第九章SECTION4酉空间

§4酉空间一、酉空间的定义与性质[酉空间与欧氏空间]设V为一个复数域F上的线性空间，若在V中定义了两个矢量,的内积（数量积），记作（,），且满足：(i)（,）=（_____,），其中（_____,）是（,）的共轭复数；(ii)（,）0，等号当且仅当0时成立；(iii)),(),(),(22112211aaaa，对任意,,,21VFaa21,成立；则称V为一酉（U）空间，又称为内积空间.若F是实数域，这时内积是可交换的.有限维实酉空间称为欧氏空间.例n维线性空间nV中，若规定)(),(2211nnbababa式中nnbbbaaa2121β,α则nV是一个酉空间.酉空间Ｖ中的内积具有性质：1o（ba,）＝),(ba2o),(),(),(3o一般，VFbaiiii,,,),,2,1(ni则niiiiiniiiniiibaba111),(),(4o000),(),([模(范数)]由于_____),(),(，所以),(是实的.令),(称它为酉空间Ｖ中矢量的模或范数.模为１的矢量称为单位矢量或标准矢量.设α，β为酉空间的矢量，c为一复数，则1occ2o),(（柯西-施瓦兹不等式）等号当且仅当α和β线性相关时成立.3o这些性质与空间的维数无关.[正交与标准正交基]酉空间V中，若0),(，则称矢量α正交于β.显然，若α正交于β，则β也正交于α.酉空间中，任意一组两两正交非零矢量是线性无关的.如果一组单位矢量两两正交，则称它为一个标准正交组.若这矢量组又生成整个空间V，则称它为V的标准正交基.设{n,,,21}为酉空间V的一组标准正交矢量，V，则1o222221),(),(),(n（贝塞耳不等式）2onn),(),(),(2211正交于),,2,1(nii3o当V是有限维空间时，{n,,,21}成为V的基底的充分必要条件是：任一个矢量V可表示为nn),(),(),(2211且222212),(),(),(n[子空间的正交补空间]设V为复数域上的酉空间，S为V的一个子空间，若(i)VTS(ii)对S和T有0),(则称T为S的正交补空间.由(i)立刻可知TS（空集）.若S是一个有限维酉空间nV的一个子空间，则nV中有一个子空间T为S的正交补空间.二、酉空间上的特殊线性变换[共轭变换]对域F上酉空间V上的一个线性变换L，由关系式V,)),(,()),((*LL所定义的变换*L是线性变换,*L称为L的共轭变换.若LLLL**，则称L为正规变换.共轭变换有以下性质：1oLL**)(2oFaaa,)(**LL3o***)(MLML4o***)(LMLM5o若L是非奇异线性变换，则*L也是非奇异线性变换，并且*11*)()(LL6o若在某一标准正交基下L的矩阵为A，则共轭变换*L关于这同一基底的矩阵为A的共轭转置矩阵__A.[自共轭变换（埃尔米特变换）]若*LL，则称L为自共轭变换或埃尔米特变换.自共轭变换有以下性质：1o若L，M为自共轭变换，Fa则LMLa,也是自共轭变换.当L，M可交换时，LM也是自共轭变换.2o在标准正交基下，自共轭变换的矩阵是埃尔米特矩阵.反之，线性变换关于一标准正交基的矩阵是埃尔米特矩阵，则必为自共轭变换.3o自共轭变换的特征值是实的.4o有适当的标准正交基使自共轭变换L对应于一个实对角线矩阵，其主对角线上的元素是L的全部特征值.[酉变换]若对酉空间V中的任意,，有线性变换L，使),())()),((LL则称L为酉变换.酉变换有以下性质：1o恒等变换为酉变换.2o若L，M为酉变换，则LM也为酉变换.3o若L为酉变换，则1L也为酉变换.4oL为酉变换的充分必要条件是：ILL*或1*LL5o在标准正交基下，酉变换L的矩阵是酉矩阵.反之，线性变换关于一标准正交基的矩阵是酉矩阵，则必为酉变换.6o酉变换的特征值的绝对值都是1.三、射影[射影及其性质]对线性空间V上的一个线性变换P，若有V的两个互补子空间S和T使得若TSV,,,，则)(P这种变换P称为V沿T在S上的射影.射影有以下性质：1o若P是一个射影，则PP2因此射影是一个幂等变换；反之，幂等变换必为射影.2o若21,PP是线性空间V分别沿1T在1S上和沿2T在2S上的射影，则(i)21PP是一个射影，当且仅当若OPPPP1221时，则21SS，并且21PP是沿21TTT在21SSS上的射影.(ii)若PPPPP1221，则P是沿21TTT在21SSS上的射影.3o设T，S为有限维线性空间nV的两个互补子空间，P为沿子空间T在子空间S上的射影，则P的矩阵可化为如下形式：000AP式中A是k阶方阵.[正射影]设S，T为复数域上一酉空间V的互补子空间，则V沿T在S上的射影称为V在S上的正射影.[自共轭变换的分解]设L是有限维酉空间V上一个自共轭变换.令k,,,21为L的不同特征值，令iS为使i)(L),,2,1(ki的矢量α的集合，则iS是V的子空间.显然对ji，iS和jS是V的正交补空间.若{iini,,1}是Si的一个标准正交基，其中in是iS的维数，则由一切这些ij所组成的集{ij}是V的一个标准正交基.最后使Pi为V在Si上的射影，则关于上面的基底，L的矩阵有如下的形式：kk002211=knknnIII002121式中inI表示in阶单位矩阵.另一方面，关于这个基底射影Pi的矩阵为kinnnI001式中inO表示jn阶的零矩阵.因此自共轭变换可以写成射影的一个线性组合.kkPPPL2211四、酉空间中的度量在本节第一段中，已经引入酉空间中的每个矢量α的模（范数）.酉空间中两“点”（即矢量）α，β的距离),(d与任二矢量α，β之间的角度的定义如下：),(cos))((),(d由上述方程所定义的函数满足尺度空间（见第二十一章，§4，一）中的一切条件.若V是一个实酉空间，则对一切V,，角度必须是实的.