第九章能量法

1.计算图示各杆或桁架的变形能。解：（b）方法1：（1）查表得C截面的转角EIMllllEIlMθc9)93943(6222（2）由功能原理EIlMθMWUc18212方法2（1）列出梁的弯矩方程MxlMxMxlMxM2211)()(（2）求弯曲变形能EIlMEIlMEIlMdxEIxMdxEIxMUlll1816281622)(2)(2223/2223/0112（c）（1）列出梁的弯矩方程AMBEICx2x1M/lM/lAMb)BEIC2l/3l/3θdsdθEIRc)PBAOθPRθMsin)(（2）求弯曲变形能EIRPπdsEIθPRdsEIθMUπl82)sin(2)(322/0222.传动轴的抗弯刚度为EI，抗扭刚度为GIp。皮带拉力T+t=P，D=2d。试计算轴的变形能。设a=l/4。解：（1）将外力向轴线简化（2）扭转变形能CD段发生扭转变形，扭矩为：Pd/2ppGIldPGIlaPdU3232)2()21(2221（3）水平方向弯曲变形能EIlPEIPlPδPUDH964821213232（4）垂直方向弯曲变形能θRPBM(θ)ON(θ)Q(θ)l/2l/2aTtDdPT+tPABCD(T-t)D/2Pd/2EIlPaEIlPaEIPaPδtTUCV3845)3)(3(21)(213233（5）轴的变形能EIlPGIldPUUUUp384932332223213.试求图示各梁截面B的挠度和转角。解：（1）在B处作用虚加力Pf和Mf，并列出弯矩方程ffffMxalPqxxMMxPxM)(21)()(222211（2）上式分别对Pf和Mf求偏导数1)(1)()()()(212211ffffMxMMxMxalPxMxPxM（3）用卡氏定理求挠度和转角alqBCAa)x1qBCAx2PfMfaffalfflflffBaffalfflflffBdxEIMxalPqxdxEIMxPdxMxMEIxMdxMxMEIxMMUθdxxalEIMxalPqxdxxEIMxPdxPxMEIxMdxPxMEIxMPUf0222210122221111022222101122221111)1()(21)1()()()()()()]([)(21)()()()()()(（4）令上两式中的Pf和Mf为零EIqadxEIqxθalEIqadxxalEIqxfaBaB6)1(210)4(24)]([21030222302222挠度和转角的方向与虚加力的方向一致4.图示刚架，已知AC和CD两部分的I=30×10-6m4，E=200GPa。试求截面D的水平位移和转角，若P=10kN，l=1m。2PPll2lABCD解：（1）在D处作用虚加力Mf，并列出弯矩方程3213121112)(2)()(xPMlPxMMlPxMMxPxMfff（2）上式分别对P1和Mf求偏导数1)(1)(1)(2)(2)()(3211312111fffMxMMxMMxMlPxMlPxMxPxM（3）用卡氏定理求挠度和转角P2=2PP1=Px1ABCDx3x2MflflflfflflflffBlflflflllDHdxEIxPMlPdxEIMlPdxEIMxPdxMxMEIxMdxMxMEIxMdxMxMEIxMMUθdxlEIxPMlPdxlEIMlPdxxEIMxPdxPxMEIxMdxPxMEIxMdxPxMEIxMPUδ033210211201333322221111033210211201113213322122111111)1(2)1(2)1()()()()()()()()2(2)2(2)()()()()()()()(（4）令上两式中的Mf为零radEIPldxEIxPlPdxEIlPdxEIxPθmmEIPldxlEIxPlPdxlEIlPdxxEIxPδlllfBlllDH0117.07)1(2)1(2)1()(1.21338)2(2)2(2)()(2033210211201303321021120111挠度和转角的方向与P1和虚加力的方向一致5.图示桁架各杆的材料相，截面面积相等，在载荷P作用下，试求节点B与D间的相对位移。解：（1）在B处作用虚加力Pf，并求出约束反力fDAfAPPNPYPPX2222（2）求各杆的轴力0222222254321NPPNPPNPNPNffff（3）上式分别对Pf求偏导数0122222254321fffffPNPNPNPNPN（4）用卡氏定理求B点沿BD方向的位移ABPCDXAYANDPf12354ABlPlCD012)2()22()22()22(22)22(2251EAlPPEAlPPEAlPEAlPPNEAlNPUδffffifiiifBD（5）令上式中的Pf为零EAPlEAPlEAlPEAlPδBD71.2)222(02)2()22()(00方向为B向D靠近6.