第三章矩阵的进一步讨论

1第三章矩阵的进一步讨论基础训练题1.矩阵A的秩指的是什么？解：A中非零子式的最大阶数,若没有非零子式,则A的秩为零.2.设F上的矩阵A的秩是r，下列论断哪些是对的？哪些是错的？是对的，给出证明；是错的，举出反例.（1）A中只有一个r阶子式不为零；解：错.例如A=0021,秩A=1,但一阶非零子式有两个.（2）A中所有r1阶子式全为零；解：错.例如A=420210001,秩A=2,但A有5个2-1阶子式非零.（3）A中可能也有r＋1阶子式不为零；解：错.否则与秩A=r矛盾.（4）A中至少有一个r阶子式不为零.解：对.若A中r阶子式全为零,则秩Ar矛盾.3.取何值时，矩阵的所有42211211的秩最小.解：.24.求下列矩阵的秩(1)2201111201121021;(2)1641121213212110.解:(1)4;(2)4.25.设A*是F上的n阶矩阵A的伴随矩阵，若秩An－1，问A*的秩是多少？解:秩A*=0..6.设A是F上的mn矩阵，其秩小于m.证明，存在m阶非零矩阵G,使得GA＝0.证明:设秩A＝r,则存在m阶可逆矩阵P和n阶可逆矩阵Q,使得PAQ=000rI令m阶方阵B=rmI000,其中rmI是m阶单位矩阵,因为rm,所以0B,而BPAQ=B000rI=0令G=BP,因为P为m阶可逆矩阵,所以0G.在GAQ=0两边右乘以1Q即得GA=0.7.已知矩阵A的秩为2，求一个非零矩阵C使得AC＝0.A＝010111101解:因为)1()1()1(132132ATTT0002I所以)1(13TC1000I=100000100.8.设,都是数域F上的矩阵A的属于特征根的特征向量，问＋是不是A的特征向量？为什么？解:若,0则不是A的特征向量;3若,0则是A的属于特征根的特征向量.这是因为A()=().9.求下列矩阵的特征根.(1)242422221;(2)284014013.(1)1=7,232;(2)1=2,132.10.设1,2是数域F上的矩阵A的不同特征根，1,2是相应的特征向量，证明1＋2不再是A的特征向量.证明:假设1＋2是A的属于特征根的特征向量,则A(1＋2)=(1＋2),另一方面,A(1＋2)=1＋2于是0)()(2211.因为21,所以1,2都不为零.因此2=k1)0(k.这样k11=kA1=A2=22=k21从而)(211=0.因此21.矛盾.11.设A,B都是数域F上的n阶矩阵，且A可逆，证明，AB与BA相似.证明:因为AB1ABAA111)()(ABAA,所以AB与BA相似.12.已知相似矩阵有相同的特征多项式，问这个命题的逆命题成立吗？若不成立，请举一个反例.解:不成立.例如:1011,1001BA尽管有2)1()()(xxfxfBA,但A与B不相似(否则B=A).13.设矩阵A与B相似，其中4A＝11322002a，B＝b00020001.求a与b的值.解:a＝0,b＝-2.14.设A,B,T都是复数域上的n阶方阵,且T是可逆矩阵.证明,若T1AT=B,则对任意的正整数m,有T1AmT=Bm.证明:B2＝(T1AT)(T1AT)=T1A2TB3＝B2B=(T1A2T)(T1AT)=T1A3T…………………….Bm＝T1AmT.15.设A,B都是F上的n阶对称矩阵，证明，AB是对称矩阵当且仅当AB＝BA.证明：必要性：设AB对称，则()TTTABABBABA．充分性：设ABBA，则()TTTABBABAAB．16.方阵A称为斜对称的，如果AT＝A.证明，实斜对称矩阵的特征根为零或纯虚数.证明：设是A的任一特征根，则存在复数域上ｎ维列向量，使得A．设12nccc，其中12,,,nccc均为复数且不全为零．用的转置矩阵T左乘以上式的两边，得()TTTA．由于TAA，所以由转置矩阵的性质可得()TTTTTAAA所以()0T，而10nTiiicc．因此0，即是零或纯虚数．517.设矩阵A与B合同.证明，秩A＝秩B.证明：若A与B合同，则存在可逆矩阵P使得TBPAP，所以秩B＝秩()TPAP＝秩A．18.设可逆实方阵A与B合同.