第三章第2节解一元一次方程(一)合并同类项与移项

第1页版权所有不得复制初中数学第三章第2节解一元一次方程（一）——合并同类项与移项编稿老师高静一校黄楠二校林卉审核路子华一、考点突破本讲主要学习通过合并同类项和移项解一元一次方程，体会解一元一次方程的基本思想，进一步熟练在列方程时找相等关系，了解用一元一次方程分析和解决实际问题的基本过程。中考预测：可通过合并同类项和移项来解的一元一次方程都比较简单，在中考试题中出现的不多，主要在选项题或填空题中以解方程或应用题的形式出现。二、重难点提示重点：（1）会通过移项和合并同类项解简单的一元一次方程；（2）分析实际问题中的已知量和未知量，找出相等关系，列出方程。难点：（1）移项的法则；（2）建立列方程解决实际问题的思想方法。一、知识脉络图一元一次方程的解法合并同类项①合并同类项②系数化为1移项法则解方程①移项②合并同类项③系数化为1步骤步骤二、知识点拨1.合并同类项的依据解方程时，将含有未知数的几个项合成一项叫合并同类项，它依据的是乘法的分配律，是分配律的逆用。2.移项的目的方程中的任何一项，都可以在改变符号后，从方程的一边移到另一边，这种变形叫移项。移项的依据是等式的基本性质1，移项的目的是将含有未知数的项移到方程的一边，将不含未知数的项移到另一边。随堂练习：方程3x＋6＝0的解的相反数是（）A.2B.－2C.3D.－3第2页版权所有不得复制解析：先要求得3x＋6＝0的解，通过移项，系数化为1得出x的值，再去求它的相反数。答案：方程3x＋6＝0移项得，3x＝－6，系数化为1得，x＝－2；则：－2的相反数是2。故选A。知识点1：一元一次方程的解法例题1下列变形中，属于移项变形的是（）A.由3x＋2＝0得3x＝－2B.由x5＝1得x＝5C.由2x＋13＝2得2x＋1＝6D.由3x＝1得x＝13思路导航：A选项符合移项变形，B、C、D三项是利用等式的性质2进行的变形。答案：A点评：解方程过程中的变形都是依据等式的性质进行的，本题中的四个选项里方程的变形都正确，都符合等式的性质，但只有选项A是移项变形。例题2阅读下面解方程的过程，请回答题后提出的问题。解方程：2x－3＝9x－7。解：移项，得2x＋9x＝－7－3。（A）合并同类项，得11x＝－10。（B）系数化为1，得x＝－1110。（C）问：（1）上述解方程的过程，在哪一步有错误？请写出该步的代号：__________；（2）错误的原因为：__________；（3）请写出正确的解题过程。思路导航：按照解题顺序发现移项时，9x由等号的右边移到等号的左边，符号要改变，而题目中没有改变，所以该步出错。答案：（1）（A）；（2）步骤（A）移项时没变号。（3）移项，得2x－9x＝－7＋3。合并同类项，得－7x＝－4。系数化为1，得x＝47。点评：解方程时移项要变号，不管是什么样的项，只要是从方程的一边移动到另一边就必须要变号。例题3解方程︱2x－3︱＝5。思路导航：根据绝对值的意义，将原方程化为两个一元一次方程求解即可。答案：因为︱2x－3︱＝5，第3页版权所有不得复制所以2x－3＝5或2x－3＝－5。所以x＝4或x＝－1。点评：本题主要考查解绝对值符号内含有未知数的方程，可把绝对值看作一个整体，利用绝对值的意义，进行分类讨论，求出未知数的值。知识点2：一元一次方程的综合问题例题1已知：关于x的方程x－2m＋1＝0与2－m－x＝0的解互为相反数，试求这两个方程的解及m的值。思路导航：由两个方程的解互为相反数，而互为相反数的两个数之和为0，可得到关于m的一元一次方程，从而得到m的值，进而解得两个方程的解。答案：因为方程x－2m＋1＝0与2－m－x＝0是关于x的两个一元一次方程，所以x－2m＋1＝0的解为x＝2m－1，2－m－x＝0的解为x＝2－m。又因为关于x的方程x－2m＋1＝0与2－m－x＝0的解互为相反数，所以2m－1＋2－m＝0，解得m＝－1，所以2m－1＝－3，2－m＝3。