第三节 电场强度

7-3电场强度一、静电场人们通过反复研究，终于弄清了任何电荷在其周围都将激发起电场，电荷间的相互作用是通过电场对电荷的作用来实现的。现在我们将从施力和作功这两方面来研究静电场的性质，分别引出描述电场性质的两个物理量——电场强度和电势。二、电场强度在静止电荷周围存在着静电场，静电场遍布静止电荷周围的全部空间。电场对处于其中的电荷施以作用力。如下图所示，在静止电荷Q周围的静电场中，先后将试验电荷+q0放到电场中A、B和C三个不同的位置处。我们发现，试验电荷+q0在电场中不同位置处所受到的电场力F的值和方向均不相同。另一方面就电场中的某一点而言，只与q0的大小有关，但F与q0之比，则与q0无关，为一不变的矢量。显然，这个不变的矢量只与该点处的电场有关，所以该矢量叫做电场强度，用符号E表示，有0qFE（7-2）它表明，电场中某点处的电场强度E等于位于该点处的单位试验电荷所受的电场力。电场强度是空间位置的函数。由于我们取试验电荷为正电荷，故E的方向与试验电荷所受力F的方向相同。在国际单位中，电场强度的单位为牛顿每库仑，符号为1CN；电场强度的单位亦为伏特每米，符号为1mV。应当指出，在已知电场强度分布的电场中，电荷q在场中某点处所受的力F，可由式（7-2）算得F=qE三、点电荷电场强度由库仑定律及电场强度定义式，可求得真空中点电荷周围电场的电场强度。如上图所示，在真空中，点电荷Q位于直角坐标系的原点O，由原点O指向场点P的位矢为r。若把试验电荷q0置于场点P，由库仑定律可得q0所受的电场力为rQqeF200π41r（7-3）er为位矢r的单位矢量，即er=r/r。由电场强度定义式（7-2）可得场点P电场强度为reFE200π41rQq（7-4）例把一个点电荷（q=62×10-9C）放在电场中某点处，该电荷受到的电场力为F=3.2×10-6i+1.3×10-6jN.求该电荷所在处的电场强度。解由电场强度的定义式（7-2），可得电荷所在处的电场强度为C1062103.1102.3966NqjiFE1CN)90.216.51(jiE的大小为1122CN71.55CN)0.21()6.51(EE的方向则可按如下方法求得。F与x轴的夹角为1.22102.3103.1arctg66arctgFFxyE与x的夹角为1.220.510.21arctgarctgxyEE即E的方向与F的方向相反，如下图所示。四、电场强度叠加原理下面我们先介绍由力的叠加原理得到的电场强度叠加原理。设真空中一点电荷系由1Q，2Q和3Q三个点电荷组成(下图)，在场点P处放置一试验电荷0q，且1Q，2Q和3Q到点P的矢量为21,rr和3r。若试验电荷0q受到1Q，2Q和3Q的作用力分别为F1，F2和F3，根据力的叠加原理可得作用在试验电荷0q上的力F为321FFFF由库仑定律可知21,FF和3F分别为1211001π41eFrQq，2222002π41eFrQq，3233003π41eFrQq式中,1e2e和3e分别为矢量21,rr和3r的单位矢量。另外，按照电场强度定义式（7-2），可得点P处的电场强度为3210302010EEEFFFFEqqqq（7-5）于是，点P处的电场强度为323302222012110414141eeeErQrQrQ上述结论虽是从三个点电荷组成的点电荷系得出的，显然不难推广至由任意数目点电荷所组成的点电荷系，故可以得到普遍结论如下：点电荷系所激发的电场中某点处的电场强度等于各个点电荷单独存在时对该点所激起的电场强度的矢量和。这就是电场强度的叠加原理，其数学表达式为niiiiniirQ120141eEE如下图所示，有一体积为V，电荷连续分布的带电体，现在来计算点P处的电场强度。首先，我们在带电体上取电荷元dq，其线度相对于V可视为无限小，从而可将dq作为一个点电荷对待。于是dq在点P的电场强度为rrqeE20dπ41d式中re为由dq指向点P的单位矢量。其次，取各电荷元对点P处的电场强度，并求矢量积分。于是可得电荷系在点P处的电场强度EqrrVVdπ41d20eEE（7-7）若dV为电荷元dq的体积元，为其电荷体密度，则Vqdd。于是，式（7-7）亦可写成VrVrdπ4120eE顺便指出，对于电荷连续分布的线带电体和面带电体来说，电荷元dq分别为lqdd和Sqdd，其中为电荷线密度，为电荷面密度，则由式（7-7）可得它们的电场强度分别为SrlrrSlrdπ41,dπ412020eEeE例1如右图所示，正电荷q均匀地分布在半径为R的圆环上。