第三章数列

13.1数列的概念例1.根据下面各数列的前n项的值，写出数列的一个通项公式。（1）-1，7，-13，19，…（2）32，154，356，638，9910，…（3）5，0，-5，0，5，0，…（4）1，3，7，15，31，…例2.已知数列{an}的项满足a1=21,an+1=an+1412n,求an.例3.已知数列{an}满足：a1=1,2n-1an=an-1(n∈N*,n≥2)(1)求数列{an}的通项公式(2)这个数列从第几项开始及其以后各项均小于10001？例4.（1）在数列{an}，若a1=1,an+1=2an+3(n≥1),则该数列的通项an=.（2）在数列{an}中，a1=1,an+1=nnaa22（n∈N*）,求an2例5.（06全国）设数列{an}的前n项的和Sn=34an-31·2n+1+32(n=1,2,3,…)(Ⅰ)求首项a1与通项an..（Ⅱ）设Tn=nnS2,n=1,2,…,证明NIIT123练习1.数列{an}中，a1=1，对所有的n≥2,a1·a2·a3…an=n2,则an=2.在数列{an}中,Sn=a1+a2+…+an,a1=1,an+1=31Sn(n≥1)则an=3.已知数列{an}是递增数列，且对任意的正整数n,an=n2+n恒成立，则实数的取值范围是。4.（07南昌）若数列{an}的前8项的值各异，且an+8=an,对任意的n∈N*都成立，则下列数列中可取遍{an}前8项的值的数列为（）。A.{a2k+1};B.{a3k+1};C.{a4k+1};D.{a6k+1}5.在数列{an}中,a1=1,an+1=nnaa1,则an=。1.)2(1)1(12nnnn2.)2()34(31)1(12nnn3.（-3，+∞）4.B;5.1/n33.2等差数列例1.已知等差数列{an}中，a2=9,a5=21.(1)求{an}的通项公式。令bn=na2,求数列{bn}的前n项和Sn.例2.已知数列{an}，an∈N*,Sn=81(an+2)2.（1）求证：{an}是等差数列。（2）若bn=21an–30,求数列{bn}的前n项和的最小值。例3.等差数列的前n项和为Sn，S12=84，S20=460，求S28例4.已知数列{an}前n项和为Sn=12n-n2,求数列{∣an∣}的前n项和Tn.例5.在等差数列{an}中,a1=1,前n项和Sn满足条件nnSS2=124nn,n∈N*.(1)求数列{an}的通项公式。(2)记bn=annap(p0),求数列{bn}的前n项Tn.4例6.设等差数列{an}的前n项和为Sn，已知a3=12,S120,S130.(1)求公差d的取值范围。(2)指出S1，S2，…，S12中，哪一个最大；并说明理由。例7.(07高考重庆)已知各项均为正数的数列{an}的前n项和Sn满足S1＞1且6Sn=(an+1)(an+2),n∈N*.(1)求{an}的通项公式;(2)数列{bn}满足an(2bn-1)=1,并记Tn为{bn}的前n项和,求证:3Tn+1log2(an+3)n∈N*.例8.(07高考福建)等差数列{an}的前n项和Sn,an=1+2,S3=9+32.(1)求{an}的通项公式与前n项和Sn;(2))(*NnnSbnn,求证:数列{bn}中任意不同的三项不可能构成等比数列.5练习1.设{an}是公差为正数的等差数列，若a1+a2+a3=15,a1a2a3=80,则a11+a12+a13=（）A.120；B.105；C.90；D.75.2.已知某数列共10项，其奇数项之和为15，偶数之和为30，则其公差为（）.A.2；B.3；C.4；D.5.3.设Sn是等差数列{an}的前n项和，则3163SS，则126SS（）A.103；B.31；.C.81；D.91.4.设{an}为等差数列，a10,a6+a70,a6a70,则使其前n项和Sn＞0成立的最大自然数n是（）.A.11;B.12;C.13.D.14.5.等差数列{an}中，a1+a4+a10+a16+a19=150,则a20-a26+a16的值是。6.若{an}是等差数列且a4a6+a4a9+a9a11+a6a11=81,则S14=.7.若数列{an}是等差数列，首项a10,a2003+a20040,a2003·a20040,则使前n项和Sn＞0成立的最大自然数n是（）.A.4005;B.4006;C.4007;D.4008.8.椭圆13422yx上有几个不同的点P1，P2，…，Pn,其中点P1（2，0），椭圆的右焦点为F，设an=︱PnF︱,数列{an}构成以d为公差的等差数列，Sn=a1+a2+…+an(1)若S3=6，求点P3的坐标；（2）若公差d为常数且d＞1001，求n的最大值.(3)对给定的正整数n，当公差d变化时，求Sn的最大值。