第三节全微分及其应用

第三节全微分及其应用教学目的：学习和掌握多元函数（以二元函数为主）全微分的定义，掌握二元函数可微与偏导数存在之间的关系，会求多元函数的全微分．教学重点：可微与偏导数存在之间的关系，多元函数的全微分．教学难点：计算多元函数的全微分．教学内容：一、全微分的定义我们已经知道，二元函数对某个自变量的偏导数表示当另一个自变量固定时，因变量相对于该自变量的变化率．根据一元函数微分学中增量与微分的关系，可得xyxfyxfyxxfx),(),(),(，yyxfyxfyyxfy),(),(),(．上面两式的左端分别叫做二元函数对x和对y的偏增量，而右端分别叫做二元函数对x和对y的偏微分．设函数),(yxfz在点),(yxP的某一邻域内有定义，并设(,)Pxxyy为这邻域内的任意一点，则称这两点的函数值之差),(),(yxfyyxxf为函数在点P对应于自变量增量x、y的全增量，记作z，即),(),(yxfyyxxfz（1）一般说来，计算全增量z比较复杂．与一元函数的情形一样，我们希望用自变量的增量x、y的线性函数来近似的代替函数的全增量z,从而引入如下定义定义如果函数),(yxfz在点),(yxP的全增量),(),(yxfyyxxfz可表示为)(oyBxAz，（2）其中A、B不依赖于x、y而仅与yx、有关，22)()(yx＝，则称函数),(yxfz在点),(yxP可微分，而yBxA称为函数),(yxfz在点),(yxP的全微分，记作dz，即yBxAdz．在第二节中曾指出，多元函数在某点的各个偏导数即使都存在，却不能保证函数在该点连续．但是，如果函数),(yxfz在点),(yxP可微分，由（2）式可得0lim0z，从而),(]),[(lim),(lim000yxfzyxyyxxyx．因此，函数),(yxfz在点),(yxP处连续．下面讨论函数),(yxfz在点),(yxP可微分的条件．定理1（必要条件）如果函数),(yxfz在点),(yxP可微分，则该函数在点),(yxP的偏导数xz、yz必定存在，且函数),(yxfz在点),(yxP的全微分为dz=xzx+yzy．（3）证设函数),(yxfz在点),(yxP可微分．于是，(,)()PxxyyUP，（2）式总成立．特别当0y时（2）式也应成立，这时||x，所以（2）式成为|)(|),(),(xoxAyxfyxxf．上式两边各除以x，再令0x而取极限，就得0(,)(,)limxfxxyfxyAx，从而偏导数xz存在且等于A．同理可证yz=B．所以（3）式成立．证毕．我们知道，一元函数在某点的导数存在是微分存在的充分必要条件．但对于多元函数来说，情形就不同了．当函数的各偏导数都存在时，虽然能形式地写出xzx+yzy，但它与z之差并不一定是较高阶的无穷小，因此它不一定是函数的全微分．换句话说，各偏导数的存在只是全微分存在的必要条件而不是充分条件．例如，函数),(yxfz=0,0,0,222222yxyxyxxy在点)0,0(P处有(0,0)0xf及(0,0)0yf，所以])0,0()0,0([yfxfzyx=22()()xyxy,如果考虑点(,)Pxxyy沿着直线xy趋于)0,0(P，则222222()()1()()()()2xyxyxyxxxyxx,这表示0时，[(0,0)(0,0)]xyzfxfy并不是较高阶的无穷小，因此函数在点)0,0(P处的全微分并不存在，即函数在点)0,0(P处是不可微分的．由定理1及这个例子可知，偏导数存在是可微分的必要条件而不是充分条件．但是，如果再假定函数的各个偏导数连续，则可以证明函数是可微分的，即有下面定理．定理2（充分条件）如果函数),(yxfz的偏导数xz、yz在点),(yxP连续，则函数在该点可微分．证我们只讨论在某一区域内有定义的函数（对于偏导数也如此），所以假定偏导数在点),(yxP连续，就含有偏导数在该点的某一邻域内必然存在的意思（以后凡说到偏导数在某一点连续均应如此理解）．设点),(yyxxP为这邻域内任意一点，考察函数的全增量),(),(yxfyyxxfz)],(),([)],(),([yxfyyxfyyxfyyxxf．应用拉格朗日中值定理，得到1(,)(,)(,)xzfxxyyfxyyxfxxyy1(01)又假设(,)xfxy在点),(yxP连续，所以上式可写为1(,)(,)(,)xfxxyyfxyyfxyxx（4）其中1为x、y的函数，且当0x，0y时，10．同理可证第二个方括号内的表达式可写为2(,)(,)(,)yfxyyfxyfxyyy，（5）其中2为y的函数，且当0y时，20．由（4）、（5）式可见，在偏导数连续的假定下，全增量z可以表示为12(,)(,)xyzfxyxfxyyxy．（6）容易看出1212xy，它是随着0x，0y即0而趋于零．这就证明了),(yxfz在点),(yxP是可微分的．以上关于二元函数全微分的定义及微分的必要条件和充分条件，可以完全类似的推广到三元和三元以上的多元函数．习惯上，我们将自变量的增量x、y分别记作dx、dy，并分别称为自变量yx、的微分．这样，函数),(yxfz的全微分就可以写为dz=xzdx+yzdy(7)我们称xzdx与yzdy分别为函数),(yxfz对自变量yx、的偏微分，那么二元函数的全微分等于它的两个偏微分之和，这一结论也称为二元函数的微分符合叠加原理．叠加原理也适用于二元以上的函数．如果三元函数),,(zyxu可以微分，那么它的全微分就等于它的三个偏微分之和，即uuududxdydzxyz．例1计算函数xyez在点)1,2(处的全微分．解因为xyzyex,xyzxey221xyzex,2212xyzey,所以dz=dyedxe222．例2计算函数yzeyxu2sin的全微分．解因为1ux,1cos22yzuyzey,yzuyez,所以du=dx(1cos22yzyze)dy+yzyedz．小结与思考：本节在一元函数微分学的基础上，讨论多元函数（以二元函数为重点）全微分的定义、存在条件和求法．函数),(yxfz的全微分存在性与它的偏听偏信导数的存在性之间有何关系？作业：作业卡p11