第三节全微分

第八章多元函数微分法及应用（§3全微分）1第三节全微分要求：理解全微分的概念，会求函数的全微分，知道函数极限，函数的连续，偏导数存在与可微分间关系。了解全微分存在的必要条件和充分条件。重点：会求函数的全微分。函数极限，函数的连续，偏导数存在与可微分间关系。难点：全微分有关理论的证明。作业：习题8－3（28P）2)4)1,3一．全微分的概念与计算回顾一元函数的增量、微分之间关系．设二元函数),(yxfz．1．偏增量与偏微分概念让一个变量固定，另一个变量有增量zx，zy，由一元函数微分学中增量与微分关系有xyxfyxfyxxfzxx),(),(),(，对x的偏微分．yyxfyxfyyxfzyy),(),(),(，对y的偏微分．2．全增量与全微分概念全增量),(),(yxfyyxxfz.定义如果函数),(yxfz在点),(yx的全增量),(),(yxfyyxxfz可表示为)(oyBxAz，其中BA,是不依赖于yx,而仅与yx,有关的量且22)()(yx，则称函数),(yxfz在点),(yx处可微分，而yBxA称为函数),(yxfz在点),(yx处的全微分，记dz，即yBxAdz问题提出：⑴定义中的A与B应为多少？⑵函数),(yxfz满足什么条件，才有)(oyBxAz？3．函数可微的必要条件定理1(必要条件)第八章多元函数微分法及应用（§3全微分）2如果函数),(yxfz在点),(yx处可微分，则该函数在点),(yx处的偏导数yzyz,必定存在，且函数),(yxfz在点),(yx的全微分为yyzxxzdz．证明因为函数),(yxfz在点),(yx处可微，则有)(oyBxAz成立．特别地当0y时，上式也成立，此时||x．所以(,)(,)xzfxxyfxy(||)Axox，00(,)(,)limlimxxzzfxxyfxyAxxx从而zx存在．同理zBy，所以yyzxxzdz．注意：函数全微分与偏导数之间关系对于一元函数而言，可导必可微，反之可微必可导；但是对于二元函数来说，由定理1可知，可微必可导，可微必连续（因为00lim0xyz），反之偏导数存在，函数不一定可微分．理由：在一元函数中，导数完全能刻画出函数的变化率，但在二元函数中，偏导数,zzxy仅仅是无穷多个方向中，在两个方向上来确定了函数的变化率，特殊情况不能代替一般情况．例1．讨论函数222222,0(,)0,0xyxyxyfxyxy，在点)0,0(处偏导数与全微分问题．解函数在点)0,0(处有偏导数第八章多元函数微分法及应用（§3全微分）300lim)0,0()0,0(lim)0,0(00xxxxfxff，同理0)0,0(yf即两偏导数存在；但是22)()()0,0()0,0(yxyxyfxfzyx，如果考虑点'(,)Pxy沿直线kxy趋于)0,0(时，21)()()(lim)()(lim)()(lim222022002200xxxyxyxyxyxxxyyxyx．这表明，它不能随0而趋于0，因此，当0时，yfxfzyx)0,0()0,0(不是较的高阶无穷小，因此函数在点)0,0(处全微分不存在，即在点)0,0(处是不可微的．可见函数偏导数存在，则不一定可微分，那么函数满足什么条件才可微分呢？4．函数可微的充分条件定理2(充分条件)如果函数),(yxfz的偏导数yzyz,在点),(yx处连续，则函数),(yxfz在该点全微分存在．证明考察函数的全增量[(,)(,)][(,)(,)]zfxxyyfxyyfxyyfxy12(,)(,)xyfxxyyxfxyyy一元函数中值定理=========，（120,1）又由于导函数yzyz,在点),(yx处连续，所以有100lim(,)(,)xxxyfxxyyfxy，200lim(,)(,)yyxyfxxyyfxy．又由极限的性质得11(,)(,)xxfxxyyfxy，0,011(,)0xyxy，22(,)(,)yyfxxyyfxy，0,022(,)0xyxy．因此12(,)(,)xyzfxyxfxyyxy，而且第八章多元函数微分法及应用（§3全微分）40121212||||||||0xyxy．从而函数),(yxfz在点(,)xy处全微分存在．说明（1）习惯上将自变量增量dxx记，dyy记称自变量的微分，则dyyzdxxzdz．（2）二元函数微分定义及定理对三元及三元以上的多元函数可完全类似的加以推广，如，对三元函数),,(zyxfu，有全微分dzzudyyudxxudu．（3）全微分的计算，只要按求偏导数的方法，求出zuyzxu,,，将其代入微分公式即可．（4）二元函数与一元函数在连续，偏导数，全微分区别．对于一元函数)(xfy，)(lim0xfxx存在)(xf在0x处连续在0x处可导在0x处可微．对于二元函数),(yxfz，00lim(,)xxyyfxyA存在),(yxf在点),(00yx处连续不能0000(,),(,)xyfxyfxy存在连续),(yxf在点),(00yx处可微分．例2.设函数xyez，求12|yxdz．解因为xyyexz，xyxeyz，所以dyedxedyxedxyedzyxxyyxxyyx221212122)()(|．例3．设函数zeyxu，求全微分du．第八章多元函数微分法及应用（§3全微分）5解因为zeyxu1，zeyxyu2，zeyxzu，所以21()zxxduedxdydzyyy)(1xdzdyyxdxeyz．思考题1．若函数),(yxfz在点),(00yx连续且两个偏导数存在，能否说函数),(yxfz在该点处可微吗？2．若函数),(yxfz在点),(00yx可微，偏导数是否存在？3．如何判别函数的可微性？4．二元函数极限、偏导数、可微的关系如何？