图示简易吊车的撑杆AC长为2m，截面的惯性矩I=8.53×106mm4。拉杆BD的A=600mm2。P=2.83kN。如撑杆只考虑弯曲影响，试求C点的垂直位移，设E=200GPa。解：（1）求出约束反力222222PRPYPXDAA（2）求BD杆的轴力和AC杆的弯矩PABCD45o45o1mPABCD45o45oXAYARDx1x2222112)1(22)(22)(2PxxPxMPxxMPN（3）用卡氏定理求C点垂直位移mmEIPEAPEIPEIPEAPdxxEIPxxPdxxEIPxEAPdxxxMEIxMdxxxMEIxMPNEANlPUδllBDCV60.0553.00472.032662)]1(22[2)1(22)22(22212)()()()(102222101112222211111方向向下。7.平面刚架如图所示。刚架各部分截面相同，试求截面A的转角。解：（1）求各杆的弯矩方程)()cos3()()(332211PxxMαxlPxMPxxM3l4lABCDPα3lABCDPx1x3x2（2）在梁上A处单独作用一单位力偶，并列出弯矩方程1)(1)(1)(321xMxMxM（3）用莫尔定理求A截面的转角EIPlEIPlEIPlEIPldxEIPxdxEIαxlPdxEIPxdxEIxMxMdxEIxMxMdxEIxMxMθllllllA2332921529)1)((1)cos3()1)(()()()()()()(2222340325021301333322221111转角的方向与单位力偶方向相同。8.图示折轴杆的横截面为圆形，在力偶矩Mo作用下，试求析轴杆自由端的线位移和角位移。解：（1）求水平杆的扭矩方程和垂直杆的弯矩方程α3lABCD1x1x3x2lhMox1Mox20201)()(MxMMxT（2）在自由端分别单独作用一单位力和单位力偶，并求出相应的扭矩方程和弯矩方程1)(1)()(0)(221222111xMxTxxMxT（3）用莫尔定理求自由端的位移40400020010022222111214202020202221211111643211)()()()(3220)()()()(dπEhMdπGlMEIhMGIlMdxEIMdxGIMdxEIxMxMdxGIxTxTθdπEhMEIhMdxEIxMdxEIxMxMdxGIxTxTδphlpllphllpH自由端的线位移和角位移和方向与单位力和单位力偶方向一致。x11x2x11x29在曲拐的端点C上作用集中力P。设曲拐两段材料相同且均为同一直径d的圆截面杆，试求C点的垂直位移。解：（1）求BC杆的弯矩方程及AB杆的扭矩方程和弯矩方程PaxTPxxMPxxM)()()(22211（2）在C端单独作用一单位力，并求出相应的扭矩方程和弯矩方程axTxxMxxM)()()(22211（3）用莫尔定理求C端的垂直位移4343333202220101122222222111132312833)()()()()()(dπGPadπEPaEIPaGIPaEIPadxEIxPxdxGIaPadxEIxPxdxEIxMxMdxGIxTxTdxEIxMxMδpaapallplV自由端的垂直位移单位力方向一致。图示杆系各杆的材料相同，截面面积相等。试用力法求各杆的内力。PABCaax1x21ABCx1x2Plααb)ABC解：（1）属一次静不定问题，取C为多余约束，约束反力为X1列出用力法求解的基本方程01111PXδΔ（2）求Δ1P由上图知1011NN分别对D点受力分析αNαNαPNαPNcos21cos21sin2sin23232由莫尔定理0]cos)cos21()sin2(cos)cos21(sin20[1311αlααPαlααPEAEAlNNiiiiPΔ（3）求Δδ11PααABCX1DααABCααABC1123312PDDααPDN1N3N2ααD1N2N3N)cos411(]cos)cos21(cos)cos21([13223111αEAlαlααlαlEAEAlNNδiiii（4）求出X101X（5）求杆的内力αPNXNNNαPNXNNNNXNNNPPPsin2sin203133321222111112杆受拉，3杆受压。