第三章测试题(答案)

第1页（共8页）概率统计随机向量部分测试题（三）一、单项选择题（每小题2分，共10分）1、设随机变量YX,独立同分布，且3.000YPXP，7.011YPXP，则YXP（B）(A).0(B)58.0(C)5.0(D)12、设随机变量YX,都服从标准的正态分布1,0N则有（C）服从正态分布服从正态分布Y-XBYXAC2X与2Y有相同的分布D以上均不正确3、设随机变量211~(,)XN，随机变量222~(,)YN，且1121YPXP，则必有（B）.(A)21.(B)21.(C)21.(D)21.4、随机变量YX,独立同分布，且X的分布函数为xF，则YXZ,max的分布函数为(A)xFA2yFxFB211xFCyFxFD115、设二维随机变量YX,的概率密度为：其它,01,1,22yxyxf则下列命题正确的（C）(A)YX,独立同分布(B)YX,独立不同分布得分评卷人第2页（共8页）(C)YX,不独立同分布(D)YX,不独立不同分布二、填空题（每小题3分，共15分）1、设随机变量YX,独立同分布，X的概率密度为其它,020,832xxxf若aXA，aYB相互独立，且43BAP,则a342、随机变量X与Y独立且服从同一分布，且X的分布律为X01P1/21/2则随机变量Z=max(X,Y)的概率分布为:Z01P41433、在区间)1,0(中随机地取两个数，则事件“两数之和小于56”的概率为25174、设随机变量X与Y相互独立，且均服从区间[0，3]上的均均分布，则}1},{max{YXP=915、已知随机变量X～N(-3,1),Y～N(2,1),且X,Y独立，设随机变得分评卷人第3页（共8页）量Z=X-2Y+7,则Z～25,0N三、计算题（每小题10分，共50分）1、设二维随机变量（X,Y）的概率密度为其它。,0,0,,yxaeyxfy求（（1）参数;a（2）随机变量X的概率密度;1xf（3）概率.1YXP解：0000,11yyyyydeadyyeadxaedydxdyyxfaaedyeyeayyy000所以1a2xedyedyyxfxfxxy0,,1所以其它,00,1xexfx312121011211eedyedxdxdyeYXPxxyyxy2、把一枚硬币连掷3次，X表示3次中正面向上的次数，Y表示3次中正面向上的次数与反面向上的次数差的绝对值，求YX,的联合概率分布及边缘概率分布。得分评卷人得分评卷人第4页（共8页）解：YX,可能取点：.3,2,1,0;3,2,1,0,,,nmnm3213,0.02,01,00,0YXPYXPYXPYXP3231,1.03,12,10,1YXPYXPYXPYXP3231,2.03,22,20,2YXPYXPYXPYXP3213,3.02,31,30,3YXPYXPYXPYXP所以联合分布律及边缘分布律为：YX0123jp0000321321103230032320323003233000321321ip0326032213、设随机变量X在区间（0，1）上服从均匀分布，再xX)10(x的条件下，随机变量Y在区间（0，x）上服从均匀分布，求：（1）随机变量X与Y联合分布；（2）Y的边缘概率密度.解：由已知条件得：其它,010,11xxf第5页（共8页）其它,00,1xyxxyfXY1所以其它,010,0,1,1xxyxxyfxfyxfXY210,ln1,12yydxxdxyxfyfy所以其它,010,ln2yyyf4、设随机变量X和Y的联合概率分布为XY-101-18181810810811818181求：(1)X和Y的边缘概率分布,并判断X和Y是否独立？(2)条件分布律0yxPiYX；解：（1）边缘分布率为：X-101P838283Y-101P838283第6页（共8页）因为82820000,0YPXPYXP所以X和Y不独立。2条件分布律为：0YX-101P210215、设随机变量YX,相互独立，X的概率分布),1,0,1(31iiXPY的概率密度为其它,010,1yyfY，记YXZ（1）求021XZP；（2）求Z的概率密度zfZ.解：12100,2100,21021021XPXYPXPXYXPXYXPXZP2YXZ的可能取值在2,1内。其分布函数zFZ。第7页（共8页）zZPzFZ当1z时，;0zFZ当2z时，;1zFZ当21z时，有zYXPzFZ11,iizYiXPizYPiXPi111131zYPzYPzYP21,1113110,13101,1311131zzzzzzzFzFzFYYY21,131zz21,31zzFZ所以：其他,021,31zzfZ第8页（共8页）四、应用题（每小题10分，共20分）1、假设一电路装有三个同种电器元件，其工作状态相互独立，且无故障工作时间服从参数为λ＞0的指数分布。当三个元件都无故障时，电路正常工作，否则整个电路不能正常工作。试求该电路正常工作的时间T的概率密度tfT.解：3,2,1iTi为第i个电子元件无故障工作的时间，其概率密度均为：其它,00,tetft分布函数为：0,10,0tettFt3,2,1iTi相互独立。当三个元件都无故障时，电路正常工作，否则整个电路不能正常工作，所以电路正常工作的时间321,,minTTTT.其分布函数为：tTTTPtTTTPtTPtFT321321,,min1,,min3321111tFtTPtTPtTP0,10,03tett所以电路正常工作的时间T的概率密度为：得分评卷人第9页（共8页）0,10,03tettftT2、设某班车起点站上客人数X服从参数为20的泊松分布，每位乘客在中途下车的概率为21，且中途下车与否相互独立。以Y表示在中途下车的人数，求：(1)在发车时有30个乘客的条件下，中途有10人下车的概率；(2)二维随机变量(X,Y)的概率分布解：由已知可得：,2,1,0,!2020kekkXPkknCkXnYPknk,,1,0,21（1）30103021}3010{CXYP；（2）knkenknCekkXnYPkXPnYkXPkknkk,,1,0,,1,0,!!1021!20},{2020五、证明题（5分）设随机变量X的概率分布为.,21xexfx〈问X与X是否相互独立？为什么？证明：11012121101,1edxeXPXXPx11221211edxeXPx得分评卷人第10页（共8页）111121111edxeXPXPx因为1,112112211111XXPeeeXPXP所以X与X不相互独立。