第三章简单的优化模型

第47页第三章简单的优化模型§1存贮问题模型［问题的提出］工厂要定期地订购各种原料,存放在仓库中供生产之用；商店里要成批地购进各种商品,放在货柜中以备零售,原料、商品存贮太多,贮存费用高；存得太少则无法满足需求或缺货造成损失.订货时需付一次性订货费,进货时要付商品（原料）费,货物贮存要贮存费.如果允许缺货,缺货时因失去销售机会而使利润减少,减少的利润可以视为因缺货而付出的费用,称为缺货费.在单位时间内货物的需求量为常数的条件下,试制定出存贮策略（多长时间订一次货,每次订货量多少）,使总费用最小.［模型的假设］1.为方便起见,时间以天为单位,货物以吨为单位,每隔T天订一次货（T称为订货周期）,每次订货量为Q吨；2.每次订货费为1c（元）（一次性的）,每吨货物的价格为k（元）,每天每吨货物的贮存费为2c（元）；3.每天的货物需要量为r吨；4.每隔T天订货Q吨,且订货可以瞬时完成,不允许缺货时,贮存量降到零时订货立即到达.5.允许缺货时,货物在1Tt时售完，有一段时间缺货，每天每吨货物缺货费为3c（元）.第48页［模型的建立］1rTQ,不允许缺货货物正好在Tt时售完TT1设货物在任意时刻t的贮存量为tq（单位时间）,其变化规律为总费用＝订货费＋贮存费＋缺货费＋购货费.①订货费=1c②贮存费=rQcQTcQTcdttqctqcniTiit2221lim221212102021③缺货费=rQrTcTTrcScdttqcBTT2223213331④购货费=kQ，即总费用kQrQrTcrQccc2223221由于T是可变的,因此我们的目标函数应该是每天的平均费用最小.目标函数是T、Q的二元函数,记作QTC,,即TkQrTQrTcrTQcTcQTC22,23221问题就是要确定QTQT0,0、,使二元函数QTC,取最小值.［模型的求解］2223322221222TkQrTQcrcrTQcTcTC，TkrTQccrTQcQC3320QtqrAtrtQtq1TTB第49页这里rTQcQcrTcrTQrTc222233323令0TC,0QC.得到驻点：3232222332321*32233221*22cckrcccrkcccccrcQcckcccrccT故当允许缺货时,每*T天订一次货,每次订货*Q吨,总费用将最少.［模型的讨论］1.当不允许缺货时,TT1而rTQ,此时krrTcTcTC2121，221rcTcdTdC令0dTdC,解得21*12rccT，从而21*1*12crcrTQ结果表明：①最佳订货周期和订货量与货物本身的价格无关.②订货费1c越高,需求量r越大,订货量Q就越大；贮存费2c越高,订货量Q就越小.2.若不考虑购货费,则此时模型中可视0k得到最佳订货周期*2T,最佳订货量*2Q32321*233221*222ccccrcQcccrccT记1332ccc，于是*1*2TT,*1*2QQ，结果表明：第50页①当考虑购货费时,*2T、*2Q都比*T、*Q增大了.②*1*2*1*2,QQTT.③当3c时,1.此时*1*2TT,*1*2QQ.④这个结果是合理的,因为3c,即缺货造成的损失无限变大相当于不允许缺货.3.考虑生产销售存贮问题设生产速率为常数k,销售速率为常数r,rk.则生产量1bkttp,销售量2brttq4.考虑一般的生产销售存贮问题允许与不允许缺货,函数tp、tq更一般化.此时要应用函数逼近论理论.