第三章矩阵

第三章矩阵§3.1矩阵的运算练习题1.如果矩阵X满足X+2A=B－X，其中A=101032302，B=321402010求X。2.已知矩阵A=123031，B=130210101，计算AB，AB-ABT.3.设矩阵A=110011001，计算An,其中n为正整数。4.设1,0,1T，矩阵A=T。计算naEA，其中E为三阶单位阵，n为正整数。5.设4阶矩阵A=234,,,，B=234,,,，其中234,,,,均为4维列向量，且已知行列式4,1.AB求AB。6.设A为n阶矩阵，n为奇数，且满足AAT=E，A1。求A-E。7.设矩阵A=110011001。求3阶矩阵X，使得AX=XA。8.设A是n阶实矩阵。证明如果AAT=O，则A=O。9.设A，B是n阶实矩阵，若A2=A，B2=B，则称A，B为幂等阵。已知A，B是幂等阵，证明A+B也是幂等阵的充要条件是AB=BA=O。§3.2几种特殊的矩阵练习题1.设矩阵A=12naaa，其中12,,,naaa两两不同。证明：与A可交换的矩阵必是对角阵。2.设A是n阶对称矩阵，B是n阶反对称矩阵。证明：AB是反对称矩阵的充分必要条件是AB=BA。§3.3分块矩阵练习题1.设矩阵A=3400430000200022利用分块矩阵求8A。2.设矩阵A=100000001000aabb，B=000100001000aabb利用分块矩阵计算AAT，（A-B）BT。3.设矩阵A=1111111111111111利用分块矩阵求A6。4.设A，B均为n阶矩阵。证明：ABA+BA-BBA。§3.4逆矩阵练习题1.求下列矩阵A的伴随矩阵A*，并用伴随矩阵求逆公式-1*1A=AA求其逆矩阵。（1）A=,0abadbccd.（2）A=143120223。2.用初等变换法求下列矩阵的逆矩阵．（1）A=111210110.（2）A=1111111111111111。3.设A，B分别是m阶，n阶可逆矩阵，C为m×n矩阵。证明：分块矩阵ACOB可逆，并求1ACOB。4.用分块矩阵求逆公式求矩阵A的逆矩阵，A=0002100053111000110000100.5.已知3阶矩阵A的逆矩阵1111A121113，试求其伴随矩阵A*的逆矩阵。6.设矩阵A=100130225012，试求1*AT。7.设3阶矩阵A满足条件A1,2,3iiii，其中列向量1231,2,2,2,2,1,2,1,2TTT。试求矩阵A。8.设n阶矩阵A，B满足条件A+B=AB.（1）证明A-E为可逆阵。（2）已知矩阵B=130210002，求矩阵A。9.设矩阵A=111111111，已知*-1AX=A+2X，试求矩阵X。10.设A为n阶矩阵，且A2-A-2E=O，其中E为n阶单位矩阵。证明：A与A+2E均可逆，并求A-1和（A+2E）-1。11.设A，B均为n阶矩阵，B与E+AB均可逆。证明：E+BA也可逆，并求（E+BA）-1。12.设A为n阶非零实矩阵，A*=AT。证明：A是可逆矩阵。§3.5初等矩阵练习题1.设A为n阶可逆矩阵，B是A交换第i行和第j行所得的矩阵。（1）证明：B是可逆矩阵。（2）求AB-1。2.设A，B为3阶矩阵，将A的第3行的（-2）倍加到第2行得到A1，将B的第2列加到第1列得到B1，已知A1B1=112022003求AB。3.设矩阵A=122221425，B=101021000问是否存在可逆阵P，使得PA=B？若存在，试求P。第三章综合练习题1.填空题（1）设A为n阶方阵，B满足关系式221A=B+E,A=A,B=2且则___________.（2）设A为n阶方阵，且Am=E，其中m为正整数。若将A的n2个元素用其代数余子式Aij代替，得到的矩阵记为B，则Bm=_________.（3）设A，B均为n阶矩阵，*-1A=2B=-32AB，，则=____________.（4）设矩阵A，B满足A*BA=2BA-8E，其中A=100020001，则B=_________.（5）已知矩阵A=12131021x，B是3阶非零矩阵，若AB=O，则r(B)=________.2.选择题（1）设三阶矩阵23A23，23B2，其中23,,,均为三维行向量，已知A18，B2，则A-B（）（A）1.(B)2.(C)3.(D)4.（2）若A为三阶矩阵，为三阶数量矩阵，则下列结论不一定正确的是（）．（A）A与A2可换.（B）A与A*可换.（C）A与可换.（D）A与AT可换.（3）若A为n阶可逆矩阵，则下列结论不正确的是（）．（A）-1kk-1(A)=(A).（B）TkkT(A)=(A).（C）k**k(A)=(A).（D）**(kA)=kA.（4）设A，B为n阶矩阵，A*，B*是其伴随矩阵，AOC=OB，则*C（）．（A）**AAOOBB.（B）**BBOOAA.（C）**BAOOAB.（D）**ABOOBA.（5）若A经过初等行变换为B，则（）．（A）A的行向量组与B的行向量组等价；（B）A的列向量组与B的列向量组等价；（C）A的行向量组与B的列向量组等价；（D）A的列向量组与B的行向量组等价．3.已知3阶矩阵A=422211211，求A100。4.设A为n阶正交矩阵，且A0，求：（1）A.（2）A+E.5.设n阶方阵A=010000200001000nn.（1）求1A.（2）求A的第i行的代数余子式之和Ai1+Ai2+…+Ain.6.设A，B为3阶矩阵，将A的第1行的（-3）倍加到第3行得到A1，将B的第1列乘以（-3）得到B1，再将B1的第2列加到第1列得到B2，已知A1B2=012101243求AB。7.设A，B均为n阶方阵，且B0，（A-E）-1=（B-E）T，证明：A0.8.已知n阶可逆矩阵A的每行元素之和均为a，则A-1的每行元素之和必为1a。第三章提高练习题1.填空题（1）已知当A=13223122时，A6=E，则A11=__________.（2）设A，B，C均为n阶方阵，且AB=BC=CA=E，则A2+B2+C2=____________.（3）设A为可逆矩阵，且*2-1A=AE,A则=____________.（4）设A，B均为4阶方阵，且*1A=2,B=,AB2则=____________.（5）已知A=1420211102ab，B是3阶非零矩阵，且AB=O，则ab=____________.2.判断分析题（1）设n（n2）阶实对称矩阵A=(aij)n×nO,且aij=Aij（i,j=1,2…,n）,其中Aij是元素aij的代数余子式。则有AAT=E。（2）设A为n（n1）阶可逆矩阵，A*是A的伴随矩阵。则*n-2*A=AA.（3）设A是m×n矩阵，B是n×m矩阵，则当mn时，必有AB0.（4）设A，B均为m×n矩阵，则齐次线性方程组AX=O与BX=O同解的充分必要条件是矩阵A与B等价。3.设A为n阶非奇异矩阵，为n维列向量，b为常数。记分块矩阵T*TEOAαP=,Q=-αAAαb（1）计算并化简PQ.（2）证明：Q可逆的充分必要条件是TA-1b.4.设n阶矩阵A=E-T，其中是n维非零列向量。证明：（1）A2=A的充要条件是T=1.（2）当T=1时，A是不可逆矩阵.5.已知AP=PB，其中B=100100000,P210001211。求A及A5。6.设矩阵A的伴随矩阵A*=1000010010100308，且ABA-1=BA-1+3E。求矩阵B。