平衡专题讲座

平衡专题讲座1．如图所示，有一半径为r的圆柱绕竖直轴OO’以角速度ω匀速转动，如果用力F把质量为m的物体压在圆柱侧面．能使物体以速度v匀速下滑，求物体m与圆柱面之间的滑动摩擦系数?(已知物体m在水平方向受光滑挡板的作用使之不能随圆柱体一起转动)2.如图所示，每侧梯长为l的折梯置于铅垂平面内，已知A、B两处动摩擦因数分别为μA=0．2，μB=0．6，不计梯重，求人能爬多高而梯不滑倒。3、一物体质量为m，置于倾角为a的斜面上，物体与斜面间的窈摩擦因数为μ，若要使物体沿斜面匀速向上滑动，求拉力的最小值。4．两本书A、B交叉叠放在一起，放在光滑水平桌面上，设每页书的质量为5克，两本书均为200页，纸与纸之问的动摩擦因数为0.3，A固定不动，用水平力把B抽出来，求水平力F的最小值。5、一根橡皮绳长3m，劲度系数为100N·m，现将其首尾相连，围成图2-l-7所示的正三角形，并用同样大小的对称力来拉它，现欲使橡皮绳所围成的正三角形的面积增大一倍，拉力F应为多大？6．如图2—1—8，两块固定的木板A、B之间夹着一块长方体木块C，C重6N，A、B对C的压力大小都是N=10N，今对C施以一外力F，将C从两板间水平匀速拉出，求F的大小和方向。已知C与A、B之间的动摩擦因数为0．4。7、质量m=lkg的物体在图2-1-9所示斜面上受水平横力F=5N的作用时，恰作匀速直线运动，则μ为多少?8．三根不可伸长的相同的轻绳，一端系在半径为r0的环上，彼此间距相等。绳子穿过半径为r0的第三个圆环，另一端用同样的方法系在半径为2r0的圆环上，如图2—1—10，环1固定在水平面上，整个系统处于平衡。试求第2个环中心与第3个环中心之距离。(三个环都是用同种金属丝制作的，摩擦不计。)9.如图2—2—1所示，在水平天花板与竖直墙壁间通过不计质量的柔软绳子和光滑的轻小滑轮悬挂重物G，绳长2．5m．OA=1．5m，G重40N，求绳中张力大小，并讨论：(1)当B点位置固定、A端缓慢左移时，绳中张力如何变化?(2)当A点位置固定，B端缓慢上移时，绳中张力如何变化?10.如图222所示，一根长为l、质量为m的粗细均匀的杆，上端靠在竖直的光滑墙上，下端立在水平的光滑地板上。一根绳子一端系在杆的中点，另一端系在墙角，绳与杆在同一平面内，试判定杆能否处于平衡状态。若能，再求出绳子所承受的张力；若不能，则需说明理由。11．如图2—2—9所示，一个和底面夹角为α的斜面体沿光滑水平面运动，斜面体上支一质量为m的重杆，重杆被一支架约束，保持竖直位置，且可以沿支架无摩擦地上下移动，求斜面体和杆问的动摩擦因数以及斜面体在水平方向匀速运动时杆对斜面体的压力。12．如图2—2—10所示，两个质量分别为m1、m2的小环能沿着一轻绳光滑地滑动，绳的两端固定于直杆的两端，杆与水平线成角度θ，在此杆上又套一轻小环，绳穿过轻环并使m1、m2在其两边，设环与直杆的接触是光滑的，当系统平衡时，直杆与轻环两边的绳夹角φ，试证1212tantanmmmm13．如图2—2一11，由n个动滑轮组成一个复式滑轮组，每个滑轮质量为m，第一个滑轮上吊一个重G的物体，试求最末一级滑轮上需多大的力F。14．相同的两个均质光滑球A和B由两根相同长度的绳悬于固定点O，此两球同时又支持一个等重的均质光滑球C且两绳不与C球接触，如图2—2—12所示。试求平衡时，绳与竖直线间的夹角α和A球(或B球)与C球球心连线与竖直线间的夹角β之间应满足的关系。15．如图2—2—13所示，将质量为M的匀质链条套在一表面光滑的圆锥上，圆锥顶角为α，设圆椎底面水平，链条静止时也成水平，求链条内张力。16．三根相同的圆木如图2—2—14所示，堆放在水平地面上，它们之间以及地面之间的静摩擦因数相同，问此静摩擦因数μ至少要多大，它们才能保持平衡。17.有一水果店，所用的秤是吊盘式杆秤。量程为10kg，现有一较大的西瓜，超过此秤的量程，店员A找到另一秤砣，与此秤砣完全相同，把它与原秤砣结在一起用为秤砣进行称量。