62.3等比数列例1：（1）已知各项均为正数的等比数列na中，61383aaag，则151aa的值为（C）A、100B、1000C、10000D、10（2）已知数列na是等比数列，其前n项和ksnn5，则常数k等于（A）A、-1B、0C、1D、以上都不对（3）如果-1、a、b、c、-9成等比数列，那么（B）A、b=3，ac=9B、b=-3ac=9C、b=3，ac=-9D、b=-3，ac=-9（4）已知等比数列na中，991,,0aaan是方程016102xx的两根，则805020aaa的值为（B）A、32B、64C、256D、±64（5）在等比数列na中，公比q=2，前99项的和sn=56，则99963aaaa的值为32例2：有一塔形几何体由若干正方体构成，构成方式如图所示，上层正方体下底面的四个顶点是下层正方体上底面各边中点，已知最底层正方体的棱长为2，且该塔形的表面积（含最底层正方体的地面面积）超过39，则该塔形中正方体的个数至少是（C）A、4B、5C、6D、7、7例3：已知数列na满足)(23,3,11221Nnaaaaannn（1）证明：数列nnaa1是等比数列;（2）求na的通项公式（3）若数列nb满足nnbnbbba144411121Nn，证明：nb是等差数列例4：已知数列na中，sn是它的前n项和，且1,2,12411anasnn。（1）设)2,1(21naabnnn，求证：数列nb是等比数列。（2）设,2,12nacnnn，求证：数列nc是等差数列。（3）求数列na的通项公式an及前n项和的公式sn。8例5：已知,,成公比为2的等比数列2,0且sin,sin,sin也成等比数列，求,,的值。例6.已知曲线C:xy=1,过C上一点An(xn,yn)作一斜率kn=21nx的直线交曲线C与另一点An+1(xn+1,yn+1),点列An(n=1,2,3,…)的横坐标构成数列{xn},其中x1=711,(1)求xn与xn+1的关系式;(2)求证:数列3121nx是等比数列;(3)求证:)(1)1()1()1()1(*33221Nnxxxxnn9练习：1、已知：数列-1，a1，a2，-4成等差数列，-1，b1,b2,b3,-4成等比数列，则212baa的值是（）A、21B、21C、2121或D、412、已知a，b，a+b成等差数列，a，b，ab成等比数列，且1)(0abogm，则m的取值范围是（）A、（1，+∞）B、（1，8）C、（8，+∞）D、（0，1）v（8，+∞）3、数列na是各项均为正数的等比数列，nb是等差数列，且a6=b7，则有（）A、a3+a9＜b4+b10B、a3+a9≥b4+b10C、a3+a9≠b4+b10D、a3+a9与b4+b10的大小确定4、（理）已知na是首项为1，公比为q的等比数列，2,1221nNncacaapnnnnnmnnnnnccccQ420(其中22nm，[t]表示t的最大整数，例如[2.5]=2)，如果数列nnQP有极限，那行公比q的取值范围是（）A、-1＜q≤1，且q≠0B、-1＜q＜1，且q≠0C、-3＜q≤1，且q≠0D、-3＜q＜1，且q≠05、等比数列na是递减数列，其前n项的积为Tn，若T13=4T9，则a8﹒a15=（）A、±2B、±4C、2D、46、设数列na是首项为m，公比为q(q≠1)的等比数列，Sn是它的前n项和，对任意的Nn，点nnnssa2,A、在直线0qqymxB、在直线上0qmyqxC、在直线上0mmyqxD、不一定在一条直线上7、若互不相等的实数a、b、c成定差数列，C，a，b成等比数列，且10a+3b+c=10，则a=（）A、4B、-2C、2D、-48、设x，a1，a2，y成等差数列，x，b1，b2，y成等比数列，则21221bbaa的取值范围是（）A、,4B、,40,vC、4,0D、,44,v9、在等比数列na中，设前n项和为Sn，则222nnSSX，)(32nnnSSSy的大小关系是（）A、x＞yB、x＝yC、x＜yD、不确定10、已知m，n，m+n成等差数列，m，n，mn成等比数列，则椭圆122nymx的准线方程是11、（理）已知数列na满足231a，且*),2(12311Nnnnanaannn（1）求数列na的通项公式：（2）证明：对于一切正整数n，不等式a1·a2…an＜2·n！恒成立。3.4数列求和例1.(1)设数列1，（1+2），…，（1+2+22+…+2n-1），…的前n项和为Sn，则Sn的值为2n+1-n-2（2）数列1，n211,,3211,211的前n项和为（3）求)()3()2()1(32naaaaSnn11（4）求)!1(!43!32!21nnSn=（5）5+55+555+…个n5555=例2.已知数列1，3a，5a2，7a3，…，(2n-1)an-1，求前n项和Sn。例3.数列na中，a1=1，当n≥2时，其前n项和Sn满足，)21(2nnnSaS（1）求Sn的表达式（2）设12nSbnn，数列nb的前n项和为Tn。求Tnimn例4：（05重庆）数列na满足,11a05216811nnnnaaaa*)(Nn记)1(211nabnn（1）求4321,,,bbbb的值。（2）求数列nb的通项公式及数列nnba的前n项和Sn。12例5：已知数列na的前n项的和为Sn，且满足211a，221nSSannn（1）数列nS1是否为等差数列？请证明你的结论。（2）求Sn和an；（3）求证：nSSSn412122221练习：1.若nSnn1)1(4321，则503317SSS等于（）A、1B、-1C、0D、22.设f(x)是定义在R上恒不为0的函数，对任意Ryx,，都有)()()(yxfyfxf，若211a)(nfan（n为正整数），则数列na的前n13项和Sn的取值范围是（）3.在等差列na中，若)(,nmmnSnmSnm，则Sm+n的值（）A.大于4B、等于4C、小于4D、无法确定4.根据市场调查结果，预测某种家用商品从年初开始的n个月内累计的需求量Sn（万件）近似满足)12,2,1)(521(902nnnnSn，按此预测，在本年度内，需求量超过1.5万件的月份是（）A、5月、6月;B、6月、7月;