第三章空间向量与立体几何单元检测2(人教A版选修2-1)

第三章空间向量与立体几何单元检测2时间120分钟，满分150分。一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)1．已知非零向量a、b，及平面α，若向量a是平面α的法向量，则a·b＝0是b所在直线平行于α或在α内的()A．充分必要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件[答案]A[解析]若a·b＝0，则a⊥b，∵b≠0，a是平面α的法向量，b所在直线平行于α或在α内，反之结论也成立．2．下列说法中不正确的是()A．平面α的法向量垂直于与平面α共面的所有向量B．一个平面的所有法向量互相平行C．如果两个平面的法向量垂直，那么这两个平面也垂直D．如果a，b与平面α共面且n⊥a，n⊥b，那么n就是平面α的一个法向量[答案]D[解析]只有当a、b不共线时，D才正确．3．已知矩形ABCD，PA⊥平面ABCD，则以下等式中可能不成立的是()A.DA→·PB→＝0B.PC→·BD→＝0C.PD→·AB→＝0D.PA→·CD→＝0[答案]B[解析]①DA⊥ABDA⊥PA⇒DA⊥平面PAB⇒DA⊥PB⇒DA→·PB→＝0；②同①知AB→·PD→＝0；③PA⊥平面ABCD⇒PA⊥CD⇒PA→·CD→＝0；④若BD→·PC→＝0，则BD⊥PC，又BD⊥PA，∴BD⊥平面PAC，故BD⊥AC，但在矩形ABCD中不一定有BD⊥AC，故选B.4．如果平面的一条斜线段长是它在这个平面上的射影长的3倍，那么斜线段与平面所成角的余弦值为()A.13B.223C.22D.23[答案]A5．已知a＝(λ＋1,0,2)，b＝(6,2μ－1,2λ)，若a∥b，则λ与μ的值可以是()A．2，12B．－13，12C．－3,2D．2,2[答案]A[解析]∵a∥b，∴存在实数k，使b＝ka，即：(6,2μ－1,2λ)＝(kλ＋k,0,2k)，∴kλ＋k＝62μ－1＝02λ＝2k，∴μ＝12λ＝2k＝2或μ＝12λ＝－3k＝－3，故选A.6.在正三棱柱ABC－A1B1C1，若AB＝2BB1，则AB1与C1B所成角的大小()A．60°B．90°C．105°D．75°[答案]B[解析]解法一：设AB→＝a，AC→＝b，AA1→＝c，AB＝2，则|a|＝|b|＝2，|c|＝1，a·c＝0，b·c＝0，a·b＝1.∴AB1→＝AB→＋BB1→＝a＋c，BC1→＝BC→＋CC1→＝(b－a)＋c，∵AB1→·BC1→＝a·b－|a|2＋a·c＋c·b－c·a＋|c|2＝0，∴AB1→⊥BC1→，即AB1⊥C1B.解法二：取AC中点D，建立如图所示的坐标系．设AB＝1，则B32，0，0，C10，12，22，A0，－12，0，B132，0，22，∴cos〈AB1→，C1B→〉＝AB1→·C1B→|AB1→||C1B→|＝0.∴AB1与C1B所成的角为90°.7．在下列条件中，使M与不共线三点A、B、C一定共面的是()A.OM→＝2OA→－OB→－OC→B.OM→＝15OA→＋13OB→＋12OC→C.MA→＋MB→＋MC→＝0D.OM→＋OA→＋OB→＋OC→＝0[答案]C[解析]∵点M在平面ABC内，∴对空间任一点O，有OM→＝xOA→＋yAB→＋zAC→且x＋y＋z＝1，故A、B、D均不对．8．如图，P是边长为a的正六边形ABCDEF平面外一点，PA⊥AB，PA⊥AF，为求P与CD的距离作PQ⊥CD于Q，则()A．Q为CD的中点B．Q与D重合C．Q与C重合D．以上都不对[答案]C9．如图，空间四边形OABC中，OA→＝a，OB→＝b，OC→＝c，点M在OA上，且OM＝12MA，N为BC中点，则MN→等于()A.12a－23b＋12cB．－13a＋12b＋12cC.12a＋12b－23cD.23a＋23b－12c[答案]B[解析]MN→＝ON→－OM→＝12(OB→＋OC→)－13OA→＝12(b＋c)－13a＝－13a＋12b＋12c.