第九章第二节(t检验法)

1第九章第二节t检验法设总体2,~NX,nxxx,,,21为X的样本.二.2未知时，均值的假设检验1.未知方差2，检验假设0H:0由于2未知，这时U已不是统计量，因此，我们很自然地用2的无偏估计量2s来代替2，选取检验函数nsxT/0为检验0H:0的统计量。由第七章定理四得1~/ntnsxT,所以在0H为真时,1~/0ntnsxT.类似于前面的讨论，采用双边检验，对于给定的检验水平，2查1nt表得121nt，使得21)}1({21ntTP,1)}1(|{|21ntTP,)}1(|{|21ntTP即得)}1(|{|210ntnsxP,)}1(|{|210ntnsx是一个小概率事件;由样本值算出nsxt0,然后与)1(21nt相比较,做出判断:若)1(||21ntt,则拒绝假设0H;若)1(||21ntt,则接受假设0H.2.未知方差2，检验假设0H:0;01:H3(事先算出样本值0x,才提这样的检验假设)选取检验用的统计量1~/ntnsxT,所以在0H为真时,1~/0ntnsxT.类似于前面的讨论，采用单边检验，对于给定的检验水平，查1nt表得11nt，使得,1)}1({1ntTP,)}1({1ntTP即得)}1({10ntnsxP,)}1({10ntnsx是一个小概率事件;由样本值算出nsxt0,然后与)1(1nt相比较,做出判断:4若)1(1ntt,则拒绝假设0H,接受1H;若)1(1ntt,(0x),则接受假设0H.3.未知方差2,检验假设00:H;01:H,(事先算出样本值有0x,才提这样的检验假设)选取检验用的统计量1~/ntnsxT,所以在0H为真时,1~/0ntnsxT.类似于前面的讨论，采用单边检验，对于给定的检验水平，查1nt表得11nt，使得,1)}1({1ntTP,)1(11ntnt,5)}1({)}1({1ntTPntTP,即得)}1({10ntnsxP,)}1({10ntnsx是一个小概率事件;由样本值算出nsxt0,然后与)1(1nt相比较,做出判断:若)1(1ntt,则拒绝假设0H,接受1H;若)1(1ntt,(0x),则接受假设0H.以上三种检验法均采用了t分布，故又名t检验法.通常总体的方差2是未知的，所以用本法对均值进行检验及求均值的置信区间更具有更大的使用价6值.例2在某砖厂生产的一批砖中，随机地抽取6块进行抗断强度试验，测得结果（单位：kg/cm2）如下32.5629.6631.6430.0031.8731.03设砖的抗断强度服从正态分布，问这批砖的平均抗断强度是否为32.50（kg/cm2）？取（＝0.05）。解：（1）假设50.32:0H（2）计算统计量T的值，算出13.1,13.31sx，T＝97.26/13.150.3213.31/50.32nsx（3）当＝0.05时，查t分布表得)1(21nt＝)5(975.0t＝2.57(4)比较T与)1(21nt的大小。现在T)1(21nt，故拒绝假设0H。7读者可能已发现，这里检验用的统计量与均值的区间估计所用的统计量是一致的。事实上，上述检验与区间估计之间有着密切的联系。例如的置信度为1的置信区间是满足不等式)1(/210ntnsx《的值的集合。而假设H0：0的检验实质上是找出的置信区间，如果0落在置信区间内，则接受假设0H；如果落在置信区间外，就拒绝接受0H。有的时候，我们还要检验总体的均值是等于0还是大于0，即要在假设H0：0或H1：0中做出选择。这里的H1称为备选假设（也称备择假设），而把H0称为原假设。（此问题我们在后面的章节中有进一步的讨论与分析）例3：抽取某班级28名学生的语文考试成绩，得样本均值80为，样本标准差(所谓样本标准差是niixxnS1221，8而样本方差niixxns12211)是为8分，若全年级语文成绩平均是85分，试问该班学生语文的平均成绩与全年级的平均成绩有无差异？并求出该班学生语文平均成绩的置信区间（假定该年级语文考试成绩服从正态分布，05.0）解：本例第一个问题为未知方差，检验0H:85，故用t检验法，且为双边检验。248.3147.8858028/,147.8,37.661,64,80,28,85002220nsxtsSnnsSxn对于05.0，查t(27)分布表，得052.2)27(21t，因052.2248.30t，拒绝0H，这表明该班学生的语文平均成绩与全年级平均成绩存在差异，由于84.7621tnsx,16.8321tnsx9故该班学生的语文平均成绩的95%置信区间是(76.84,83.16)