第九章-振动学基础

第九章振动学基础１２４第九章振动学基础§9.1简谐振动一、简谐振动的动力学描述1、谐振动的受力特征谐振动的动力学定义：振动系统在与位移大小成正比，而方向相反的回复力作用下的运动称为简谐振动。kxf式中，k为比例系数。2、简谐振动的微分方程设振动物体的质量为m，根据牛顿第二定律有：22dtxdmkx022xmkdtxd令：mk则：0222xdtxd二、简谐振动的运动学描述1、谐振动的数学表达式——运动方程根据微分方程理论0222xdtxd的解为：)cos(tAx谐振动的运动学定义：位移按余弦规律移随时间变化的运动是谐振动。)cos()sin(2tAatAvA、φ为积分常数。【例】：若t=0时，00,vvxx，求A、φ。第九章振动学基础１２５【解】：sincos00AvAx002020xvtgvxA2、简谐振动的三个特征量（1）振幅——由振动系统的能量决定表示振动物体离开平衡位置的最大距离。020202020202022)2121(2EkmvkxkkmvxvxA（2）角频率、频率、周期——由振动系统的性质决定角频率：mk周期：2T频率：T1（3）初相——由起始时刻的选取决定如在位移正最大值时开始计时，φ=0在平衡位置处开始计时φ=±π/2例1、证明单摆的振动为谐振动，并求其振动周期。证明：sin0cosmgfmgTfn当作微振动时θ很小mgf故单摆的振动为谐振动，其振动微分方程为：02222lgdtddtdmlmgmamg角频率：lg第九章振动学基础１２６周期：gl22【例2】、半径为R的木球静止浮于小面上时，其体积的一半浸于水中，求（1）木球振动的微分方程，（2）木球在什么条件下作简谐振动，振动周期为多少？【解】：以平衡位置为坐标原点，当木球从平衡下移位移x时，浸入水中的体积增加：)31()(222022'RxxRdxxRVx木球所受的合力：gRxxRgVf)31(222'由牛顿第二定律：22222)31(dtxdmgRxxR平衡位置时：33421Rm，故0)31(232222RxxRgdtxd些即木球的运动微分方程。当Rx时，0322Rx02322xRgdtxd木球作简谐振动gRTRg3222,23三、简谐振动的旋转矢量表示1、旋转矢量作匀速率圆周运动的物体在圆周的任一直经上的投影点的运动，就是一简谐振动。绕固定点O以一定角速度ω逆时针旋转的矢量称为旋转矢量。2、旋转矢量与谐振动的关系旋转矢量A的端点在圆周的直经——x轴上的投影点的的运动为谐振动。振幅A——A的模。第九章振动学基础１２７角频率ω——A的角速度。位相ωt+φ——A与x轴的夹角。)cos(tAx3、谐振动的位相ωt+φ（1）位相当A和ω一定时，简谐振动的运动状态（位移、速度、加速度）完全由ωt+φ确定，称ωt+φ为简谐振动的位相。而t=0时的相位φ称为简谐振动的初相。如，若弹簧振子的位相为π/2，则振动物体的运动情况是物体通过平衡位置且沿负方向运动（2）位相差设有两个谐振动)cos()cos(222111tAxtAx位相差：))()(1212tt【例】：作谐振动的物体，其振幅为A，在起始时刻质点的位移为（1/2）A，且沿x轴正方向运动。画出代表该谐振动的旋转矢量图。四、简谐振动的能量作简谐振动的弹簧振子，其运动方程为：)cos(tAx动速度为：)(tsimAv动能和势能分别为：)(cos2121)(sin21212222222tkAkxEtAmvEpK机械能为：2222121mAKAEEEpK可见，弹簧振子的动能和势能按正弦或余弦的平方随时间作周期性变化，当动能最大时，势能最小；当动能最小时，势能最大；但机械能保持恒定不变。【例】：如图，ml5.1。求单摆左右两方振幅之比。第九章振动学基础１２８【解】：单摆的能量2222121mAKAE守恒，故1221AA而：lg，所以2121llAAmllmll05.145.0,5.12102.105.15.121AA【例】：在弹簧下挂gm1000的法码时，弹簧伸长cm8。现在弹簧下挂gm250的物体构成弹簧振子。把物体从平衡位置向下拉动cm4，并给以向上scm/21的初速度（此时开始计时），选x轴的正方向向下，求谐振子的运动方程。【解】：以平衡位置为坐标原点，设运动方程为：)cos(tAx（1）求角频率ω由胡克定律：)/(25.12/00mNxgmkkxgm)/(7/sradmk（2）由初始条件求A、φ2.0,2.075.004.0721.0)(05.07/2.004.000222020xvtgmvxA因物体沿x轴负方向运动，由旋转矢量图，取：2.0（3）求运动方程)(),2.025.2cos(05.0)(),2.07cos(05.0SItSItx第九章振动学基础１２９§9.2简谐振动的合成一、同振动方向、同频率的简谐振动的合成设在x方向有两个同频率的简谐振动：)cos(111tAx)cos(222tAx1、解析法根据运动迭加原理：)cos(21tAxxx式中：2211221112212221coscossinsin)cos(2AAAAtgAAAAA2、旋转矢量法1A：)cos(111tAx2A：)cos(222tAx21AAA：)cos(21tAxxx由图知：2211221112212221coscossinsin)cos(2AAAAtgAAAAA3、结论两个同方向同频率的简谐振动的合振动仍然是简谐振动，其振幅和初相由分振动的振幅及初相决定。