第三讲_幂级数

AUTUMNAPPLICATION第1页共6页§8.3幂级数一、幂级数的概念1.定义定义1形如nnnnnxaxaxaxaa02210的级数，称为关于x的幂级数，其中,,,,,210naaaa都是常数，称为幂级数的系数．形如nnxxaxxaxxaa)()()(0202010的级数，称为关于0xx的幂级数．将0xx换成x，这个级数就变为nnnxa0．下面将主要研究形如nnnxa0的幂级数．2.收敛域幂级数nnnxa0当x取某个数值0x后，就变成一个相应的常数项级数，可利用常数项级数敛散性的判别法来判断其是否收敛．若nnnxa0在点0x处收敛，称0x为它的一个收敛点；若nnnxa0在点0x处发散，称0x为它的一个发散点；nnnxa0的全体收敛点的集合，称为它的收敛域；全体发散点的集合称为它的发散域．例1判断幂级数nxxx21的敛散性．解由第一节例3可知，当1x时，该级数收敛于和x11，当1x时，该级数发散．因此，其收敛域是开区间)1,1(，发散域是1,及,1．AUTUMNAPPLICATION第2页共6页二、幂级数的收敛性定理1（阿贝尔定理）若幂级数nnnxa0当)0(00xxx时收敛，则对0xx的x，幂级数nnnxa0绝对收敛．反之，若幂级数nnnxa0当)0(00xxx时发散，则对一切适合不等式0xx的x，幂级数nnnxa0都发散．证若nnnxa0在0xx处收敛，则0lim0nnnxa，于是，nnxa0是有界变量．故存在0M，使对一切的n都有Mxann00成立．从而有nnnnnnnnnnxxMxxxaxxxaxa00000，当0xx时，10xx．故等比级数nnxx00收敛．由正项级数的比较判别法知，级数0nnnxa收敛；即级数nnnxa0绝对收敛．用反证法证明后半部分结论．若存在点x，使得0xx时，nnnxa0收敛．由前半部分证明的结论知，nnnxa0绝对收敛；这与已知矛盾．故对一切适合0xx的x，幂级数nnnxa0发散．推论若幂级数nnnxa0不是仅在0x处收敛，也不是在整个数轴上都收敛，则必有一个确定的正数R存在，使得AUTUMNAPPLICATION第3页共6页当Rx时，幂级数绝对收敛；当Rx时，幂级数发散；当Rx与Rx时，幂级数可能收敛也可能发散．R称为幂级数nnnxa0的收敛半径．再由Rx处的收敛性，便可确定该幂级数的收敛区间．若只在0x处收敛，我们规定它的收敛半径0R；若对任何实数x，幂级数nnnxa0皆收敛，则规定其收敛半径R，这时收敛区间是),(．关于幂级数的收敛半径有如下定理．定理2设幂级数nnnxa0，若nnnaa1lim；则幂级数的收敛半径为,00,0,1R．例1试求下列幂级数的收敛区间：（1）nnxxx24212；（2）nnnxxxxx)1(432432；（3）nxnnn1)1(；（4）12)1(nnnnx．解（1）因为212121lim1nnn，所以收敛半径2R．当2x时，AUTUMNAPPLICATION第4页共6页11112)2(0nnn发散；当2x时，01122nnnn发散；因此，其收敛区间是)2,2(．（2）因为11lim1)1(11)1(limlim11nnnnaannnnnnn．所以收敛半径1R．当1x时，1121)1(nnnnn发散；当1x时，由莱布尼兹判别法知，条件收敛；因此其收敛区间为1,1．（3）因为11lim111limlim1nnnnaannnnn，所以收敛半径1R．当1x时，1121)1(nnnnn)1(p发散；当1x时，1)1(nnn条件收敛，因而其收敛区间为1,1．（4）因为,211lim21212)1(1limlim11nnnnnaannnnnn所以收敛半径2R．当21x时，1)1(nnn收敛；当21x，11nn发散，因此收敛区间为3,1．三、幂级数的运算设有两个幂级数nnnnnxaxaxaaxa22100与nnnnnxbxbxbbxb22100AUTUMNAPPLICATION第5页共6页分别在区间),(11RR及),(22RR内收敛，且其和函数为)(1xs与),(2xs设21,minRRR，则在),(RR内有如下运算法则：1．加法)()()(21000xsxsxbaxbxannnnnnnnnn．2．数乘幂级数设nnnxa0在区间),(RR内收敛于s，则对非零常数k，有)()(00xksxkaxaknnnnnn．3．乘法运算)()(101000nnnnnnnnnnxbxbbxaxaaxbxanknkkxbaxbababaxbababa)()()(02021120011000)()(21xsxs在),(RR内收敛，且和函数为)()(21xsxs．4．逐项微分设)(0xsxannn，收敛半径为R，则对一切),(RRx，都有100)()(nnnnnnxnaxaxs．5．逐项积分设)(0xsxannn，收敛半径为R，则对一切),(RRx，都有10000001)()(nnnnnxnxnnnxxnadxxadxxaxs．AUTUMNAPPLICATION第6页共6页性质4、5表明：收敛的幂级数逐项求导或逐项积分得到的新幂级数，其收敛半径不变．例2求)232(0nnnnxx的收敛区间．解因为313232lim321321limlim111nnnnnnnnnaa．所以，幂级数032nnnx的收敛半径31R；类似地，可求得幂级数02nnx的收敛半径为12R．又00212nnnnxx在1x处都发散，因此)232(0nnnnxx的收敛区间为)1,1(．例3求幂级数012nnnx在区间)1,1(内的和函数．解设和函数为)(xs，则012)(nnnxxs，显然0)0(s．于是022)(nnnxxxs逐项求导,得.10,1])([001xxxxxxxxsnnnn对上式从0到x积分,得xxdtttxxsx)1ln(1)(0，于是,有1)1ln()(xxxs，从而.0,0,10,1)1ln(1)(xxxxxs小结1.函数项级数的收敛域、和函数的概念;2.幂级数的收敛半径、收敛区间求法;3.幂级数在其收敛区间内的一些基本性质,及和函数的求法。