第九章专题研究二圆锥曲线中最值定点定值

专题训练（最值，定值问题）一、选择题1．抛物线y＝ax2与直线y＝kx＋b(k≠0)交于A，B两点，且此两点的横坐标分别为x1，x2，直线与x轴交点的横坐标是x3，则恒有()A．x3＝x1＋x2B．x1x2＝x1x3＋x2x3C．x1＋x2＋x3＝0D．x1x2＋x2x3＋x3x1＝0答案B解析由方程组y＝ax2，y＝kx＋b，得ax2－kx－b＝0，可知x1＋x2＝ka，x1x2＝－ba，x3＝－bk，代入各项验证即可得B正确，故选B.2．已知A，B，C三点在曲线y＝x上，其横坐标依次为1，m,4(1m4)，当△ABC的面积最大时，m等于()A．3B.94C.52D.32答案B解析由题意知A(1,1)，B(m，m)，C(4,2)．直线AC所在的方程为x－3y＋2＝0，点B到该直线的距离为d＝|m－3m＋2|10.S△ABC＝12|AC|·d＝12×10×|m－3m＋2|10＝12|m－3m＋2|＝12|(m－32)2－14|.∵m∈(1,4)，∴当m＝32时，S△ABC有最大值，此时m＝94.故选B.3．过抛物线y2＝2px(p0)上一定点M(x0，y0)(y0≠0)，作两条直线分别交抛物线于A(x1，y1)、B(x2，y2)，当MA与MB的斜率存在且倾斜角互补时，则y1＋y2y0等于()A．－2B．2C．4D．－4答案A解析kMA＝y1－y0x1－x0＝y1－y0y212p－y202p＝2p（y1－y0）y21－y20＝2py1＋y0(y0≠y1)，同理：kMB＝2py2＋y0.由题意：kMA＝－kMB，∴2py1＋y0＝－2py2＋y0，∴y1＋y0＝－(y2＋y0)，y1＋y2＝－2y0，∴y1＋y2y0＝－2，故选A.4．(2011·福州质检)已知P为抛物线y2＝4x上一个动点，Q为圆x2＋(y－4)2＝1上一个动点，那么点P到点Q的距离与点P到抛物线的准线的距离之和的最小值是()A．5B．8C.17－1D.5＋2答案C解析抛物线y2＝4x的焦点为F(1,0)，圆x2＋(y－4)2＝1的圆心为C(0,4)，设点P到抛物线的准线的距离为d，根据抛物线的定义有d＝|PF|，∴|PQ|＋d＝|PQ|＋|PF|≥(|PC|－1)＋|PF|≥|CF|－1＝17－1.二、填空题5．已知点M是抛物线y2＝4x上的一点，F为抛物线的焦点，A在圆C：(x－4)2＋(y－1)2＝1上，则|MA|＋|MF|的最小值为________．答案4解析依题意得|MA|＋|MF|≥(|MC|－1)＋|MF|＝(|MC|＋|MF|)－1，由抛物线的定义知|MF|等于点M到抛物线的准线x＝－1的距离，结合图形不难得知，|MC|＋|MF|的最小值等于圆心C(4,1)到抛物线的准线x＝－1的距离，即为5，因此所求的最小值为4.6．若抛物线y2＝4x的焦点为F，过F且斜率为1的直线交抛物线于A，B两点，动点P在曲线y2＝－4x(y≥0)上，则△PAB的面积的最小值为________．答案22解析由题意，得F(1,0)，直线AB的方程为y＝x－1.由y＝x－1y2＝4x，得x2－6x＋1＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝6，x1x2＝1，∴|AB|＝2·（x1＋x2）2－4x1x2＝8.设P(－y204，y0)，则点P到直线AB的距离为|y204＋y0＋1|2，∴△PAB的面积S＝|y20＋4y0＋4|2＝（y0＋）22≥22，即△PAB的面积的最小值是22.三、解答题7．(2011·北京东城区期末)已知椭圆C的中心在原点，一个焦点为F(0，2)，且长轴长与短轴长的比是21.(1)求椭圆C的方程；(2)若椭圆C上在第一象限的一点P的横坐标为1，过点P作倾斜角互补的两条不同的直线PA，PB分别交椭圆C于另外两点A，B，求证：直线AB的斜率为定值；(3)在(2)的条件下，求△PAB面积的最大值．解(1)设椭圆C的方程为y2a2＋x2b2＝1(ab0)．