4、讨论当,212k时，振动加强A=│A1+A2│。当,)12(12k时，振动减弱A=│A1-A2│。,3,2,1,0k第九章振动学基础１３０二、同振动方向、不同频率的简谐振动的合成拍现象设在x方向有两个不同频率的简谐振动，其振动频率分别为：ω1和ω2，振幅均为A，初相均为0，振动表达式分别为：)cos(11tAx)cos(22tAx其合振动为：2cos()2cos(2)2cos()2cos(21212121221tAttAxxx1、结论两个同方向不同频率的简谐振动的合振动不是简谐振动。2、讨论如果两个分振动的频率ω1和ω2很大，且相近时：ω1≈ω2则：)(21)(212121此时，合振动的位移随时间的变化主要由COS【2π（ν2+ν1）/2】决定，但振幅2ACOS【2π（ν2-ν1）/2】随时间作绶慢的周期性变化，出现振动忽强忽弱和情况。拍现象：频率都较大但相差很小的两个同方向振动合成时所产生的合振动忽强忽弱的现象。拍频：单位时间内出现最大振幅的次数叫拍频，)(22)2(212211212三、互相垂直的简谐振动的合成李萨茹图形当质点同时参与两个互相垂直的振动时，合振动质点的轨迹可能有各种形式，轨迹的形状是由两个分振动的周期、振幅和位相差决定的。设在x方向和y方向有两个同频率的简谐振动：)cos(111tAx)cos(222tAy消去上述方程中的时间参数t可得合振动物体的轨迹方程：)(sin)cos(2221221222212AAxyAxAx一般而言，上述方程是一椭圆方程，椭圆的形状大小和长短轴由第九章振动学基础１３１两个分振动的振幅A1、A2和位相差（φ2-φ1）决定。如果两个互相垂直的简谐振动的频率不相同，它们的合振动的运动情况比较复杂。如两个分振动的位相差很大，但有简单的整数比时，则合振动具有稳定的封闭的运动轨迹，这种图形称为李萨如图。【例题】已知两谐振动的运动方程：)4/310cos(10521tx，)4/10cos(10622tx式中各物理量都用SI制。求：（1）合成振动的振幅和初位相；（2）如另有第三个谐振动)10cos(10723tx则α应为何值，才能使31xx的合振动振幅最大?又α应为何值，才能使32xx的合振动振幅最小?【解】（1)(1081.7)cos(2212212221mAAAAA代入有关数据计算得：)(1081.72mA合振动的初位相φ满足11coscossinsin22112211AAAAtg代入有关数据计算得：11tg因为4/34/所以φ＝８４．８°（2）要使31xx的合振动振幅最大，两分振动31,xx必须同位相，n24/3,2,1,0n所以4/32n要使32xx的合振动幅最小，两分振动32,xx)12(4/n,2,1,0n所以4/1)12(n§9.3阻尼振动、受迫振动、共振第九章振动学基础１３２一、阻尼振动实验指出，当振动物体的运动速度不太大时，振动物体所受到的阻力与速度成正比，阻力的方向与速度方向相反：dtdxf式中γ是比列系数，它由振动物体的形状、大小、表面状况和周围介质的性质决定。阻尼振动的微分方程：022022xdtdxdtxd式中ω0是振动系统的固有频率，β是表征系统阻尼大小的常量。当阻尼较小时，上述微分方程的解为：)cos()(00teAtxt振动的振幅随时间按指数规律衰减，阻尼作用越大，振幅衰减得越快，称为欠阻尼振动。当阻较大时，上述微分方程的解为：ttecectx)(2)(1202202)(这种运动方式没有周期性的振动，经过相当长的时间物体才能达到平衡位置，称为过阻尼运动。如果阻尼的作用刚刚能使物体作非周期性运动，最后也能回到平衡位置，这种情况称为临界阻尼运动。上述微分方程的解为：tecctx)()(21二、受迫振动共振如果策动力是随时间按余弦规律变化的简谐力hcosωt，则在同时受到弹性力、阻力和策动力作用下的振动物体，其位移随时间的变化规律为：)sin()cos()(02201tAtectxt上式说明，受迫振动可以看成是两个振动的合成。一个振动是由上式的第一项所表示的减幅振动，经过一段时间后，该部分振动就可以忽略不计了；另一部分振动是上式第二项所表示的振幅不变的振动，这是受迫振动达到达稳定状态时的振动，即：)cos()(tAtx式中的角频率就是策动力的角频率，而受迫振动的振幅为：第九章振动学基础１３３21222220]4)[(hA在弱阻尼情况下，β〈〈ω0，此时振动系统的振幅为：220hA当策动力的频率ω等于振动系统的固的频率ω0时，振动系统的振幅达到最大值，这种现象叫共振。