所以这两个方程的解分别为－3，3，m的值为－1。点评：如果两个方程的解相等或互为相反数或具有某种其他特殊关系时，通常把原方程中的某些字母看成常数解方程，再根据两个方程的解的关系构造新的方程求解。例题2有一列数，按一定规律排成1、－4、16、－64、256、－1024、…，其中某三个相邻的数的和是－13312，求这三个数各是多少？思路导航：先仔细观察这些数发现：后面的数是它前面数的－4倍，所以可以设相邻三个数中的第一个数是x，那么第二个数就是－4x，第三个数就是16x。答案：设三个相邻数中的第一个数为x，则x＋（－4x）＋16x＝－13312，解得x＝－1024，所以－4x＝4096，16x＝－16384。点评：先通过观察分析它们的排列规律，设出其中一个数，按排列规律表示出其他数，然后列方程求解。知识点3：列一元一次方程分析和解决实际问题例题1日历上，妈妈生日那天的上、下、左、右四个日期的和为64，你能说出妈妈的生日是几号吗？请列出方程。思路导航：设妈妈的生日是x号，则上面一天是（x－7）号，下面一天是（x＋7）号，左面一天是（x－1）号，右面一天是（x＋1）号。答案：设妈妈的生日是x号，根据题意得：x－7＋x＋7＋x－1＋x＋1＝64。解得x＝16。答：妈妈的生日是16号。第4页版权所有不得复制点评：数学源于生活，生活离不开数学，仔细观察日历，很容易发现日历上相邻的两个数横差1，竖差7。例题2某工厂在一定时间内加工一批零件，如果每天加工44个就比规定任务少加工20个；如果每天加工50个则可超额10个，求规定加工的零件数和计划加工的时间分别是多少？思路导航：问题要求两个量，可设其中一个量为x，利用另一个量不发生变化列出方程，不妨设计划加工的时间为x天，可列出下表：计划加工的时间工作效率实际工作量规定加工的零件数一种情况x天每天加工44个44x（44x＋20）个另一种情况x天每天加工50个50x（50x－10）个由上表可以清楚地用两种方式表示规定加工的零件数，即可找到相等关系。答案：设计划加工的时间为x天，根据题意，得44x＋20＝50x－10，移项，得44x－50x＝－10－20。合并同类项，得－6x＝－30。系数化为1，得x＝5。则44x＋20＝240（个）。答：规定加工的零件数为240个，计划加工的时间为5天。点评：利用列表分析法可以很容易地将问题中的已知量和未知量之间的关系表示出来，从而迅速找到等量关系，列出方程。例题3某超市推出如下优惠方案：（1）一次性购物不超过100元不享受优惠；（2）一次性购物超过100元但不超过300元一律九折；（3）一次性购物超过300元一律八折。王波两次购物分别付款80元、252元，如果王波一次性购买与上两次相同的商品，则应付款多少元？思路导航：由题意可知80元是一件商品的实价，设付款252元的商品的标价为x元，则x元有两种可能：x＜300或x＞300。答案：设付款252元的商品的标价为x元，由题意可得：0.9x＝252或0.8x＝252。解得x＝280或x＝315。所以王波一次性购买与上两次相同的商品应付款为：（80＋280）×0.8＝288（元），或（80＋315）×0.8＝316（元）。答：王波一次性购买与上两次相同的商品应付款为288元或316元。点评：在本题中，不确定付款252元的商品的标价，因为不超过300元的商品打九折或超过300元的商品打八折都有可能付款252元，所以本题的答案也有两种可能。（铜仁中考）铜仁市对城区主干道进行绿化，计划把某一段公路的一侧全部栽上桂花树，要求路的两端各栽一棵，并且每两棵树的间隔相等。如果每隔5米栽1棵，则树苗缺21棵；如果每隔6米栽1棵，则树苗正好用完。设原有树苗x棵，则根据题意列出方程正确的是（）A.5（x＋21－1）＝6（x－1）B.5（x＋21）＝6（x－1）第5页版权所有不得复制C.5（x＋21－1）＝6xD.5（x＋21）＝6x命题意图：考查一元一次方程的应用。解答：设原有树苗x棵，由题意得5（x＋21－1）＝6（x－1），故选A。