由题意，得a2＝b2＋c2，a:b＝2:1，c＝2，解得a2＝4，b2＝2.所以椭圆C的方程为y24＋x22＝1.(2)由题意知，两直线PA，PB的斜率必存在，设PB的斜率为k.又由(1)知，P(1，2)，则直线PB的方程为y－2＝k(x－1)．由y－2＝k(x－)，y24＋x22＝1，得(2＋k2)x2＋2k(2－k)x＋(2－k)2－4＝0.设A(xA，yA)，B(xB，yB)，则xB＝1·xB＝k2－22k－22＋k2，同理可得xA＝k2＋22k－22＋k2.则xA－xB＝42k2＋k2，yA－yB＝－k(xA－1)－k(xB－1)＝8k2＋k2.所以kAB＝yA－yBxA－xB＝2为定值．(3)由(2)，设直线AB的方程为y＝2x＋m.由y＝2x＋m，y24＋x22＝1，得4x2＋22mx＋m2－4＝0.由Δ＝(22m)2－16(m2－4)0，得m28.此时xA＋xB＝－2m2，xA·xB＝m2－44.点P到直线AB的距离d＝|m|3，|AB|＝(xA－xB)2＋(yA－yB)2＝－32m2＋12.∴S△PAB＝12d·|AB|＝12|m|3·24－3m22＝12m2(8－m)22当且仅当m2＝8－m2即m2＝4时，Smax＝2.8．已知定点C(－1,0)及椭圆x2＋3y2＝5，过点C的动直线与椭圆相交于A，B两点，在x轴上是否存在点M，使MA→·MB→为常数？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．分析分斜率存在和不存在两种情况讨论，假设存在，那么数量积MA→·MB→应该与直线的方向无关．解析假设在x轴上存在点M(m,0)，使MA→·MB→为常数．设A(x1，y1)，B(x2，y2)．①当直线AB与x轴不垂直时，直线AB的斜率存在，设直线AB的方程为y＝k(x＋1)，将y＝k(x＋1)代入x2＋3y2＝5，消去y整理得(3k2＋1)x2＋6k2x＋3k2－5＝0.则Δ＝36k4－(3k2＋)(3k2－)0，x1＋x2＝－6k23k2＋1，x1·x2＝3k2－53k2＋1.所以MA→·MB→＝(x1－m)(x2－m)＋y1y2＝(x1－m)(x2－m)＋k2(x1＋1)(x2＋1)＝(k2＋1)x1x2＋(k2－m)(x1＋x2)＋k2＋m2.整理得MA→·MB→＝(m－1)k2－53k2＋1＋m2＝(2m－13)(3k2＋1)－2m－1433k2＋1＋m2＝m2＋2m－13－6m＋143(k2＋).注意到MA→·MB→是与k无关的常数，从而有6m＋14＝0，m＝－73，此时MA→·MB→＝49.②当直线AB与x轴垂直时，此时点A，B的坐标分别为A(－1，23)、B(－1，－23)，当m＝－73时，亦有MA→·MB→＝49.综上，在x轴上存在定点M(－73，0)，使MA→·MB→为常数．9．(2010·北京卷，文)已知椭圆C的左、右焦点坐标分别是(－2，0)、(2，0)，离心率是63.直线y＝t与椭圆C交于不同的两点M，N，以线段MN为直线作圆P，圆心为P.(1)求椭圆C的方程；(2)若圆P与x轴相切，求圆心P的坐标；(3)设Q(x，y)是圆P上的动点，当t变化时，求y的最大值．解析(1)因为ca＝63，且c＝2，所以a＝3，b＝a2－c2＝1.所以椭圆C的方程为x23＋y2＝1.(2)由题意知P(0，t)(－1t1)．由y＝t，x23＋y2＝1，得x＝±3(－t2).所以圆P的半径为3(－t2).当圆P与x轴相切时，|t|＝3(－t2).解得t＝±32所以点P的坐标是(0，±32)．(3)由(2)知，圆P的方程为x2＋(y－t)2＝3(1－t2)．因为点Q(x，y)在圆P上，所以y＝t±(1－t2)－x2≤t＋3(－t2).设t＝cosθ，θ∈(0，π)，则t＋3(－t2)＝cosθ＋3sinθ＝2sin(θ＋π6)．当θ＝π3，即t＝12，且x＝0时，y取最大值2.练习题1．设A(x1，y1)，B(x2，y2)是抛物线y2＝2px(p0)上的两点，并且满足OA⊥OB，则y1y2等于()A．