第三讲《柯西不等式的证明及其应用》教案(新人教选修4-5)

柯西不等式的证明及应用柯西（Cauchy）不等式22211nnbababa222221222221nnbbbaaaniRbaii2,1,等号当且仅当021naaa或iikab时成立（k为常数，ni2,1）现将它的证明介绍如下：证明1：构造二次函数2222211)(nnbxabxabxaxf=22222121122122nnnnnnaaaxabababxbbb22120nnaaa0fx恒成立2222211221212440nnnnnnabababaaabbb即2222211221212nnnnnnabababaaabbb当且仅当01,2iiaxbxin即1212nnaaabbb时等号成立证明（2）数学归纳法（1）当1n时左式=211ab右式=211ab显然左式=右式当2n时，右式2222222222121211222112aabbabababab2221122121212222ababaabbabab右式仅当即2112abab即1212aabb时等号成立故1,2n时不等式成立（2）假设nk,2kk时，不等式成立即2222211221212kkkkkkabababaaabbb当iikab，k为常数，1,2in或120kaaa时等号成立设22212kaaa22212kbbb1122kkCababab则2222211111kkkkkabbab22221111112kkkkkkCCababCab22222222121121kkkkaaaabbbb2112211kkkkabababab当iikab，k为常数，1,2in或120kaaa时等号成立即1nk时不等式成立综合（1）（2）可知不等式成立柯西不等式是一个非常重要的不等式，灵活巧妙的应用运用它，可以使一些较为困难的问题迎刃而解，这个不等式结构和谐，应用灵活广泛，利用柯西不等式可处理以下问题：1）证明相关命题例1．用柯西不等式推导点到直线的距离公式。已知点00,xy及直线:l0xyC220设点p是直线l上的任意一点，则0xxC（1）22120101ppxxyy（2）点12pp两点间的距离12pp就是点p到直线l的距离，求（2）式有最小值，有222201010101xxyyxxyy0011xyCxyC由（1）（2）得：221200ppxyC即001222xyCpp（3）当且仅当0101:yyxx12ppl（3）式取等号即点到直线的距离公式即001222xyCpp2）证明不等式例2已知正数,,abc满足1abc证明2223333abcabc证明：利用柯西不等式23131312222222222abcaabbcc222333222abcabc2333abcabc1abc又因为222abcabbcca在此不等式两边同乘以2，再加上222abc得：2223abcabc22223332223abcabcabc故2223333abcabc3）解三角形的相关问题例3设p是ABC内的一点，,,xyz是p到三边,,abc的距离，R是ABC外接圆的半径，证明22212xyzabcR证明：由柯西不等式得，111xyzaxbyczabc111axbyczabc记S为ABC的面积，则2242abcabcaxbyczSRR122abcabbccaxyzabbccaRabcR22212abcR故不等式成立。4）求最值例45已知实数,,abc,d满足3abcd，22222365abcd试求a的最值解：由柯西不等式得，有2222111236236bcdbcd即2222236bcdbcd由条件可得，2253aa解得，12a当且仅当236121316bcd时等号成立，代入111,,36bcd时，max2a211,,33bcd时min1a5）利用柯西不等式解方程例5．在实数集内解方程22294862439xyzxyy解：由柯西不等式，得222222286248624xyzxyy①2222228624xyz2964364144394又22862439xyy222222286248624xyzxyz即不等式①中只有等号成立从而由柯西不等式中等号成立的条件，得8624xyz它与862439xyy联立，可得613x926y1813z6）用柯西不等式解释样本线性相关系数在《概率论与数理统计》〉一书中，在线性回归中，有样本相关系数12211()()niiinniiiixxyyxxyyr=，并指出1r且r越接近于1，相关程度越大，r越接近于0，则相关程度越小。现在可用柯西不等式解释样本线性相关系数。现记iiaxx，iibyy，则，12211niiinniiiiababr=，由柯西不等式有，1r当1r时，222111nnniiiiiiiabab此时，iiiiyybkxxa，k为常数。点,iixyni2,1均在直线yykxx上，r当1r时，222111nnniiiiiiiabab即2221110nnniiiiiiiabab而22221111nnniiiiijjiiiiijnabababab210ijjiijnabab0ijjiabab,iibkka为常数。此时，此时，iiiiyybkxxa，k为常数点,iixy均在直线yykxx附近，所以r越接近于1，相关程度越大当0r时，,iiab不具备上述特征，从而，找不到合适的常数k，使得点,iixy都在直线yykxx附近。所以，r越接近于0，则相关程度越小。