第三讲等比数列

第三讲等比数列一、知识点等比数列1.定义数列{an}从第2项起，每一项与它前一项的比等于同一个常数的数列称作等比数列.常数叫公比.2.通项公式：an=a1qn－1，推广形式：an=amqn－m.变式：q=mnmnaa（n、m∈N*）.3.前n项和Sn=).10(11)1(),1(111qqqqaaqqaqnann或注：q≠1时，mnSS=mnqq11.4.等比中项：若a、b、c成等比数列，则b为a、c的等比中项，且b=±ac.5.三个数或四个数成等比数列且又知积时，则三个数可设为qa、a、aq，四个数可设为3qa、qa、aq、aq3为好.6.证明等比数列的方法：（1）用定义：只需证nnaa1=常数；（2）用中项性质：只需an+12=an·an+2或nnaa1=12nnaa.7等比数列{an}的性质（1）am=ak·qm－k.（2）若数列{an}是等比数列，则数列{λ1an}（λ1为常数）是公比为q的等比数列；若{bn}也是公比为q2的等比数列，则{λ1an·λ2bn}（λ1、λ2为常数）也是等比数列，公比为q·q2.（3）下标成等差数列且公差为m的项ak，ak+m，ak+2m，…组成的数列仍为等比数列，公比为qm.（4）若m、n、l、k∈N*，且m+n=k+l，则am·an=ak·al，反之不成立.（5）设A=a1+a2+a3+…+an，B=an+1+an+2+an+3+…+a2n，C=a2n+1+a2n+2+a2n+3+…+a3n，则A、B、C成等比数列，设M=a1·a2·…·an，N=an+1·an+2·…·a2n，P=a2n+1·a2n+2·…·a3n，则M、N、P也成等比数列.二、典型例题例1b2=ac是数a、b、c成等比数列的（）A、充分而不必要条件B、必要而不充分条件C、充要条件D、既不充分也不必要条件例2在等比数列na中，a3a4a5=3，a6a7a8=27,求a9a10a11?例3在等比数列na中，a5,a9是方程071872xx的两根，求a7?例4在等比数列na中,na０(n∈N),a2a4+2a3a5+a4a6=25,求a3+a5的值？例5在正项等比数列na中，a1a2a3…a30=302,求a2a5a8…a29?例6已知在等比数列na中,a7a11=6,a4+a14=5,求1020aa的值？例7已知在等比数列na中,公比q＝２，前3n项和283nS,求a3+a6+a9+…＋an3?例8已知在等比数列na中,na０(n∈N)，a1,a99是方程016102xx的两根，求a40a50a60的值？例9各项均为正数的等比数列na的前几项的和记为Ｓn。若S10=10，S30=70，求S40的值。例10一个等比数列的第三、四项分别为4和8，求它的第一、五项？例11一个各项为正数的等比数列，其任何一项都等于它后面的两项之和，求其公比？例12设a1,a2,a3,a4成等比数列，公比为2,求432122aaaa的值？例13在公比为整数的等比数列中，如a1+a4=18,a2+a3=12.求这个数列的前八项之和？例14.在等比数列{an}中，a5+a6=a（a≠0），a15+a16=b，则a25+a26的值是A.abB.22abC.ab2D.2ab例15公差不为零的等差数列{an}的第二、三及第六项构成等比数列，则642531aaaaaa=_____.例16若数列x，a1，a2，y成等差数列，x，b1，b2，y成等比数列，则21221)(bbaa的取值范围是___________________.例17.已知数列{an}中，a1=65且对任意非零自然数n都有an+1=31an+（21）n+1.数列{bn}对任意非零自然数n都有bn=an+1－21an.（1）求证:数列{bn}是等比数列；（2）求数列{an}的通项公式.例18.设{an}为等比数列，a1=b1=1，a2+a4=b3，b2b4=a3，分别求出{an}及{bn}的前10项的和S10及T10.例19已知数列{an}，构造一个新数列a1，（a2－a1），（a3－a2），…，（an－an－1），…，此数列是首项为1，公比为31的等比数列.（1）求数列{an}的通项；（2）求数列{an}的前n项和Sn.三、高考点击试题1已知{an}是等比数列，a1=2，a3=18；{bn}是等差数列，b1=2，b1+b2+b3+b4=a1+a2+a3＞20.（1）求数列{bn}的通项公式；（2）求数列{bn}的前n项和Sn的公式；（3）设Pn=b1+b4+b7+…+b3n－2，Qn=b10+b12+b14+…+b2n+8，其中n=1，2，…，试比较Pn与Qn的大小，并证明你的结论.2已知等比数列{an}中，a1+a2+a3=7，a1a2a3=8，求an.四、练习题1在正项等比数列na中,如a4a7+a5a6=20,求lga1+lga2+…＋lga10?2在等比数列na中，若a1+a2+a3+a4+a5=３１，a2+a3+a4+a5＋a6=62,求：（１）a3+a4+a5＋a6＋a7?（２）这个数列的通项公式？3等比数列{an}的各项均为正数，其前n项中，数值最大的一项是54，若该数列的前n项之和为Sn，且Sn=80，S2n=6560，求：（1）前100项之和S100.（2）通项公式an2、已知等比数列na的公比q=-31,求86427531aaaaaaaa？3、已知等差数列na的公差d≠0,且，a1，a3，a9成等比数列，求1042931aaaaaa的值？4、在等比数列中，S30=13S10，S10+S30=140，求S20的值。5、在等比数列na中，a1+a2=30，a3+a4=120，求a7+a8的值。6、已知三个数成等比数列，它们的积为27，它们的平方和为91，求这三个数。7、一个有穷数列的首项为１，项数为偶数，其奇数项之各为８５，偶数项之各为１７０，求这个数列的公比及项数？8、已知等比数列{an}的前n项和为Sn，S3=3，S6=27，则此等比数列的公比q等于？9、已知a、b、c成等比数列，如果a、x、b和b、y、c都成等差数列，则ycxa=_________.10、设{an}为等差数列，{bn}为等比数列，a1=b1=1,a2+a4=b3,b2·b4=a3,分别求出{an}及{bn}的前n项和S10及T10.11、若互不相等的实数a、b、c成等差数列，c、a、b成等比数列，且103cba，则a=（）A．4B．2C．－2D．－412、在等比数列na中，12a，前n项和为nS，若数列1na也是等比数列，则nS等于（）A．122nB．3nC．2nD．31n13、已知数列na对任意的*pqN，满足pqpqaaa，且26a，那么10a等于（）A．165B．33C．30D．2114、数列{an}的前n项和记为Sn，111,211nnaaSn（1）求{an}的通项公式;（2）等差数列{bn}的各项为正，其前n项和为Tn，且315T，又112233,,ababab成等比数列，求Tn