第三讲空间几何空间位置关系(空间点线面位置关系)学生版

第三讲空间点、线、面位置关系【平面基本性质应用】公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内。符号语言：①检验平面；②判断直线在平面内；③由直线在平面内判断直线上的点在平面内．公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。符号语言：公理2及其推论给出了确定一个平面或判断“直线共面”的方法．推论1：经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面．符号语言：推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面．符号语言：推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面．符号语言：公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。符号语言：①判定两平面相交；②作两平面相交的交线；③证明多点共线．公理4：平行于同一条直线的两条直线平行。符号语言：①平行依据；②两直线平行的；③证明多点共线．定理：空间中如果两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补。◆【例题演练】1、如图正方体1111ABCDABCD中，E、F分别为D1C1和B1C1的中点，P、Q分别为AC与BD、A1C1与EF的交点.（1）求证：D、B、F、E四点共面；（2）若A1C与面DBFE交于点R，求证：P、Q、R三点共线.2、已知直线a//b//c，直线d与a、b、c分别相交于A、B、C，PQFED1C1B1A1DCBAc'badcCBA求证：a、b、c、d四线共面.3、正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F分别是AB和AA1的中点．求证：(1)E、C、D1、F四点共面；(2)CE、D1F、DA三线共点．4、如图所示，已知空间四边形ABCD中，E、H分别是边AB、AD的中点，F、G分别是边BC、CD上的点，且CFCB＝CGCD＝23，求证：三条直线EF、GH、AC交于一点．【线线关系】1、位置关系的分类共面直线平行相交异面直线：不同在任何一个平面内2、异面直线所成的角①定义：设a，b是两条异面直线，经过空间任一点O作直线a′∥a，b′∥b，把a′与b′所成的锐角或直角叫做异面直线a，b所成的角(或夹角)．②范围：0，π2.◆【例题演练】1、如图所示，正方体ABCDA1B1C1D1中，M、N分别是A1B1、B1C1的中点．问：(1)AM和CN是否是异面直线？说明理由；(2)D1B和CC1是否是异面直线？说明理由．2、在下图中，G、H、M、N分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH、MN是异面直线的图形有________(填上所有正确答案的序号)．3、正方体ABCDA1B1C1D1中，(1)求AC与A1D所成角的大小；(2)若E、F分别为AB、AD的中点，求A1C1与EF所成角的大小．4、A是△BCD平面外的一点，E，F分别是BC，AD的中点．(1)求证：直线EF与BD是异面直线；(2)若AC⊥BD，AC＝BD，求EF与BD所成的角．5、如图，已知四棱锥P-ABCD的底面ABCD为等腰梯形，//,ABDC,ACBDAC与BD相交于点O，求异面直接PD与BC所成角的余弦值.6、如图，在正四棱柱1111ABCDABCD中，11,31ABBB，E为1BB上使11BE的点。平面1AEC交1DD于F，交11AD的延长线于G，求异面直线AD与1CG所成角的大小；7、如图，四面体ABCD中，O、E分别是BD、BC的中点，2,2.CACBCDBDABAD求异面直线AB与CD所成角的大小。【小题精练】1、下列命题是真命题的是()．A．空间中不同三点确定一个平面B．空间中两两相交的三条直线确定一个平面C．一条直线和一个点能确定一个平面D．梯形一定是平面图形2、已知a，b是异面直线，直线c平行于直线a，那么c与b()．A．一定是异面直线B．一定是相交直线C．不可能是平行直线D．不可能是相交直线3、下列命题中错误的是()．A．如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面βB．如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面βC．如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β＝l，那么l⊥平面γD．如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面β4、如果两条异面直线称为“一对”，那么在正方体的十二条棱中共有异面直线()．A．12对B．24对C．36对D．48对5、两个不重合的平面可以把空间分成________部分．6、正方体ABCDA1B1C1D1中，P、Q、R分别是AB、AD、B1C1的中点，那么，正方体的过P、Q、R的截面图形是()．A．三角形B．四边形C．五边形D．六边形7、下列如图所示是正方体和正四面体，P、Q、R、S分别是所在棱的中点，则四个点共面的图形是________．8、l1，l2，l3是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是()．A．l1⊥l2，l2⊥l3⇒l1∥l3B．l1⊥l2，l2∥l3⇒l1⊥l3C．l1∥l2∥l3⇒l1，l2，l3共面D．l1，l2，l3共点⇒l1，l2，l3共面9、过正方体ABCD-A1B1C1D1的顶点A作直线l，使l与棱AB，AD，AA1所成的角都相等，这样的直线l可以作()．A．1条B．2条C．3条D．4条