计算在环的轴线上任一点P处的电场强度。解设圆环在如图所示的yz平面上，坐标原点与环心相重合。点P与环心O的距离为x。由题意知圆环上的电荷是均匀分布的，故其电荷线密度为一常量，且Rq2/。在环上取线段元ld，其电荷元lqdd，此电荷元对点P处激起的电场强度为rrleE20dπ41d根据电场强度叠加原理，我们可以计算电荷连续分布的电荷系的电场强度。由于电荷分布的对称性，圆环上各电荷元对点P处激发的电场强度dE的分布也具有对称性。由图可见，dE在垂直于x轴方向上的分量Ed将互相抵消，即0dE；但dE沿x轴的分量xEd由于都具有相同的方向而互相增强。由图可知，dE沿x轴的分量cosddEEx；对这些分量求积分，有llxEEEcosdd(1)因为lRxxrxrlEd)(π41dπ41cosd2/322020故知2/3220)(π41RxqxE(2)上式表明，均匀带电圆环对轴线上任意点处的电场强度，是该点距环心O的距离x的函数，即E=E(x)。下面对几个特殊点的情况作一些讨论。（1）若xR，则32/322)(xRx，这时有20π41xqE(3)亦即在远离圆环的地方，可以把带电圆环看成为点电荷。这正与我们在前面对点电荷的论述相一致。代入式（1），有lRxxERd)(π41202/3220（2）若0x，0E。这表明环心处的电场强度为零（3）由0ddxE可求得电场强度极大的位置，故有0])(π41[2/3220Rxqxdxd得Rx22（4）这表明，圆环轴线上具有最大电场强度的位置，位于原点O两侧的R22和R22处。例2均匀带电薄圆盘轴线上的电场强度。如下图所示，有一半径为0R，电荷均匀分布的薄圆盘，其电荷面密度为。求通过盘心且垂直盘面的轴线上任意一点处的电场强度。解取如图所示的坐标，薄圆盘的平面在yz平面内，盘心位于坐标原点O。由于圆盘上的电荷分布是均匀的，故圆盘上的电荷为20πRq我们把圆盘分成许多细圆环带，其中半径为R，宽度为dR的环带面积为RRdπ2，此环带上的电荷为RRqdπ2d。由例1可知，环带上的电荷对x轴上点P处激起的电场强度为2/32202/3220)(d2)(4ddRxRxRRxqxEx由于圆盘上所有带电的环带在点P处的电场强度都沿x轴同一方向，故由上式可得带电圆盘的轴线上点P处的电场强度为002/3220)(d2dRxRxRRxEE积分后，得)11(220220RxxxE(1)讨论如果xR0，带电圆盘可看作是“无限大”的均匀带电平面，这时220221)11(xRxx于是(1)为02E(2)上式表明，很大的均匀带电平面附近的电场强度E的值是一个常量，E的方向与平面垂直。因此，很大的均匀带电平面附近的电场可看作均匀电场。例3求均匀带电圆弧圆心处的电场强度例均匀带电圆弧其半径为R，所对的圆心角为0，总电荷为Q，求圆心O处的电场强度。解我们建立如上图所示的坐标轴。取到d的圆弧作为电荷元dq。这时，圆弧上的电荷密度0Rq，则电荷元dddd00qRRqlq，qd在O点处的电场强度rreeEdπ4π4dd02020RqRq当变化时，Ed的方向在不断变化，不能直接积分。必须将Ed分解到yx,坐标轴上，由图可见jcos,sinEEiEEddddyx。因为带电圆弧对y轴对称，所以0dxE，电场强度应在y轴方向。故j22-02000cosπ4dRqEEyj2sinπ4020oRq例4求均匀带电半球面球心处的电场强度例半径为R的均匀带电半球面，设球面的电荷面密度为，半径为R。求球心处的电场强度解我们取d，d面元，当d，d很小时，面元可近似为矩形d)sin)(d(dRRS相应的电荷元dRqsinddSd2qd在球心处的电场强度RRθRqeeEdsindπ4π4dd020当电荷元在球面上随,变动时，Ed的方向不断改变，按矢量叠加的一般方法，将Ed分解为//dE与Ed因球面的对称性，0d//SE，故Ed的叠加即为所求之电场强度cosddEE所以π202π00dcossinπ4dE2πsin2122004方向沿球面的轴线向下。五、思考题1、在不同形状的带电体中，电荷元dq有多种表示，你能否将它们逐一表示出来2、均匀带电的正方形线框，中心处的电场强度等于多少？