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章旋转习题课方法策略旋转变换的应用旋转变换在平面几何中有广泛的应用，它通过旋转变换将分散的几何元素（线段、角、三角形）集中起来，把隐含的、松散的关系明朗化、密切化，从而使图形的本质特征更为突出．在解决有关涉及等腰三角形、正三角形、正方形的问题时，常常用到旋转变换，将不明显的条件明显化，是经常用到的思维途径．测试点1旋转特征的应用1．如图，四边形ABCD是正方形，△ABE绕点A按逆时针方向旋转90°得到△ADF，若DE=3cm，BF=11cm，则正方形ABCD的面积是（）A．49cm2B．36cm2C．25cm2D．16cm22．（易错题）如图，△ABC和△A′B′C′中，AC=A′C′=3，BC=B′C′=4，AB=A′B′=5，将顶点C′与C重合，△A′B′C′绕着点C旋转，旋转过程中，A′C′交AB于点E，A′B′交AB于点F，交BC于点D．（1）当A′C′⊥AB时，判断△C′DB′和△A′C′D的形状；（2）当△ACE为等腰三角形时，求出此时AE的值．．已知，点P是正方形ABCD内的一点，连PA，PB，PC．（1）将△PAB绕点B顺时针旋转90°到△P′CB的位置（如图（1））．①设AB的长为a，PB的长为b（ba），求△PAB旋转到△P′CB的过程中边PA所扫过区域（图（1）中阴影部分）的面积；②若PA=2，PB=4，∠APB=135°，求PC的长．（2）如图（2），若PA2+PC2=2PB2，请说明点P必在对角线AC上．测试点2中心对称的应用4．已知：如图，在△ABC中，AB=AC，若将△ABC绕点C顺时针旋转180°得到△FEC．（1）试猜想AE与BF有何关系？说明理由．（2）若△ABC的面积为3cm2，求四边形ABFE的面积；（3）当∠ACB为多少度时，四边形ABFE为矩形？说明理由．．如图，梯形ABCD中，DC∥AB，EF是中位线，EG⊥AB于G，FH⊥AB于H，梯形的高h=12（AB+DC）．沿着GE、HF分别把△AGE、△BHF剪开，然后按图中箭头所指的方向，分别绕着点E、F旋转180°，将会得到一个什么样的四边形？简述理由．6．如图，在平面直角坐标系中，△ABC为等边三角形，其中点A、B、C的坐标分别为（-3，-1），、（-3，-3）、（-3+3，-2），现以y轴为对称轴作△A1B1C1的对称图形，得△A1B1C1，再以x轴为对称轴作△ABC的对称图形，得△A2B2C2．（1）直接写出点C1、C2的坐标；（2）能否通过一次旋转将△ABC旋转到△A2B2C2的位置？你若认为能，请作出肯定的回答，并直接写出所旋转的度数；你若认为不能，请作出否定的回答（不必说明理由）．（3）设当△ABC的位置发生变化时，△A2B2C2、△A1B1C1与△ABC之间的对称关系始终保持不变．①当△ABC向上平移多少个单位时，△A1B1C1与△A2B2C2完全重合？并直接写出此时点C的坐标；②将△ABC绕点A顺时针旋转α（0≤α≤180°），使△A1B1C1与△A2B2C2完全重合，此时α的值为多少？点C的坐标又是什么？．如图是3×3正方形方格，将其中两个方格涂黑有若干种涂法，约定沿正方形ABCD的对称轴翻折能重合的图案或绕正方形ABCD的中心旋转能重合的图案都视为同一种图案，例如就视为同一种图案，则不同的涂法有（）A．4种B．6种C．8种D．12种8．如图，点O是正六边形ABCDEF的中心．（1）找出这个轴对称图形的对称轴；（2）这个正六边形绕点O旋转多少度后能和原来的图形重合？（3）如果换成其他的正多边形呢？能得到一般的结论吗？9．