第三节函数的单调性与最值

第三节函数的单调性与最值一、函数的单调性1．单调函数的定义增函数减函数定义设函数f(x)的定义域为I.如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2当x1x2时，都有f(x1)f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数当x1x2时，都有f(x1)f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数图象描述自左向右看图象逐渐上升自左向右看图象逐渐下降2．单调区间的定义若函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，则称函数y＝f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间．二、函数的最值前提设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足条件①对于任意x∈I，都有f(x)≤M；②存在x0∈I，使得f(x0)＝M①对于任意x∈I，都有f(x)≥M；②存在x0∈I，使得f(x0)＝M结论M为最大值M为最小值[例1]证明函数f(x)＝2x－1x在(－∞，0)上是增函数．[例2](1)若f(x)为R上的增函数，则满足f(2－m)f(m2)的实数m的取值范围是________．(2)(2012·安徽高考)若函数f(x)＝|2x＋a|的单调递增区间是[3，＋∞)，则a＝________.(3)已知函数f(x)＝1a－1x(a0，x0)，若f(x)在12，2上的值域为12，2，则a＝__________.2．函数f(x)＝|x－2|x的单调减区间是()A．[1,2]B．[－1,0]C．[0,2]D．[2，＋∞)针对训练1．(2012·陕西高考)下列函数中，既是奇函数又是增函数的为()A．y＝x＋1B．y＝－x3C．y＝1xD．y＝x|x|2．若函数f(x)＝4x2－mx＋5在[－2，＋∞)上递增，在(－∞，－2]上递减，则f(1)＝()A．－7B．1C．17D．253．函数y＝(2k＋1)x＋b在(－∞，＋∞)上是减函数，则()A．k12B．k12C．k－12D．k－124．(教材习题改编)f(x)＝x2－2x(x∈[－2,4])的单调增区间为________；f(x)max＝________.5．已知函数f(x)为R上的减函数，若mn，则f(m)______f(n)；若f1xf(1)，则实数x的取值范围是______．6．“函数f(x)在[a，b]上为单调函数”是“函数f(x)在[a，b]上有最大值和最小值的A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件7．设函数f(x)定义在实数集上，f(2－x)＝f(x)，且当x≥1时，f(x)＝lnx，则有()A．f13f(2)f12B．f12f(2)f13C．f12f13f(2)D．f(2)f12f138．函数y＝－(x－3)|x|的递增区间是________．9．(2012·台州模拟)若函数y＝|2x－1|，在(－∞，m]上单调递减，则m的取值范围是________．10．若f(x)＝ax＋1x＋2在区间(－2，＋∞)上是增函数，则a的取值范围是________．11．已知f(x)＝xx－a(x≠a)．(1)若a＝－2，试证f(x)在(－∞，－2)内单调递增；(2)若a0且f(x)在(1，＋∞)内单调递减，求a的取值范围．