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FuturesandOptions，Chap8，Y.C.CHU201086第八章買權賣權等價理論§8-1賣權-買權等價關係賣權-買權等價關係（Put-CallParity）指相同的履約價格（K）及合約期間（T）的歐式買權與賣權間具有某種對等關係。因此買權與賣權間可彼此推算。P＋S＝C＋K（1＋r）-T（8.1式）賣權＋股票＝買權＋買權履約價格折現值在前一章關於選擇權的評價，一直沒有討論關於賣權價格的評價，主要是因為藉由買權-賣權等價理論可以互相換算買權、賣權價格。範例8-1：根據民國99年11月16日元大7V中鋼的認購權證資料，元大7V收盤價是0.97元，當天中鋼股票收盤價為31.8元，履約價格為34元，民國100年3月21日到期（還有125天到期），T＝365125＝0.342，假設利率為1％，求在相同條件下，賣權或認售權證之理論價格?ANS：P＝C－S＋K（l＋r）-T＝0.97－31.8＋34（1＋0.01）-0.342＝3.05若等價關係不成立，則表示買權或賣權間可能至少有一個有錯價情形存在，藉由買低賣高可以有套利機會。範例8-2：假設股票現價＄31，現行利率10％，三個月期的歐式買權現價＄3，賣權現價＄2.25，履約價格均為＄30，則：P＋S＝2.25＋31＝33.25＞C＋K（1＋r）-T＝3＋30（1＋0.1）-3/12＝3＋29.29＝32.29所以有套利機會，且由上式可知買權價格相對偏低。因此可使用買入買權，賣出賣權並放空股票的策略進行套利。到期時若股價＞30，則執行買權，結束股票空頭部位。而期初之操作策略有－3＋2.25＋31＝30.25之現金流入，3個月後本利和為30.25（1＋0.1）0.25＝30.98，所以獲利30.98－30＝0.98FuturesandOptions，Chap8，Y.C.CHU201087若到期股價＜30，對方將會執行賣權。則以30元買進股票，結束股票空頭部位，同樣獲利0.98元。因此只要期初有不等價情形，運用正確的套利方法，不論期末現貨價格為何，均可獲得無風險利潤。藉由等價關係，可以發現當價平（股價等於履約價格，S＝K）時，買權價值大於賣權。證明的方法很簡單，首先將等價公式做移項，並將K＝S代入：C－P＝S－S（1＋r）-T＝S[1－（1＋r）-T]（8.2式）由於（1＋r）-T為一折現因子，必定小於1，[1－（1＋r）-T]＞0，此因在價平時，C－P＞0，亦即買權價值大於賣權。從等價理論公式還可以看出利率上升時，買權價值上升，賣權價值下降。因為當利率上升時，K（1＋r）-T下降，那麼S－K（l＋r）-T便上升。所以C－P上升，不外乎C上升或P下降；反之，當利率下降時，C－P下降，所以C下降或P上升。當股價波動性增加，買權與賣權的價格均會上升，但不會影響買權、賣權的相對價格（C－P）。因為從等價公式中，買權、賣權的相對價格等於股價減掉履約價格的折現看來，影響相對價格的只有股價、利率、履約價格及到期期限等四個因素。而股價報酬的波動性並不在買權賣權這個等式中。也就是說，波動性對買權、賣權的影響是一樣的。此外，任一選擇權定價模型均需滿足等價理論公式，因此由前一章的B＆S定價公式中，我們已知買權為：C＝SN（d1）－Ke-rTN（d2）（8.3式）將其套入等價公式，可得賣權為：P＝Ke-rT[1－N（d2）]－S[1－N（d1）]（8.4式）或＝K（1＋r）-T[1－N（d2）]－S[1－N（d1）]（8.5式）練習1：甲股票S0＝50，u＝0.5，d＝0.5，買權賣權的執行價格均為50，無風險利率為25﹪，試求一年期賣權價格。ANS：P＝5練習2：假設台積電目前股價為100元，履約價格亦為100元，股價年報酬波動FuturesandOptions，Chap8，Y.C.CHU201088性為60％，無風險利率為0.06，則到期期限為一年的賣權合理價格為多少？