第九章微分方程模型有解答

嗯，很好~快乐就好~如果我的存在只能给你压力，不如放开手让彼此解脱。让我们都能幸福着，在各自的路程快乐第五章微分方程模型建立微积方程模型要对研究对象作具体分析。一般有以下三种方法：1、根据规律建模，2、用微元法建模，3、用模拟法建模。§5.1根据规律建模在数学、力学物理、化学等学科中已有许多经过实践的规律和定律，如牛顿运动定律，基尔霍夫电流及电压定律，物质的放射规律，曲线的切线性质等，这些都涉及到某些函数的变化率。我们就可以根据相应的规律，列出常微分方程。下面以目标跟踪问题为例介绍。设位于坐标原点的甲舰向位于x轴上点0,1A处的乙舰发射导弹，但始终对准乙舰，如果乙舰以最大的速度0V沿平行于y轴的直线行驶，导弹的速度是05V,求导弹运行的曲线。又乙舰行驶多远时，导弹将它击中?解：设导弹轨迹为y=y(x)，经过时间t，导弹位于P(x,y),乙舰位于点Q),1(0tV。由于导弹头始终对准乙舰，故此时PQ就是曲线y(x)在点P处的切线，因此，由于，由xytVy10'得yyxtV'0)1(，又因为弧OP的长度为5|AQ|，即tVdxyx002'51所以dxyyyxx02''151)1(，整理得2'''151)1(yyx，并有y(0)=0,0)0('y，解得245)1(125)1(855654xxy当x=1时，254y即当乙舰行到254,1处被击中，00245VVyt。§5.2微元法建模微元法建模实际上是寻求一些微元之间的关系式。与第一种方法不同之处在于这里不是直接对未知函数及其导数应用规律和定理来求关系式，而是对某些微元来应用规律。以容器漏水问题为例。有高为1米的半球形容器，水从它的底部小孔流出。小孔横截面为1cm2.开始时的容器内盛满了水，求水从小孔流出过程中容器里面水面的高度h（水面与小孔中心距离）随时间t变化的规律。解：由流体力学知识知道，水从孔口流出的流量Q可用下列公式计算：ghSdtdvQ262.0，其中0.62为流量系数，S为孔口横截面积。现S=1cm2.故ghdtdv262.0另一方面，现在［t,t+t］内，水面高度由h降至0)dh(dhh，则dhrdv2其中r是时刻t的水面半径。因为222200)100(100hhhr，所以dhhhdv)200(2，于是dhhhdtgh)200(262.02，由此得)200(262.02423hhgdhdt，满足100|0th.解得)310107(265.4252335hhgt此即容器内水面高度h与时间t之间的函数关系式。P.Smatlab程序clearsymsr;%定义符号变量ry=dsolve('Dy=r*y*(1-y)','x')%求通解y=dsolve('Dy=r*y*(1-y)','y(0)=y0','x')%求特解§5.3模拟近似法建模在社会科学、生物学、医学、经济学等学科的实践中，常常要用模拟近似法来建立微分方程模型。这是因为，这些学科中的一些现象的规律我们还不是很清楚，即使有所了解也并不全面，因此，要用数学模型进行研究只能在不同的假设下去模拟实际的现象。然后再把解得的结果同实际情况作对比。以交通管理问题为例。在交通十字路口，都会设置红绿灯。为了让那些正行驶在交叉路口或离交叉路口太近而无法停下的车辆通过路口，红绿灯转换中间还要亮起一段时间的黄灯。对于一些驶近交叉路口的驾驶员来说，万万不可处于这样的进退两难的境地：要安全停车则离路口太近；要想在红灯亮之前通过路口又觉得太远。那么，黄灯应亮多长时间合理呢？、解：各段时间应该满足以下关系：黄灯状态应持续的时间=驾驶员反应时间+车通过交叉路口时间+通过刹车距离的时间。设v0-----表示法定速度，I-----交叉路口宽度，L-----典型车身长度。则通过路口的时间为0vLI，（车尾通过路口）。下面计算刹车距离。设w----为汽车的重量，u------摩擦系数，则摩擦力=w，汽车在停车过程中，行驶距离x与时间t的关系可由下面微分方程求得wdtxdgw22（F=ma).满足：00'0|,0|vxxtt，于是刹车距离就是直接到速度v=0时汽车驶过的距离，由上式得tvgtx0221。令x’=0，所以刹车时所用时间gvt00，刹车距离gvtx2)(200由上面得黄灯状态时间为tVLIgvTvLItxA00002)(，其中T是驾驶员反应时间，A,v0关系（如图）（即黄灯周期与法定速度的关系）。假设T=1s,L=4.5m,I=9m,另外，我们取具有代表性的u=0.2,，当v0=45，60，80km/h时，黄灯时间如下表示。v0(km/h)A(s)经验法的值（s）455.273606.064807.285经验法的结果一律比我们预测的黄灯状态短些。这使人想起，许多交叉路口红绿灯的设计可能使车辆在绿灯转为红灯时正处于交叉路口。§5.4微分方程模型实例例1.最优捕鱼策略为了保护人类赖以生存的自然环境，可再生资源（如渔业，林业资源）的开发必须适度。一种合理、简化的策略是，在实现可持续收获的前提下，追求最大产量或最佳效益。考虑对某种鱼（鲥鱼）的最优捕捞策略：假设这种鱼分4个年龄组：称1龄鱼，…，4龄鱼。各年龄组每条鱼的平均重量分别为5.07，11.55,17.86,22.99(克)；各年龄组鱼的自然死亡率均为0.8（1/年）;这种鱼为季节性集中产卵繁殖，平均每条4龄鱼的产卵量为1.109×105（个），3龄鱼的产卵量为这个数的一半，2龄鱼和1龄鱼不产卵，产卵和孵化期为每年的最后4个月；卵孵化并成活为1龄鱼，成活率（1龄鱼条数与产卵总量n之比）为1.22×1011/（1.22×1011+n）.