qpa的值．使用的方法是，先键入底数y按yx键键入指数x按=键，即显示结果．例4利用计算器求幂(结果保留4个有效数字)：(1)4381；(2)4-1.98；(3)94123；(4)73421.；(5)71056107543．解以下表格列出各题的按键顺序．在方框内的是功能键，在方框之99外的是数字键．题号按键顺序显示结果答案(1)81yx(34)=27=27(2)4yx(1.98)=0.0642571140.06426(3)127yx(49)=8.4888081058.489(4)21.4yx(37)=0.2690436010.2690(5)3yx(710)4yx(65)5yx(107)=1.1426896411.143注意，第(1)题是可以通过简化得到结果的4381=273)3(3443▍课内练习81.应用计算器求值(结果保留4个有效数字)：(1)3.5-2.3；(2)65518.；(3)853.142．(2)无理指数幂及其运算的计算要计算无理数的幂a，只要计算器上能键入无理数(如,2)，即yx键之后的x，计算过程与有理指数幂没有什么两样；如果计算器上只能键入的近似值，那么就只能求逼近a的有理指数幂系列中的某个近似值了．其实，即使能键入，显示的结果也总是a的近似值．例5用计算器计算下列各题(结果保留4个有效数字)：(1)23；(2)215；(3)38；(4)2338．解以下表格列出各题的按键顺序．在方框内的是功能键，在方框之外的是数字键