第三讲裂项

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分数裂项求和方法总结(一)用裂项法求1(1)nn型分数求和分析:因为111nn=11(1)(1)(1)nnnnnnnn(n为自然数)所以有裂项公式:111(1)1nnnn【例1】求111......101111125960的和。111111()()......()101111125960111060112(二)用裂项法求1()nnk型分数求和分析:1()nnk型。(n,k均为自然数)因为11111()[]()()()nknknnkknnknnknnk所以1111()()nnkknnk【例2】计算11111577991111131315111111111111111()()()()()2572792911211132131511111111111[()()()()()]2577991111131315111[]2515115(三)用裂项法求()knnk型分数求和分析:()knnk型(n,k均为自然数)11nnk=()()nknnnknnk=()knnk所以()knnk=11nnk【例3】求2222......1335579799的和1111111(1)()()......()33557979911999899(四)用裂项法求2()(2)knnknk型分数求和分析:2()(2)knnknk(n,k均为自然数)211()(2)()()(2)knnknknnknknk【例4】计算:4444......13535793959795979911111111()()......()()1335355793959597959797991113979932009603(五)用裂项法求1()(2)(3)nnknknk型分数求和分析:1()(2)(3)nnknknk(n,k均为自然数)1111()()(2)(3)3()(2)()(2)(3)nnknknkknnknknknknk【例5】计算:111......12342345171819201111111[()()......()]3123234234345171819181920111[]3123181920113920520(六)用裂项法求3()(2)(3)knnknknk型分数求和分析:3()(2)(3)knnknknk(n,k均为自然数)311()(2)(3)()(2)()(2)(3)knnknknknnknknknknk【例6】计算:333......1234234517181920111111()()......()1232342343451718191819201112318192011396840分数裂项一、“裂差”型运算将算式中的项进行拆分,使拆分后的项可前后抵消,这种拆项计算称为裂项法.裂项分为分数裂项和整数裂项,常见的裂项方法是将数字分拆成两个或多个数字单位的和或差。遇到裂项的计算题时,要仔细的观察每项的分子和分母,找出每项分子分母之间具有的相同的关系,找出共有部分,裂项的题目无需复杂的计算,一般都是中间部分消去的过程,这样的话,找到相邻两项的相似部分,让它们消去才是最根本的。(1)对于分母可以写作两个因数乘积的分数,即形式的,这里我们把较小的数写在前面,即,那么有(2)对于分母上为3个或4个连续自然数乘积形式的分数,即:,形式的,我们有:裂差型裂项的三大关键特征:(1)分子全部相同,最简单形式为都是1的,复杂形式可为都是x(x为任意自然数)的,但是只要将x提取出来即可转化为分子都是1的运算。(2)分母上均为几个自然数的乘积形式,并且满足相邻2个分母上的因数“首尾相接”(3)分母上几个因数间的差是一个定值。二、“裂和”型运算:常见的裂和型运算主要有以下两种形式:(1)(2)裂和型运算与裂差型运算的对比:裂差型运算的核心环节是“两两抵消达到简化的目的”,裂和型运算的题目不仅有“两两抵消”型的,同时还有转化为“分数凑整”型的,以达到简化目的。【例1】。【考点】分数裂项【难度】2星【题型】计算【关键词】美国长岛,小学数学竞赛【解析】原式提醒学生注意要乘以(分母差)分之一,如改为:,计算过程就要变为:.【答案】【巩固】【考点】分数裂项【难度】2星【题型】计算【解析】原式【答案】【巩固】【考点】分数裂项【难度】2星【题型】计算【解析】原式【答案】【例2】【考点】分数裂项【难度】3星【题型】计算【解析】本题为典型的“隐藏在等差数列求和公式背后的分数裂差型裂项”问题。此类问题需要从最简单的项开始入手,通过公式的运算寻找规律。从第一项开始,对分母进行等差数列求和运算公式的代入有,,……,原式【答案】【巩固】【考点】分数裂项【难度】2星【题型】计算【关键词】2008年,台湾,小学数学竞赛,初赛【解析】原式【答案】【巩固】计算:【考点】分数裂项【难度】3星【题型】计算【解析】原式【答案】【例1】计算:【考点】分数裂项【难度】2星【题型】计算【关键词】2008年,101中学原式【答案】【巩固】_______【考点】分数裂项【难度】2星【题型】计算【关键词】2008年,第六届,走美杯,初赛,六年级【解析】根据裂项性质进行拆分为:【答案】【例1】计算:【考点】分数裂项【难度】3星【题型】计算【关键词】2005年,第10届,华杯赛,总决赛,二试【解析】原式【答案】【例1】计算:【考点】分数裂项【难度】3星【题型】计算【关键词】第五届,小数报,初赛【解析】原式【答案】【巩固】计算:____。【考点】分数裂项【难度】2星【题型】计算【关键词】2009年,学而思杯,6年级【解析】原式【答案】计算:.【考点】分数裂项【难度】3星【题型】计算【关键词】2008年,四中【解析】原式【答案】【例1】【考点】分数裂项【难度】3星【题型】计算【解析】首先分析出原式【答案】【巩固】计算:【考点】分数裂项【难度】3星【题型】计算【解析】原式【答案】【考点】分数裂项【难度】3星【题型】计算【解析】【答案】【例1】【考点】分数裂项【难度】3星【题型】计算【解析】原式【答案】【例2】计算:.【考点】分数裂项【难度】3星【题型】计算【解析】如果式子中每一项的分子都相同,那么就是一道很常见的分数裂项的题目.但是本题中分子不相同,而是成等差数列,且等差数列的公差为2.相比较于2,4,6,……这一公差为2的等差数列(该数列的第个数恰好为的2倍),原式中分子所成的等差数列每一项都比其大3,所以可以先把原式中每一项的分子都分成3与另一个的和再进行计算.原式也可以直接进行通项归纳.根据等差数列的性质,可知分子的通项公式为,所以,再将每一项的与分别加在一起进行裂项.后面的过程与前面的方法相同.【答案】

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