ANS：P＝S[N（d1）－1]－K（1＋r）-T[N（d2）－1]＝100（0.655－1）－%)61(100（0.421－1）＝100×（－0.345）＋94.34×0.579＝20.12或直接以買賣等價理論求出：P＝C－S＋K（1＋r）-T＝25.78－100＋100（1＋6％）-1＝20.12根據等價理論公式C－P＝S－K（1＋r）-T，若將P移到等號右邊，則變為：C＝S＋P－K（1＋r）-T將右邊減去K再加上K可得：C＝（S－K）＋[K－K（1＋r）-T]＋P（8.6式）（1）（2）（3）內含價值利息賣權所以上式買權價值其實可以看成是三項的和。因此，買權的時間價值即包含第（2）項利息與第（3）項賣權的價值。基本上短期內（譬如一天之內），第（2）項不會有太大的變化，所以買權的時間價值就只受第（3）項賣權價值的影響。而賣權具有保險功能，如果股價上升，賣權價值會下降（所需要支付的保險成本下降，亦即第（3）項賣權的價值會下降）。因此若股價上升，價內買權的時間價值就會下降。§8-2證券的複製在第五章曾提過關於資產的配置，就是將投資組合中不同資產的比重加以改變，藉以複製出具有相同部位的證券。在選擇權中，一樣可以用相同的原理複製出具有相同部位的資產。1.買入賣權＝買入買權＋賣空股票P＝C－S＋K（l＋r）-T賣權其實等於買權加上賣空股票，再加上把錢存到銀行（或是買一個債券），由於K（l＋r）-T代表購買無風險債券或將錢存入銀行，可以視為無風險的投資，FuturesandOptions，Chap8，Y.C.CHU201089在討論複製產品時可以將此項省略。因此買入買權、賣空股票便可複製一個和賣權到期時，有類似報酬型態的投資組合。圖8-1藉由上面的損益圖，我們也可以看出買進一單位買權並同時賣出一股股票所得的總損益與買進一單位賣權是相同的。2.買入買權＝買入股票＋買入賣權C＝S＋P－K（l＋r）-T所以買入買權也可由買入股票、再買入賣權來複製。圖8-23.買入股票＝買入買權＋賣空賣權S＝C－P＋K（l＋r）-T亦即買入股票可由買入買權、賣空賣權來複製。另外，賣空賣權（－P）、賣空買權（－C）及賣空股票（－S）的道理和前述第1、2、3項是一樣的，只是方向相反。圖8-3損益C-S股價KP損益CS股價KPKP損益CS股價FuturesandOptions，Chap8，Y.C.CHU201090買權與賣權的履約價不一定要相同，而且買權與賣權的價格也不會一樣，所以實際上的損益圖並不會正好成對稱。大家可以試試看當買權與賣權的履約價不相同，或買權與賣權的價格不一樣時，損益圖會有什麼差別。4.賣空賣權＝買入股票＋賣空買權－P＝S－C－K（l＋r）-T所以買入股票、賣空買權可以複製成賣空賣權的報酬型態。5.賣空買權＝賣空股票＋賣空賣權－C＝－S－P＋K（l＋r）-T因此賣空股票、賣空賣權可以複製成賣空買權。6.賣空股票=買入賣權＋賣空買權－S＝P－C－K（l＋r）-T所以買入賣權、賣空買權可以複製成賣空股票。7.買入無風險債券＝買入股票＋賣空買權＋買入賣權由K（l＋r）-T＝S＋P－C可知，買入股票、賣空買權及買入賣權將產生一個沒有風險的投資組合，或類似買入K（l＋r）-T的無風險債券，到期的報酬是已知的K，其現值是K（l＋r）-T。圖8-4總損益線會略高於橫軸，其間的差距即是無風險債券的收益（亦即利息）。8.賣空無風險債券＝賣空股票＋買入買權＋賣空賣權將第7項中取負號得：－K（l＋r）-T＝－S－P＋C這些複製證券的損益圖形繪製原則，只要把握4個基本交易策略的損益圖，並加以組合，即可畫出，不需要死記。其他沒有畫出損益圖的，其實都大同小異，請自行練習。損益-CS股價KPFuturesandOptions，Chap8，Y.C.CHU201091§8-3不同條件下之賣權-買權等價理論美式買權會被提早履約的原因，主要是因為股利的發放。因為提早履約，拿到股票才能獲得股利（但也損失時間價值），因此在沒有股利的情況下，沒有理由提早履約而損失時間價值，所以美式買權和歐式買權價格是一樣的。