第23章《一元二次方程》常考题集(12)23.2一元二次方程的解法

第23章《一元二次方程》常考题集（12）：23.2一元二次方程的解法菁优网©2010-2013菁优网第23章《一元二次方程》常考题集（12）：23.2一元二次方程的解法解答题241．（2005•宁波）已知关于x的方程x2﹣2（m+1）x+m2=0（1）当m取何值时，方程有两个实数根；（2）为m选取一个合适的整数，使方程有两个不相等的实数根，并求出这两个实数根．243．（2005•长沙）己知一元二次方程x2﹣3x+m﹣1=0．（1）若方程有两个不相等的实数根，求实数m的取值范围；（2）若方程有两个相等的实数根，求此时方程的根．244．已知关于x的方程x2﹣（k+2）x+2k=0．（1）求证：无论k取任意实数值，方程总有实数根．（2）若等腰三角形ABC的一边a=1，另两边长b、c恰是这个方程的两个根，求△ABC的周长．245．试证明：不论m为何值，方程2x2﹣（4m﹣1）x﹣m2﹣m=0总有两个不相等的实数根．246．（2004•上海）关于x的一元二次方程mx2﹣（3m﹣1）x+2m﹣1=0，其根的判别式的值为1，求m的值及该方程的解．247．已知a、b、c是三角形的三条边长，且关于x的方程（c﹣b）x2+2（b﹣a）x+（a﹣b）=0有两个相等的实数根，试判断三角形的形状．248．（2001•重庆）若n＞0，关于x的方程x2﹣（m﹣2n）x+mn=0有两个相等的正实数根，求的值．249．（2000•天津）已知关于x的方程x2+（2k+1）x+k2+2=0有两个相等的实数根，试判断直线y=（2k﹣3）x﹣4k+12能否通过点A（﹣2，4），并说明理由．250．（2010•东台市模拟）已知一元二次方程（m﹣3）x2+2mx+m+1=0有两个不相等的实数根，并且这两个根又不互为相反数．（1）求m的取值范围；（2）当m在取值范围内取最小正偶数时，求方程的根．251．已知方程ax2+4x﹣1=0；则①当a取什么值时，方程有两个不相等的实数根？②当a取什么值时，方程有两个相等的实数根？③当a取什么值时，方程没有实数根？252．（2005•沈阳）解方程：．253．（2005•上海）解方程：．菁优网©2010-2013菁优网254．（2005•常德）解方程：255．（2009•吴江市模拟）解方程：．256．解方程．257．（2008•苏州）解方程：258．（2005•双柏县）解方程：=2．259．（2004•宁波）解方程：﹣8=0．260．（2004•西藏）用换元法解方程：（）2﹣5（）+6=0．261．（2008•芜湖）在抗震救灾活动中，某厂接到一份订单，要求生产7200顶帐篷支援四川灾区，后来由于情况紧急，接收到上级指示，要求生产总量比原计划增加20%，且必须提前4天完成生产任务，该厂迅速加派人员组织生产，实际每天比原计划每天多生产720顶，请问该厂实际每天生产多少顶帐篷？262．（2008•娄底）注意：为了使同学们更好地解答本题，我们提供了一种解题思路，你可以依照这个思路，填写表格，并完成本题解答的全过程；如果你选用其它的解题方案，此时，不必填写表格，只需按照解答题的一般要求，进行解答即可．甲、乙两人同时从张庄出发，步行15千米到李庄，甲比乙每小时多走1千米，结果比乙早到半小时，问两人每小时各走几千米？速度（千米/时）所用时间（时）所走的路程（千米）甲15乙x15（1）设乙每小时走x千米，根据题意，利用速度、时间、路程之间的关系填写表格；（要求：填上适当的代数式．）（2）列出方程（组），并求出问题的解．263．（2008•黄石）某车间要生产220件产品，做完100件后改进了操作方法，每天多加工10件，最后总共用4天完成了任务．求改进操作方法后，每天生产多少件产品？264．（2007•日照）我国铁路实现了第六次大提速，这给旅客的出行带来了更大的方便．