如图，△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=1，将△ABC绕点C逆时针旋转角α（0°α90°），得到△A1B1C1，连结BB1，设CB1交AB于D，A1B1分别交AB，AC于E，F．（1）在图中不再添加其他任何线段的情况下，请你找出一对全等三角形，并加以证明（△ABC与△A1B1C全等除外）；（2）当△BB1D是等腰三角形时，求α；（3）当α=60°时，求BD的长．答案:1．A2．（1）△C′DB′和A′C′D都是等腰三角形．（2）33．（1）①S阴影=4（a2-b2）；②连接PP′，证△PBP′为等腰直角三角形，△PP′C为直角三角形，P′C=PA=2，PP′=42，从而PC=6．（2）将△PAB绕点B顺时针旋转90°，到△P′CB的位置，由勾股定理证出∠P′CP=90°，再证∠BPC+∠APB=180°，即点P在对角线AC上．4．（1）AE//BF．△ABC旋转180°得到△FEC．∴AC=FC，BC=EC．∴四边形ABFE为平行四边形．∴AE//BF．（2）3×4=12cm2（3）∠ACB=60°时，四边形ABFE为矩形．∵∠ACB=60°，AB=AC，则△ABC为等边三角形，则△FEC为等边三角形．易得到BE=AF，且AC=CF，BC=CE．∴四边形ABFE为矩形．5．将会得到一个正方形，理由如下：∵EG⊥AB，FH⊥AB，∴EG∥FH．∵EF是梯形ABCD的中位线，∴EF∥GH，EF=12（DC+AB），∴EF=GH．∵梯形的高h=12（DC+AB），∴梯形的高h=GH．设△AGE绕点E旋转180°后点G落在点G′处，△BHF绕点F旋转180°后，点H落在H′处，则∠G′=90°，G′、H′在DC所在的直线上．∴GG′是梯形ABCD的高．∴∠G′=∠G′GH=∠H′HG=90°，GG′=GH．∴四边形G′GHH′是正方形．6．（1）点C1、C2的坐标分别为（3-3，-2），（3-3，2）．（2）能通过一次旋转半△ABC绕点O旋转，所旋转的度数为180°．（3）①当△ABC向上平移2个单位时，△A1B1C1与△A2B2C2完全重合，此时点C坐标为（-3+3，0），如图（1）．②当α=180°时，△A1B1C1与△A2B2C2完全重合，此时C点坐标为（-3-3，0），如图（2）．7．C8．（1）直线AD、BE、CF以及线段AB、BC、CD的垂直平分线都是这个正六边形的对称轴．（2）60°或其整数倍．（3）一般地，正n边形每条边的垂直平分线都是对称轴；当n是偶数时，相对顶点的连线也是对称轴；绕正n边形的中心旋转360n或其整数倍都能与原来的图形重合．9．（1）全等的三角形有：△CBD≌△CA1F或△AEF≌△B1ED或△ACD≌△B1CF等．以证△CBD≌△CA1F为例．证明：∵∠ACB1+∠A1CF=∠ACB1+∠BCD=90°，∴∠A1CF=∠BCD．∵A1C=BC，∴∠A1=∠CBD=45°，∴△CBD≌△CA1F．（2）在△CBB1中，∵CB=CB1，∴∠CBB1=∠CB1B=12（180°-α），又△ABC是等腰直角三角形，∴∠ABC=45°…①若B1B=B1D，α=0°（舍去）…②∵∠BB1C=∠B1BC∠B1BD，∴BDB1D，即BD≠B1D…③若BB1=BD=，α=30°．由①②③可知，当△BB1D为等腰三角形时，α=30°．（3）作DG⊥BC于G，设CG=x．在Rt△CDG中，∠DCG=α=60°，∴DG=3x．在Rt△DGB中，∠DBG=45°．∴BG=GD=3．∵AC=BC=1，∴x+3x=1，∴x=12（3-1），∴DB=2BG=3262．