平衡时，双砣位于刻度6．5kg处。他将此读数乘以2得13kg，作为西瓜的质量，卖给顾客。店员B对这种称量结果表示怀疑。为了检验，他另取一西瓜，用单称砣正常称量得8kg，用店员A的双秤砣法称量，得读数为3kg，乘以2后得6kg。这证明了店员A的办法是不可靠的。试问，店员A卖给顾客的那个西瓜的实际质量是多大?18.．如图2—3—4所示，两个重力分别为WA、WB的小球用细线连着套在一个竖直固定着的大圆环上，如果连线对圆心的夹角为α，当大圆环和小圆环之间的摩擦力及线的质量忽略不计时，求连线与竖直方向夹角θ。19.．如图2—3—5所示，一个轮轴，大轮半径25cm，小轮半径20cm，在小轮上绕有绳子，绳子下端挂一个重为500N的物体，在大轮上方有一杠杆压在大轮边缘上，若AB=40cm，BC=60cm，杠杆和大轮边缘的动摩擦因数μ=0．4，当重物匀速下落时，要在C点加一个多大的竖直向下的力?(杆、绳、轮质量不计)20．如图2—3—6所示，均匀杆Ll的A端用铰链固定在墙上，B端与L1相接触，AB水平，均质杆L2的C端也用铰链固定于C点，与墙壁成300角，两杆处于静止状态，Ll重l0N，L2重5N，求杆Ll的B端受杆L2的作用力的大小21．如图2—3—8所示，长为L的均匀木杆AB系在两根长也为L的细绳上，已知木杆重Q，在木杆上离A端L／4处放有一重Q／2的重物，平衡时，木杆与水平面的夹角α多大?22．半径为R、质量为M1的均匀圆球与一质量为M2的重物分别用细绳AD和ACE悬挂于同一点A，并处于平衡如图2—3—10所示。已知悬点A到球心O的距离为L，不考虑绳的质量和绳与球的摩擦，试求悬挂圆球的绳AD与竖直方向AB的夹角θ。23．两根质量分别为ml和m2的长度相同的均匀小棒紧紧地相连，构成角π／2，放在有点粗糙的水平面上，如图2—3一12所示。借助一根系在角顶点上的绳子，平行于平面匀速拉此系统。试求绳子与质量ml的小棒所成的角α。24．滑轮支承点A和B可以把梁水平“固定”，每一滚轮作用于梁的力不能超过F0，否则滚轮将损坏，梁的质量为m，长为L，两滚轮间的水平距离为l，如图2—3—13所示，问梁的一端允许悬挂的最大载荷是多少?梁应如何放置?25.轻支杆O’B的下端O’用球铰链支承，上端B用两根互相垂直的水平绳BC和BA系在两个互相垂直的墙壁上．挂在B点上的重物W=500N，如图2—4—3所示，OC=a=4m，OA=b=3m．OO’=c=10m，试求平衡时绳BC、BA所受的张力及铰链对杆的作用力。26．结构均匀的梯子AB，靠在光滑竖直墙上，已知梯子长L，重为G，与地面间的动摩擦因数为μ，如图2—4—7所示，(1)求梯子不滑动，梯子与水平地面夹角θ的最小值θ0；(2)当θ=θ0时，一重为P的人沿梯子缓慢向上，他上到什么位置，梯子开始滑动?27．如图2—4—9所示，有一轻质木板AB长为L．A端用铰链固定在竖直墙面上，另一端用一水平轻绳BC拉住。板上依次放着a、b、c三个均匀圆柱体，半径均为r，重均为G。木板与墙的夹角为θ．一切摩擦均不计，求BC绳上的张力。28．如图2—4—10所示，平板DE和小轮B置于V型轨道中，若要保证无论力W多大平板总不下滑，则A、B、C三处的最小动摩擦因数为多少?(DE为竖直方向，斜板FG与DE夹θ角)29．如图2—4—12，一铰链由2n个相同的链环组成，每两个链环问的接触是光滑的，铰链两端分别在一不光滑的水平铁丝上滑动，它们的动摩擦因数为μ。证明：当铰链在铁丝上相对静止时，末个链环与铅垂线交角为12tan21nn30．如图2—4—13，两个半径为r，重为G的相同的光滑球放在无底圆柱形筒内，圆筒的半径为R，且R2r，试求筒的重力W满足什么条件时，筒才不会翻倒。31．如图2—4—14所示，半径为R的均质半球体，其重心在球心O点正下方C点处，OC=3R／8，半球重为G，半球放置在水平面上，在半球的平面上放一重为G／8的物体，它与半球平面问的动摩擦因数μ=0．