例如，京沪线全长约1500公里，第六次提速后，特快列车运行全程所用时间比第五次提速后少用小时．已知第六次提速后比第五次提速后的平均时速快了40公里，求第五次提速后和第六次提速后的平均时速各是多少？菁优网©2010-2013菁优网265．（2007•河池）某商店在“端午节”到来之际，以2400元购进一批盒装粽子，节日期间每盒按进价增加20%作为售价，售出了50盒．节日过后每盒以低于进价5元作为售价，售完余下的粽子，整个买卖过程共盈利350元，求每盒粽子的进价．266．（2006•曲靖）《中华人民共和国道路交通安全法实施条例》中规定：超速行驶属违法行为．为确保行车安全，一段高速公路全程限速110千米/时（即每一时刻的车速都不能超过110千米/时．以下是张师傅和李师傅行驶完这段全程为400千米的高速公路时的对话片断．张：“你的车速太快了，平均每小时比我多跑20千米，少用我一个小时就跑完了全程，还是慢点．”李：“虽然我的时速快，但最大时速不超过我平均时速的10%，可没有超速违法啊．”李师傅超速违法吗？为什么？267．（2006•淄博）近年来，由于受国际石油市场的影响，汽油价格不断上涨，请你根据下面的信息，帮小明计算今年5月份汽油的价格．268．比邻而居的蜗牛神和蚂蚁王相约，第二天上午8时结伴而行，到相距16米的银树下参加探讨环境保护的微型动物首脑会议．蜗牛神想到“笨鸟先飞”的古训，于是给蚂蚁王留下一纸便条后，提前2小时独自先行，蚂蚁王按既定时间出发，结果它们同时到达．已知蚂蚁王的速度是蜗牛神的4倍，求它们各自的速度．269．（2009•江津区）已知a、b、c分别是△ABC的三边，其中a=1，c=4，且关于x的方程x2﹣4x+b=0有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状．菁优网©2010-2013菁优网第23章《一元二次方程》常考题集（12）：23.2一元二次方程的解法参考答案与试题解析解答题241．（2005•宁波）已知关于x的方程x2﹣2（m+1）x+m2=0（1）当m取何值时，方程有两个实数根；（2）为m选取一个合适的整数，使方程有两个不相等的实数根，并求出这两个实数根．考点：根的判别式．3693737专题：开放型．分析：（1）方程有两个实数根，必须满足△=b2﹣4ac≥0，从而建立关于m的不等式，求出实数m的取值范围．（2）答案不唯一，方程有两个不相等的实数根，即△＞0，可以解得m＞﹣，在m＞的范围内选取一个合适的整数求解就可以．解答：解：（1）由题意知：△=b2﹣4ac=[﹣2（m+1）]2﹣4m2=[﹣2（m+1）+2m][﹣2（m+1）﹣2m]=﹣2（﹣4m﹣2）=8m+4≥0，解得m≥．∴当m≥时，方程有两个实数根．（2）选取m=0．（答案不唯一，注意开放性）方程为x2﹣2x=0，解答x1=0，x2=2．点评：1、一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．2、第2小题属于开放题，注意答案的不唯一性．243．（2005•长沙）己知一元二次方程x2﹣3x+m﹣1=0．（1）若方程有两个不相等的实数根，求实数m的取值范围；（2）若方程有两个相等的实数根，求此时方程的根．考点：根的判别式．3693737分析：（1）方程有两个不相等的实数根，即△＞0，即可求得关于m的不等式，从而得m的范围；（2）方程有两个相等的实数根，当△=0时，即可得到一个关于m的方程求得m的值．解答：解：（1）∵方程有两个不相等的实数根，∴△＞0，解得m＜．（2）∵方程有两个相的等的实数根，∴△=0，即9﹣4（m﹣1）=0解得m=菁优网©2010-2013菁优网∴方程的根是：x1=x2=．点评：一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．244．已知关于x的方程x2﹣（k+2）x+2k=0．