但當沒有股利發放時，美式賣權仍可能會有提早履約的情形，尤其在股價很低時，時間價值趨近於0，提早履約比較有利，因為可以提早拿到履約價格K，賺取K的利息。因此美式賣權的價值會大於或等於歐式賣權，即Pa≧Pe。於是美式買權賣權等價理論變成一個有上下區間的不等式：S－K≦Ca－Pa≦S－K（l＋r）-T（8.7式）範例8-3：假設A公司目前股價為110元，履約價格為100元，無風險利率為6％，則美式買權賣權在無股利下的相對價格？ANS：110－100≦C－P≦110－100（1＋0.06）-1＝＞10≦C－P≦15.7在有股利情況下，歐式的買權賣權等價理論為：C－P＝S－D（l＋r）-t－K（l＋r）-T（8.8式）因為股利的發放會降低股價，也就是說股利是股價的減項。因此在歐式的買權賣權等價理論上，只需將原公式右邊部分的股價減掉股利的折現即可。如果在選擇權存續期間發放一次以上的股利，那麼同樣將所有股利折現到現在，然後由目前股價扣掉此項即可。範例8-4：假設A公司目前股價為110元，預計半年後要發放4塊錢的現金股利，假設還有一年到期，履約價格為100元之歐式買權價值為20元，則條件相同的歐式賣權之合理價格為多少（假設無風險利率為6﹪）?ANS：C－P＝S－D（l－r）-t－K（l＋r）-T＝110－4（1＋0.06）-0.5－100（1＋0.06）-1＝11.77P＝20－11.77＝8.23FuturesandOptions，Chap8，Y.C.CHU201092在有股利情況下，因為股利的發放會降低買權的價格，提高賣權的價格，因此美式的買權賣權等價理論修正為：S－D（l＋r）-t－K≦Ca－Pa≦S－K（l＋r）-T（8.9式）範例8-5：承前例，求美式買權賣權在有股利情況下的相對價格？ANS：110－4（1＋0.06）-0.5－100≦Ca－Pa≦110－100（1＋0.06）-1所以6.1≦Ca－Pa≦15.7練習：財務市場完全且與處於均衡狀態，目前甲股票單價為10元，6個月之無風險利率為5%，市面上有一買權和一賣權，有相同之履約價格K，一單位之買（賣）權准許持有人6個月之後以每單位K元的價格向出售選擇權的人買入（賣出）1單位之甲股票，已知此買權及賣權之價格為1.50元及0.5元，求K?ANS：K＝9.2§8-4賣權之敏感度分析由等價關係及對買權的偏導函數，我們可以求得賣權的偏導函數：歐式賣權的Delta：Δ＝dSdP＝N(d1)－1＜0（8.10式）歐式賣權的Delta小於0，表示當股價上漲時，賣權價格下跌，大小剛好等於買權Delta減去1。類似的概念，歐式賣權Gamma：Γ＝SddP22＝TSdN)(1'＞0（8.11式）賣權的Gamma和買權的Gamma大小及符號都一樣，同樣表示當股價上漲時，Delta會上升，反之則會下降。歐式賣權的Vega（v）或Kappa：FuturesandOptions，Chap8，Y.C.CHU201093v＝ddP＝STN’（d1）（8.12式）賣權的Vega和買權的Vega也是相同的，表示當σ的上升使買權及賣權的價格呈現相同大小、相同方向的變動。譬如當σ的上升使買權上升1元，則同樣條件的賣權也上升1元。也就是說，同樣條件的買權賣權的相對價格（C－P）不受σ變動的影響，這是因為股價波動度σ不出現在買權賣權等價理論中。歐式賣權的Rho＝drdP＝TKe-rTT[N（d2）－1]＜0（8.13式）賣權Rho＜0，表示當利率上升時，賣權價格下跌，和買權Rho方向相反。歐式賣權的Theta（θ）＝dTdP＝TSNd2)('1＋rKe-rT[N（d2）－1]（8.14式）賣權的Theta可能大於0也可能小於0，也就是時間對歐式賣權的影響是不確定的，可能較短的賣權反而價值較大。因為可能在某個時點提早賣出股票拿到履約價格K，會比後來才拿到履約價格來得有利（先賺取K的利息）。至於履約價格K對賣權的影響，可以下式表示；dKdP＝e-rT