第三章概率3.3.1有详细答案

3.3.1几何概型课时目标1.通过实例体会几何概型的含义，会区分古典概型和几何概型.2.掌握几何概型的概率计算公式，会求一些事件的概率．1．几何概型的定义如果每个事件发生的概率只与____________________________________，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称几何概型．根据定义，向半径为r的圆内投针，落在圆心上的概率为0，因为点的面积为0，但此事件不一定不发生．2．几何概型的特点(1)试验中所有可能出现的结果(基本事件总数)有____________个．(2)每个基本事件出现的可能性________．3．几何概型的概率公式P(A)＝构成事件A的区域长度面积或体积试验的全部结果所构成的区域长度面积或体积一、选择题1．用力将一个长为三米的米尺拉断，假设该米尺在任何一个部位被拉断是等可能的，则米尺的断裂处恰在米尺的1米到2米刻度处的概率为()A.23B.13C.16D.142．如图，边长为2的正方形内有一内切圆．在图形上随机撒一粒黄豆，则黄豆落到圆内的概率是()A.π4B.4πC.4－π4D.4－ππ3．在1L高产小麦种子中混入了一粒带麦锈病的种子，从中随机取出10mL，则含有麦锈病种子的概率是()A.11000B.1900C.910D.11004．ABCD为长方形，AB＝2，BC＝1，O为AB的中点，在长方形ABCD内随机取一点，取到的点到O的距离大于1的概率为()A.π4B．1－π4C.π8D．1－π85．在区间[－1,1]上任取两数x和y，组成有序实数对(x，y)，记事件A为“x2＋y21”，则P(A)为()A.π4B.π2C．πD．2π6．有四个游戏盘，如下图所示，如果撒一粒黄豆落在阴影部分，则可中奖，小明希望中奖机会大，他应当选择的游戏盘为()题号123456答案二、填空题7．一个路口的红绿灯，红灯的时间为30秒，黄灯的时间为5秒，绿灯的时间为40秒，当你到达路口时看到的是绿灯的概率是________．8．在区间[－1,2]上随机取一个数x，则x∈[0,1]的概率为________．9．有一个圆面，圆面内有一个内接正三角形，若随机向圆面上投一镖都中圆面，则镖落在三角形内的概率为________．三、解答题10．过等腰Rt△ABC的直角顶点C在∠ACB内部随机作一条射线，设射线与AB相交于点D，求ADAC的概率．11．如图，在墙上挂着一块边长为16cm的正方形木板，上面画了小、中、大三个同心圆，半径分别为2cm，4cm,6cm，某人站在3m之外向此板投镖，设投镖击中线上或没有投中木板时都不算(可重投)，问：(1)投中大圆内的概率是多少？(2)投中小圆与中圆形成的圆环的概率是多少？(3)投中大圆之外的概率是多少？能力提升12．函数f(x)＝x2－x－2，x∈[－5,5]，那么任取一点x0∈[－5,5]，使f(x0)≤0的概率为()A．1B.23C.310D.2513．在转盘游戏中，假设有三种颜色红、绿、蓝．在转盘停止时，如果指针指向红色为赢，绿色为平，蓝色为输，问若每种颜色被平均分成四块，不同颜色相间排列，要使赢的概率为15，输的概率为13，则每个绿色扇形的圆心角为多少度？(假设转盘停止位置都是等可能的)处理几何概型问题就要先计算基本事件总体与事件A包含的基本事件对应的区域的长度(角度、面积或体积)，而这往往会遇到计算困难，这是本节难点之一．实际上本节的重点不在于计算，而在于如何利用几何概型把问题转化为各种几何概率问题．为此可参考如下办法：(1)选择适当的观察角度；(2)把基本事件转化为与之对应的几何区域；(3)把随机事件A转化为与之对应的几何区域；(4)利用概率公式计算；(5)如果事件A对应的区域不好处理，可以用对立事件概率公式逆向思维．同时要注意判断基本事件的等可能性，这需要严谨的思维，切忌想当然，需要从问题的实际背景出发去判断．答案：3．3.1几何概型知识梳理1．构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例2．(1)无限多(2)相等作业设计1．B[P＝2－13＝13.]2．A[由题意，P＝S圆S正方形＝π×122×2＝π4.]3．D[取出10mL麦种，其中“含有病种子”这一事件记为A，则P(A)＝取出种子的体积所有种子的体积＝101000＝1100.]4．B[当以O为圆心，1为半径作圆，则圆与长方形的公共区域内的点满足到点O的距离小于或等于1，故所求事件的概率为P(A)＝S长方形－S半圆S长方形＝1－π4.]5．A[如图，集合S＝{(x，y)|－1≤x≤1，－1≤y≤1}，则S中每个元素与随机事件的结果一一对应，而事件A所对应的事件(x，y)与圆面x2＋y21内的点一一对应，∴P(A)＝π4.]6．A[A中P1＝38，B中P2＝26＝13，C中设正方形边长2，则P3＝4－π×124＝4－π4，D中设圆直径为2，则P4＝12×2×1π＝1π.在P1，P2，P3，P4中，P1最大．]7.815解析P(A)＝4030＋5＋40＝815.8.13解析由几何概型知所求的P＝1－02－－1＝13.9.334π解析设圆面半径为R，如图所示△ABC的面积S△ABC＝3·S△AOC＝3·12AC·OD＝3·CD·OD＝3·Rsin60°·Rcos60°＝33R24，∴P＝＝33R24πR2＝334π.10.解在AB上取一点E，使AE＝AC，连接CE(如图)，则当射线CD落在∠ACE内部时，ADAC.易知∠ACE＝67.5°，∴ADAC的概率P＝67.5°90°＝0.75.11．解整个正方形木板的面积，即基本事件所占的区域总面积为S＝16×16＝256(cm2)．记“投中大圆内”为事件A，“投中小圆与中圆形成的圆环”为事件B，“投中大圆之外”为事件C，则事件A所占区域面积为SA＝π×62＝36π(cm2)；事件B所占区域面积为SB＝π×42－π×22＝12π(cm2)；事件C所占区域面积为SC＝(256－36π)cm2.由几何概型的概率公式，得(1)P(A)＝ASS＝964π；(2)P(B)＝SBS＝364π；(3)P(C)＝SCS＝1－964π.12．C[令x2－x－2＝0，得x1＝－1，x2＝2，f(x)的图象是开口向上的抛物线，与x轴的交点为(－1,0)，(2,0)，图象在x轴下方，即f(x0)≤0的x0的取值范围为x0∈[－1,2]，∴P＝2－－15－－5＝310.]13．解由于转盘旋转停止位置都是等可能的，并且位置是无限多的，所以符合几何概型的特点，问题转化为求圆盘角度或周长问题．因为赢的概率为15，所以红色所占角度为周角的15，即α1＝360°5＝72°.同理，蓝色占周角的13，即α2＝360°3＝120°，所以绿色所占角度α3＝360°－120°－72°＝168°.将α3分成四等份，得α3÷4＝168°÷4＝42°.即每个绿色扇形的圆心角为42°.