（1）求证：无论k取任意实数值，方程总有实数根．（2）若等腰三角形ABC的一边a=1，另两边长b、c恰是这个方程的两个根，求△ABC的周长．考点：根的判别式；三角形三边关系；等腰三角形的性质．3693737专题：分类讨论．分析：（1）把一元二次方程根的判别式转化成完全平方式的形式，得出△≥0可知方程总有实数根．（2）根据等腰三角形的性质分情况讨论求出b，c的长，并根据三角形三边关系检验，综合后求出△ABC的周长．解答：证明：（1）∵△=b2﹣4ac=（k+2）2﹣8k=（k﹣2）2≥0，∴无论k取任意实数值，方程总有实数根．解：（2）分两种情况：①若b=c，∵方程x2﹣（k+2）x+2k=0有两个相等的实数根，∴△=b2﹣4ac=（k﹣2）2=0，解得k=2，∴此时方程为x2﹣4x+4=0，解得x1=x2=2，∴△ABC的周长为5；②若b≠c，则b=a=1或c=a=1，即方程有一根为1，∵把x=1代入方程x2﹣（k+2）x+2k=0，得1﹣（k+2）+2k=0，解得k=1，∴此时方程为x2﹣3x+2=0，解得x1=1，x2=2，∴方程另一根为2，∵1、1、2不能构成三角形，∴所求△ABC的周长为5．综上所述，所求△ABC的周长为5．点评：考查根的判别式，等腰三角形的性质及三角形三边关系．245．试证明：不论m为何值，方程2x2﹣（4m﹣1）x﹣m2﹣m=0总有两个不相等的实数根．考点：根的判别式．3693737专题：证明题．分析：利用根的判别式列出关于方程系数的代数式，通过配方法化为完全平方式来判断△的正负，从而证明方程有两个不相等的实数根．解答：证明：∵△=[﹣（4m﹣1）]2﹣4×2×（﹣m2﹣m）=24m2+1＞0∴有两个不相等的实数根．点评：本题考查了一元二次方程根的判别式的应用．解题关键是把判别式△转化成完全平方式与一个正数的和的形式，才能判断出它的正负性．菁优网©2010-2013菁优网246．（2004•上海）关于x的一元二次方程mx2﹣（3m﹣1）x+2m﹣1=0，其根的判别式的值为1，求m的值及该方程的解．考点：根的判别式；一元二次方程的定义；解一元二次方程-因式分解法．3693737专题：压轴题．分析：由一元二次方程的△=b2﹣4ac=1，建立m的方程，求出m的解后再化简原方程并求解．解答：解：由题意知，m≠0，△=b2﹣4ac=[﹣（3m﹣1）]2+4m（﹣2m+1）=1∴m1=0（舍去），m2=2，∴原方程化为：2x2﹣5x+3=0，解得，x1=1，x2=．点评：本题考查了一元二次方程根的判别式的应用．切记不要忽略一元二次方程二次项系数不为零这一隐含条件．247．已知a、b、c是三角形的三条边长，且关于x的方程（c﹣b）x2+2（b﹣a）x+（a﹣b）=0有两个相等的实数根，试判断三角形的形状．考点：根的判别式；等腰三角形的判定．3693737分析：先根据有两个相等的实数根，系数之间的关系必须满足△=b2﹣4ac=0，列出方程后进行因式分解，找到a、b、c的关系，从而判断三角形的形状．解答：解：由已知条件△=4（b﹣a）2﹣4（c﹣b）（a﹣b）=4（a﹣b）（a﹣c）=0，∴a=b或a=c，∵c﹣b≠0则c≠b，∴这个三角形是等腰三角形．点评：主要考查了根的判别式和根据边与边之间的关系来判断三角形的形状．在与一元二次方程有关的求值问题中，必须满足下列条件：①二次项系数不为零；②在有两个相等的实数根的情况下必须满足△=b2﹣4ac=0248．（2001•重庆）若n＞0，关于x的方程x2﹣（m﹣2n）x+mn=0有两个相等的正实数根，求的值．考点：根的判别式．3693737分析：由方程有两相等的正实数根知△=0，列出关于m，n的方程，用求根公式将n代替m代入求出它的值．解答：解：根据题意知△=0，即（m﹣2n）2﹣mn=0，整理得m2﹣5mn+4n2=0，即（m﹣n）（m﹣4n）=0，解得m=n或m=4n，当m=n时，∵n＞0，根据根与系数的关