证明，detA与detB的符号相同.证明：设实方阵A与B合同，则存在可逆实方阵P使得TBPAP，因此2detdet()(det)detTBPAPPA，因为2(det)0P，所以detA与detB同正，同负或同时为零．19.用合同变换化下列矩阵为对角形.(1)312101211，(2)021212102121210.解：（１）．100010000；（２）．1001004001；（答案不唯一）20.用非退化的线性替换化下列二次型为标准形（1）4x1x2＋2x1x3＋2x2x3;（2）x123x222x1x2＋2x1x36x2x3.解：（1）．经非退化的线形替换11223311120131122xyxyxy，得标准形：2221231242yyy．（2）．经非退化的线形替换11223331121012001xyxyxy，得标准形：622124yy．（答案不唯一）21.设n阶实对称矩阵A是正定的,P是n阶实可逆矩阵.证明,PTAP也是正定矩阵.证明：因为A正定，所以存在可逆的n阶实矩阵Q，使得TnQAQI，因此11()()()TTTnPQPAPPQQAQI，而1PQ是可逆的实矩阵，故TPAP正定．22.设A是n阶实对称矩阵.证明，A是正定矩阵当且仅当存在n阶实可逆矩阵P，使A＝PTP.证明：因为A正定的充要条件是A与nI合同，所以存在n阶实可逆矩阵P，使得TTnAPIPPP．23.如果n阶实对称矩阵A的秩等于A的正惯性指数,那么称A是半正定的.证明，如果A＝(aij)是秩为r的n阶实对称矩阵,那么(1)A是半正定矩阵的充分且必要条件是A与n阶方阵000Ir合同;(2)A是半正定矩阵的充分且必要条件是对于变量x1,x2,…,xn每取一组不全为零的实数,实二次型f(x1,x2,…,xn)=ninjjiijxxa11的函数值都是非负数.证明：（１）．A半正定A的正惯性指数PA的秩rA与000rI合同．（２）．．设A半正定，则存在可逆的()nPMR，使得000rTIPAP，其中r＝秩A．令XPY，因为P可逆，所以对任意一组不全为零的1,,nxx，都有11,,,,,rrnyyyy不全为零．因此2211(,,)()0TTTnrfxxXAXYPAPYyy．．用反证法．假设A不是半正定的，即pr．则存在可逆的()nPMR，7使得0000000PTrpIPAPI，其中0pr．令XPY，则2222111(,,)()0TTTnpprfxxXAXYPAPYyyyy特别地取10pyy，但1,,pryy不全为零，即1,,rnyy任取．这样由P可逆知，对应得一组不全为零的1,,nxx．此时1(,,)0nfxx，矛盾．24.设A是n阶实对称矩阵.证明,若A是半正定的,则A的行列式是非负实数.证明：因为A半正定，所以存在可逆的()nPMR，使得000rTIPAP，其中r＝秩A．因此20(det)detdet00rIPA．若rn，则det0A．否则det0A．25.设A是n阶正定矩阵,B是n阶半正定矩阵.证明,A+B是正定矩阵.证明：因为A是n阶正定矩阵，B是n阶半正定矩阵，所以对任意一个n维非零向量X，都有0TXAX，0TXBX，因此()0TXABX即AB是正定的．26．设A是一个正定矩阵.证明,(1)对于任意正实数l,lA是正定矩阵;(2)对于任意正整数k,Ak是正定矩阵;(3)A－1是正定矩阵;(4)A的伴随矩阵A*也是正定矩阵.证明：（１）．因为A正定，所以存在可逆的()nPMR，使得TAPP．因此()()TlAlPlP．故lA正定．（２）．若k为偶数，则22()()kkkTAAA，于是kA正定；若k为奇数，则81122()()kkkTAAA，即kA与A合同，所以kA正定．（３）．因为A正定，所以A是可逆的实对称矩阵，因此由1TAAAA可得，A与1A合同，故1A正定．（４）．1(det)AAA，由于det0A，1A正定，所以由（１）知A正定．27.判断下列实二次型是否正定：(1)2110x＋8x1x2＋24x1x3＋222x－28x2x3＋23x；(2)niix12＋njijixx1.解：（１）．不正定；（２）．正定