故选B.10．如图ABCD－A1B1C1D1为正方体，下面结论错误．．的是()A．BD∥平面CB1D1B．AC1⊥BDC．AC1⊥平面CB1D1D．异面直线AD与CB1所成的角为60°[答案]D[解析]正方体中，BD∥B1D1，且BD⊄面CB1D1，知BD∥平面CB1D1，A正确；AC1在面ABCD内的射影为AC，又AC⊥BD，由三垂线定理知AC1⊥BD.故B正确；同理可得AC1⊥B1D1，AC1⊥CD1，且B1D1∩CD1＝D1，∴AC1⊥平面CB1D1，故C正确；由AD∥BC知，∠B1CB为AD与CB1所成的角，应为45°，故D错误．11．已知A(2，－5,1)，B(2，－2,4)，C(1，－4,1)，则AC→与AB→的夹角为()A．30°B．45°C．60°D．90°[答案]C[解析]AB→＝(0,3,3)，AC→＝(－1,1,0)．设〈AB→，AC→〉＝θ，则cosθ＝AB→·AC→|AB→|·|AC→|＝332·2＝12，∴θ＝60°.12．已知△ABC的顶点A(1，－1,2)，B(5，－6,2)，C(1,3，－1)，则AC边上的高BD的长等于()A．3B．4C．5D．6[答案]C[解析]解法一：设D(x，y，z)，则AD→＝(x－1，y＋1，z－2)，BD→＝(x－5，y＋6，z－2)，AC→＝(0,4，－3)，∵AD→∥AC→，且BD→⊥AC→，∴x－1＝04y＋1＝－3z－24(y＋6)－3(z－2)＝0，∴x＝1y＝－215z＝225，∴|BD→|＝5.解法二：设AD→＝λAC→，D(x，y，z)，则(x－1，y＋1，z－2)＝λ(0,4，－3)，∴x＝1，y＝4λ－1，z＝2－3λ.∴BD→＝(－4,4λ＋5，－3λ)，又AC→＝(0,4，－3)，AC→⊥BD→，∴4(4λ＋5)－3(－3λ)＝0，∴λ＝－45，∴BD→＝－4，95，125，∴|BD→|＝(－4)2＋952＋1252＝5.二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分，把正确答案填在题中横线上)13．过二面角α－l－β内一点P作PA⊥α于A，作PB⊥β于B，若PA＝5，PB＝8，AB＝7，则二面角α－l－β为________．[答案]120°[解析]设PA→＝a，PB→＝b，由条件知|a|＝5，|b|＝8，|AB→|＝7，∴AB2＝|AB→|2＝|b－a|2＝|b|2＋|a|2－2a·b＝64＋25－2a·b＝49，∴a·b＝20，∴cos〈a，b〉＝a·b|a|·|b|＝12，∴〈a，b〉＝60°，∴二面角α－l－β为120°.14．若△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝60°，AB＝8，PC⊥平面ABC，PC＝4，M是AB上一点，则PM的最小值为________．[答案]27[解析]由条件知PC、AC、BC两两垂直，设CA→＝a，CB→＝b，CP→＝c，则a·b＝b·c＝c·a＝0，∵∠BAC＝60°，AB＝8，∴|a|＝CA＝8cos60°＝4，|b|＝CB＝8sin60°＝43.|c|＝PC＝4，设AM→＝xAB→＝x(b－a)，则PM→＝PC→＋CA→＋AM→＝－c＋a＋x(b－a)＝(1－x)a＋xb－c，|PM→|2＝(1－x)2|a|2＋x2|b|2＋|c|2＋2(1－x)xa·b－2xb·c－2(1－x)a·c＝16(1－x)2＋48x2＋16＝32(2x2－x＋1)＝64x－142＋28，∴当x＝14时，|PM→|2取最小值28，∴|PM→|min＝27.15．已知正三棱柱ABC－A1B1C1的所有棱长都相等，D是A1C1的中点，则直线AD与平面B1DC所成的角的正弦值为________．[答案]45[解析]不妨设正三棱柱ABC－A1B1C1的棱长为2，建立如右图所示空间直角坐标系，其中x轴垂直于AB，y轴平行于AB.