点拨：列方程解应用题的关键是找到相等关系，本题的相等关系是这段公路的长度相等。1.解含有字母系数的一元一次方程应注意什么？（1）如果x的系数中含有字母，且能确定字母系数不为0，那么不需要分类讨论；（2）如果x的系数中含有字母，且不能确定字母系数不为0，那么一定要进行分类讨论；（3）如果x的系数中不含字母，而常数项中含有字母，那么一般不需要分类讨论。2.移项时容易出现的错误：（1）移项时，所移的项一定要变号，而且必须从方程的一边移到另一边。如7x－3＝2，把－3从方程的左边移到右边，结果为7x＝2＋3，不能写成7x＝2－3；（2）移项的依据是等式性质1，3x－6－2x＝5变成3x－2x＝5＋6是移项，而变成3x－2x－6＝5则不属于移项，它只是利用加法交换律变换了－6与－2x的位置，所以，大家要区别开以上两种不同的变形；（3）通常把未知项都移到“＝”号的左边，常数项移到“＝”号的右边，如－4x－7＝6x＋1移项为：－4x－6x＝1＋7。当然也可以移项得－7－1＝6x＋4x。但有时有的同学采取以下移项的方法，就是错误的，即6x＋4x＝1＋7，这是因为他把未知项和常数项都向“＝”号的另一侧进行了移项，但是最后写到“＝”的两边了，当然不符合逻辑。1.解较简单的一元一次方程的一般步骤和基本思想（1）移项，即通过移项把含有未知数的项放在等式的左边，把不含未知数的项（常数项）放在等式的右边；（2）合并，即通过合并将方程化为ax＝b（a≠0）的形式；（3）系数化为1，即方程两边都除以未知数系数a，即得方程的解x＝ba。2.列一元一次方程分析和解决实际问题用一元一次方程解决实际问题的关键是依据隐含在题目中的相等关系，通过建立数学模型（一元一次方程），将实际问题转化为数学问题。设未知数时，要注意单位，相等关系应是能表示问题全部含义的关系；对于方程的解，必须检验是否符合实际，对与现实生活不符的结果，要进行必要的取舍。（答题时间：60分钟）一、选择题1.下列说法中正确的是（）A.移项就是移动方程中某些项的位置B.合并同类项就是把字母相同的项合并成一项第6页版权所有不得复制C.方程x＋1x＝2是一元一次方程D.方程5x－1＝3x＋4在自然数集内有解2.某同学在解方程5x－1＝◎x＋3时，把◎处的数字看错了，解得x＝1，该同学把◎看成了（）A.3B.－8C.1D.93.挖一条1210米的水渠，由甲、乙两队从两头同时施工，甲队每天挖130米，乙队每天挖90米，需要几天才能挖好？若设需要x天才能挖好，则由题意可得方程（）A.130x＋90x＝1210B.130＋90x＝1210C.130x＋90＝1210D.（130－90）x＝12104.已知x＝1y＝1是方程2x－ay＝3的一个解，那么a的值是（）A.1B.3C.－3D.－15.如果13xa＋2y3与－3x3y2b－1是同类项，那么a、b的值分别是（）A.a＝1b＝2B.a＝0b＝2C.a＝2b＝1D.a＝1b＝1*6.某商店经销一批衬衣，每件进价为a元，零售价比进价高m%，后因市场变化，该商店把零售价调整为原来零售价的n%出售，那么调整后每件衬衣的零售价是（）A.a（1＋m%）（1－n%）元B.am%（1－n%）元C.a（1＋m%）n%元D.a（1＋m%·n％）元*7.已知方程3x＋8＝x4－a的解满足︱x－2︱＝0，则a的值为（）A.－114B.－128C.－1312D.4**8.将a千克含盐10%的盐水配制成含盐15%的盐水，需加盐x千克，则由此可列出方程（）A.a（1－10%）＝（a＋x）（1－15%）B.a·10%＝（a＋x）·15%C.a·10%＋x＝a·15%D.a（1－10%）＝x（1－15%）**9.新制作的渗水防滑地板是形状相同的长方形。如图，三块这样的地板可以拼成一个大的长方形。如果大长方形的周长为150厘米，则一块渗水防滑地板的面积是（）A.450平方厘米B.600平方厘米C.900平方厘米D.1350平方厘米**