渔业管理部门规定，每年只允许在产卵孵化期前的8个月内进行捕捞作业。如果每年投入的捕捞能力（如渔船数、下网次数等）固定不变，这时单位时间捕捞量将与各年龄组鱼群条数成正比。比例系数不妨称捕捞强度系数。通常使用13mm网眼的拉网，这种网只能捕捞3龄鱼和4龄鱼，其两个捕捞强度系数之比为0.42:1。渔业上称这种方式为固定努力量捕捞。（1）建立数学建模型分析如何实现可持续捕捞（即每年开始捕捞时渔场重各年龄组鱼群条数不变），并且在此前提下得到最高的年收获量（捕捞总重量）。（2）某渔业公司承包这种鱼的捕捞业务5年，合同要求5年后鱼群的生产能力不能受到太大破坏。已知承包时各年龄组。鱼群的数量分别为：122，29.7，10.1，3.29（×109条），如果仍用固定努力量的捕捞方式。该公司应该采取怎样的策略才能使总收获量最高。问题分析要求研究的问题是：对某种鱼的最优捕捞策略。1.鱼的情况具体数据如下表：imi(g)r(1/年)ui(个/条)125.0711.550.80.8003417.8622.990.80.8其中，i表示i龄鱼，mi表示龄鱼的质量，r表示龄鱼的自然死亡率，ui表示平均每条i龄鱼的产卵量。如果每年投入的捕捞能力（如渔船数、下网次数等）不变，这时单位时间捕捞量将与i成正比，比例系数之比为ik使用13mm网眼的拉网，这种网只能捕捞3、4龄鱼，其中两个捕捞强度系数之比为k3:k4=0.42:1,k1=k2=0渔业上称这种方式为固定努力量捕捞。2.基本假设假设I:一年中，鱼的产卵是集中在8月底一次性完成，捕捞工作只在8个月进行。假设II:各龄鱼（不包括4龄鱼）只在年末瞬时才长大一岁，鱼卵在年终才孵化完毕，成为1龄鱼。这样在计算产卵量时，3，4龄鱼的条数为t=8/12.3.应解决的问题1）建立数学建模型分析如何实现可持续捕捞（即每年开始捕捞时渔场重各年龄组鱼群条数不变），并且在此前提下得到最高的年收获量（捕捞总重量）。2）某渔业公司承包这种鱼的捕捞业务5年，合同要求5年后鱼群的生产能力不能受到太大破坏。已知承包时各年龄组。鱼群的数量分别为x1,x2,x3,x4,如果仍用固定努力量的捕捞方式。该公司应该采取怎样的策略才能使总收获量最高。记号和约定)(txi：i龄鱼在t时刻的数量（t以年为单位，i=1,2,3,4)；ip：i龄鱼的捕捞量（i=3,4)；M：捕捞总质量：Q：每年的产卵中能孵化成l龄鱼的数量；N：每年的产卵量；模型的建立由于鱼的数量随时间变化，可视为)(txi为连续函数，它的变化与时间t，自然死亡率r，单位时间捕捞量ik，卵的成活率有关。模型1定义单位死亡率8.0,rrxdtdxii单位时间捕捞量0,1:42.0:,2143kkkkxkdtdpiii则捕捞时满足iiixkrdtdx)(对各龄鱼存在以下方程（令4kk，则kk42.03）118.0)(xdttdx，t1,0228.0)(xdttdx，t1,01,128,8.0128,0,42.08.03333txdtdxtxkdtdx1,128,8.0128,0,8.04444txdtdxtxkdtdx由此可解得)0()8.0exp()1(11xx，)0()8.0exp()1(22xx，)0()32)42.08.0(exp()128(33xkx，)0()32)8.0(exp()128(44xkx，)0())28.08.0(exp()1(33xkx，)0())328.0(exp()1(44xkx收获量为128012804433)(,)(42.0dttkxpdttkxp。模型II要实现持续收获，即每年初，各年龄组鱼群数量不变，同时需满足以下等式（M为捕捞总质量，N为卵量，Q为存活量），由此可建立模型：MaxM=4433mpmp11010100..43423121xxxxxxxQxts其中10543109.121109.1xxN,NNQ1010111122.1/22.1利用约束关系，将0,,041xx均用k来表示，从而得出M关于k的一元函数关系：4433pmpmM，kkkxP0428.0/320428.0exp1042.033，kkkxP8.0/328.0exp1044，32exp226.2/32exp226.228.0exp7504.32463.0010106113kkkx，32exp3252.07241.0/22.132exp0598.40272.9/28.0exp010106114kkkx，用计算机搜索，得出近似解，结果为：年最大收获量：gM1011*88685.30最佳捕捞强度系数：gK7600.170*此时1011*1193.10x，1011*1193.10x，1010*3409.20x，107*4501.70x，1011*193.10Q。四.模型结果及实用性讨论当38.31,0k时，鱼场可实现持续捕捞，即满足了持续捕捞条件0M。在此前提下取得了最优的捕捞系数：3龄龟的捕捞系数为7.4592，4龄龟的捕捞系数为17.76，年最大捕捞量为：3.886851110（克）。例2．存贮型模型某厂生产若干种商品，轮换生产时因更换设备要付准备金，产量大于需要时因积压资金要付贮存费。今已知某产品的日需求量为100件，生产准备费5000元，贮存费每日每件1元，试安排该产品的生产计划，即多少天生产一次（生产周期），每次产量多少，使总费用最小，设该厂生产能力非常大，即所需数量可在短时间内产出。要求：不只是回答问题，而且要建立生产周期，产量与需求量，