－4p2B．－3p2C．－2p2D．－p22．过抛物线y2＝2px(p0)的焦点F的直线l与抛物线在第一象限的交点为A，与抛物线的准线的交点为B，点A在抛物线准线上的射影为C，若AF→＝FB→，BA→·BC→＝48，则抛物线的方程为()A．y2＝4xB．y2＝8xC．y2＝16xD．y2＝42x3．已知定点F(0,1)和直线l1：y＝－1，过定点F与直线l1相切的动圆圆心为点C.(1)求动点C的轨迹方程；(2)过点F的直线l2交轨迹于两点P、Q，交直线l1于点R，求RP→·RQ→的最小值．4．已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(ab0)以双曲线x23－y2＝1的焦点为顶点，其离心率与双曲线的离心率互为倒数．(1)求椭圆C的方程；(2)若椭圆C的左、右顶点分别为点A，B，点M是椭圆C上异于A，B的任意一点．①求证：直线MA，MB的斜率之积为定值；②若直线MA，MB与直线x＝4分别交于点P，Q，求线段PQ长度的最小值．5．如图所示，已知直线l：y＝kx－2与抛物线C：x2＝－2py(p0)交于A，B两点，O为坐标原点，OA→＋OB→＝(－4，－12)．(1)求直线l和抛物线C的方程；(2)抛物线上一动点P从A到B运动时，求△ABP面积的最大值．1.答案A解析∵OA⊥OB，∴OA→·OB→＝0.∴x1x2＋y1y2＝0.①∵A、B都在抛物线上，∴y21＝2px1，y22＝2px2.∴x1＝y212p，x2＝y222p.代入①得y212p·y222p＋y1y2＝0，解得y1y2＝－4p2.2.答案A3.解析如图，易知|AF→|＝|AC→|，已知AF→＝FB→，即|AF→|＝|FB→|，又AC⊥BC，∴∠ABC＝30°.∵BA→·BC→＝|BA→|·|BC→|·cos30°＝|BA→|·|BA→|·cos30°·cos30°＝|BA→|2cos230°＝48，∴|BA→|＝8.∴|AC→|＝4，p＝|FD→|＝2.∴抛物线方程为y2＝4x.解(1)由题设点C到点F的距离等于它到l1的距离，∴点C的轨迹是以F为焦点，l1为准线的抛物线．∴所求轨迹的方程为x2＝4y.(2)由题意直线l2的方程为y＝kx＋1，与抛物线方程联立消去y，得x2－4kx－4＝0.记P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则x1＋x2＝4k，x1x2＝－4.∵直线PQ的斜率k≠0，易得点R的坐标为(－2k，－1)，RP→·RQ→＝(x1＋2k，y1＋1)·(x2＋2k，y2＋1)＝(x1＋2k)(x2＋2k)＋(kx1＋2)(kx2＋2)＝(1＋k2)x1x2＋(2k＋2k)(x1＋x2)＋4k2＋4＝－4(1＋k2)＋4k(2k＋2k)＋4k2＋4＝4(k2＋1k2)＋8，∵k2＋1k2≥2，当且仅当k2＝1时取到等号．RP→·RQ→≥4×2＋8＝16，即RP→·RQ→的最小值为16.4.解(1)易知双曲线x23－y2＝1的焦点为(－2,0)，(2,0)，离心率为23，则在椭圆C中a＝2，e＝32，故在椭圆C中c＝3，b＝1，所以椭圆C的方程为x24＋y2＝1.(2)①设M(x0，y0)(x0≠±2)，由题易知A(－2,0)，B(2,0)，则kMA＝y0x0＋2，kMB＝y0x0－2，故kMA·kMB＝y0x0＋2·y0x0－2＝y20x20－4，点M在椭圆C上，则x204＋y20＝1，即y20＝1－x204＝－14(x20－4)，故kMA·kMB＝y20x20－4＝－14，即直线MA，MB的斜率之积为定值．②解法一：设P(4，y1)，Q(4，y2)，则kMA＝kPA＝y16，kMB＝kBQ＝y22，由①得y16·y22＝－14，即y1y2＝－3，当y10，y20时，|PQ|＝|y1－y2|≥2－y1y2＝23，当且仅当y1＝3，y2＝－3时等号成立．同理可得，当y10，y20时，当且仅当y1＝－3，y2