2；求无滑动时物体离球心O点的最大距离是多少?32．如图2—4—15所示，底边长为a，高度为b的匀质长方形物块置于斜面上，斜面和物块之间的静摩擦因数为μ，斜面的倾角为θ，当θ足够小时，物块静止于斜面上，如逐渐将倾角增大，当θ取某个临界值θ0时，物块或将开始滑动，或将翻倒。试分别求出发生滑动和翻倒时的θ0并说明在什么条件下出现的是滑动，在什么条件下出现的是翻倒。33．有一质量为m=50kg的直杆，竖立在水平地面上．杆与地面的静摩擦因数μ=0．3，杆的上端被固定在地面上的绳索拉住，绳与杆的夹角θ=300，如图2—4—16所示。(1)若以水平力F作用在杆上，作用点到地面的距离h1=2L／5(L为杆长)，要使杆不滑倒力F最大不能超过多少?(2)若将作用点移到h2=4L／5处时，情况又如何34．如图2—5—6，求图示均匀薄板的重心。大正方形边长为a，挖去的小正方形边长为a／4，一个顶点在大正方形的几何中心上，两正方形各对应边互相平行。35．如图2—5—7，飞轮重1500N，由实验测得其重心离转轴O1为4mm处的O点处，若在右侧离轴25cm处钻一圆孔，剩余部分重心将移到轴心Ol处，试求钻去部分的重力。36．如图2—5—8所示，有一串珍珠，每颗问距均为a，共n颗，其质量依次为m、2m、3m、…nm，求其重心离悬挂点的距离。37．一个六角螺帽如图2—5—9所示，其几何中心O到螺帽底边距离为h(内部圆半径为R)，由于这一偏离引起螺帽重心C偏离O多远?38．用一根细线竖直悬挂一根长为l的均匀细杆，置于水桶内水平水面上方，如图2—5—10所示，当水桶缓慢上提时，细木杆逐渐浸入水中，当木杆浸入水中超过一定深度l’时，木杆开始出现倾斜现象，求l’。已知杆的密度为ρ，水的密度为ρ0。39．如图2—5—11所示，边长为a的均匀立方体，平衡地放在一个半径为r的圆柱面顶部。假设静摩擦因数很大，足以阻止立方体下滑，试证物体的稳定平衡条件为ra／2。40．如图2—5—12所示，将一根长度为2l的硬铅丝弯成等臂直角形框架，在两臂的端点各固定一个质量为m的小球，在直角的顶点焊一根长为r的支杆，支杆平分这一顶角，将杆支在一支座上。试证：当r=22l时平衡为随遇的；当r22l时，平衡为非稳定的；而r22l时，平衡成为稳定的(不计支杆、铅丝的质量)。41如图2—6—4所示，在静止的电梯内放一桶水，一根轻质弹簧下端固定在桶底上，上端系住一个全部浸没在水中的木块(木块的密度小于水的密度)，当电梯沿竖直方向以加速度a(ag)运动时，弹簧的伸长变化的情况是()。A·以a匀加速上升时，弹簧的伸长量减小；B·以a匀减速上升时，弹簧的伸长量减小；C·以a匀加速下降时，弹簧的伸长量减小；D·以a匀减速下降时，弹簧的伸长量减小。42．在图2—6—5中，A是一质量为M的木块，B是一质量为m的小铁块，共浮在水面上，若将铁块取下，直接放在水里，最后杯中水面的高度将如何变化?43．在蜡烛的底部插入一个铁钉后，竖立在水中，蜡烛露出水面lcm，已知蜡烛的密度为水密度的0．9倍，现将蜡烛点燃，蜡烛燃烧多长后才可熄灭?44·如图2—6—6所示，半径为r的球浮于密度分别ρl和ρ2的分层液体的界面处。设分界面正好位于球的直径平面上，求球所受到的浮力有多大?45．一个边长为b的立方体容器中盛有密度为ρ2的某种液体，一个边长为a(ab)，密度为ρ1(ρ1ρ2)的立方体A浮于液面上，如图2—6—7所示，今欲将立方体的全部压入液体中，并且假设液体没有溢出，问力F最少要作多少功？46．如图2—6—8所示，容器A底部有一半径略小于r的圆洞，上面要用一个半径为r的小球盖住，容器A内的液体密度为ρ1，容器B内的液体密度为ρ2，两容器内液面相平，距容器A底部高为h，求小球G至少多重时才能盖住圆洞?47·装有水的容器中浮着一块冰，冰用细线拴住(2—6—9)，线中张力F=10N，容器横截面积S=100cm2。如果冰溶解，容器中水面变化多少?48·石质的水库底上有一棱长为a=2