则C(0,0,0)，A(3，－1,0)，B1(3，1,2)，D33，－12，2，则CD→＝32，－12，2，CB1→＝(3，1,2)，设平面B1DC的法向量为n＝(x，y,1)，由n·CD→＝0n·CB1→＝0，解得n＝(－3，1,1)．又∵DA→＝32，－12，－2，∴sinθ＝|cos〈DA→，n〉|＝45.16．正方体ABCD－A1B1C1D1中，二面角A－BD1－B1的大小为________．[答案]120°[解析]如图，以C为原点建立空间直角坐标系C－xyz，设正方体的棱长为a，则A(a，a,0)，B(a,0,0)，D1(0，a，a)，B1(a,0，a)，∴BA→＝(0，a,0)，BD1→＝(－a，a，a)，BB1→＝(0,0，a)，设平面ABD1的法向量为n＝(x，y，z)，则n·BA→＝(x，y，z)·(0，a,0)＝ay＝0，n·BD1→＝(x，y，z)·(－a，a，a)＝－ax＋ay＋az＝0，∵a≠0，∴y＝0，x＝z，令z＝1，则n＝(1,0,1)，同理平面B1BD1的法向量m＝(－1，－1,0)，cos〈n，m〉＝n·m|n|·|m|＝－12，而二面角A－BD1－B1为钝角，故为120°.三、解答题(本大题共6个大题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本小题满分12分)若e1、e2、e3是三个不共面向量，则向量a＝3e1＋2e2＋e3，b＝－e1＋e2＋3e3，c＝2e1－e2－4e3是否共面？请说明理由．[解析]设c＝λ1a＋λ2b，则3λ1－λ2＝22λ1＋λ2＝－1λ1＋3λ2＝－4⇒λ1＝15，λ2＝－75.即c＝15a－75b.∵a、b不共线，∴a、b、c共面．18．(本小题满分12分)在四棱锥P－ABCD中，ABCD为平行四边形，AC与BD交于O，G为BD上一点，BG＝2GD，PA→＝a，PB→＝b，PC→＝c，试用基底{a，b，c}表示向量PG→.[解析]∵BG＝2GD，∴BG→＝23BD→.又BD→＝BA→＋BC→＝PA→－PB→＋PC→－PB→＝a＋c－2b，∴PG→＝PB→＋BG→＝b＋23(a＋c－2b)＝23a－13b＋23c.19．(本小题满分12分)如图所示，已知空间四边形ABCD，P、Q分别是△ABC和△BCD的重心．求证：PQ∥平面ACD.[证明]∵P、Q分别是△ABC和△BCD的重心．∴PQ→＝EQ→－EP→＝13ED→－13EA→＝13(ED→－EA→)＝13AD→.∴PQ→∥AD→即PQ∥AD，又PQ平面ACD，AD⊂平面ACD，∴PQ∥平面ACD.20．(本小题满分12分)已知空间三点A(0,2,3)，B(－2，1,6)，C(1，－1,5)．若|a|＝3，且a分别与AB→、AC→垂直，求向量a.[解析]设a＝(x，y，z)，由题意得，－2x－y＋3z＝0x－3y＋2z＝0x2＋y2＋z2＝3.解得x＝1y＝1z＝1，或x＝－1y＝－1z＝－1.所以a＝(1,1,1)或a＝(－1，－1，－1)．21．(本小题满分12分)如图，已知正三棱柱ABC－A′B′C′的侧棱长为2，底面边长为1，M是BC的中点，在直线CC′上是否存在一点N，使得MN⊥AB′？若存在，请指出它的位置；若不存在，请说明理由．[解析]假设在直线CC′上存在一点N，使得MN⊥AB′，设CN→＝xCC′→.∵MN→＝MC→＋CN→＝12BC→＋xCC′→，AB′→＝AB→＋BB′→＝AB→＋CC′→，∴MN→·AB′→＝12BC→＋xCC′→·(AB→＋CC′→)＝0，即12BC→·AB→＋12BC→·CC′→＋xCC′→·AB→＋xCC′→2＝0，12|BC→||AB→|cos〈BC→，AB→〉＋4x＝0.∴－14＋4x＝0，∴x＝116.即在直线CC′上存在一点N，当|CN→|＝18时，MN⊥AB′.22．(本小题满分14分)(2010·重庆·理，19)如图，四棱锥P—ABCD中，