第九节二阶常系数非齐次线性微分方程

第九节二阶常系数非齐次线性微分方程教学目的：掌握自由项为xmexPxf)()(和xmmexxQxxPxf]sin)(cos)([)(的二阶常系数非齐次线性微分方程特解的方法教学重点：二阶常系数非齐次线性微分方程求特解的待定系数法教学难点：二阶常系数非齐次线性微分方程求特解的待定系数法教学内容：二阶常系数非齐次线性微分方程的形式为：)(xfqyypy根据二阶线性微分方程解的结构，要求解二阶常系数非齐次线性微分方程，只需先求得对应齐次线性微分方程的通解和该非齐次线性微分方程的一个特解即可。而齐次线性微分方程的通解已在上一目得到解决，因此本节将解决非齐次线性微分方程的特解问题。为此，针对自由项的特点，采用如下待定系数法：根据二阶非齐次线性微分方程解的结构，要求二阶常系数非齐次线性微分方程的通解，只需先求得非齐次方程的特解*y和对应齐次方程的通解Y，则Yy*就是非齐次方程的通解。而用待定系数法求二阶常系数非齐次线性微分方程)(xfqyypy的特解分两种情形讨论：一、()()xmfxePx型这里是常数,Pm(x)是m次多项式.由于指数函数与多项式之积的导数仍是同类型的函数,而现在微分方程右端正好是这种类型的函数.因此,不妨假设方程()ypyqyfx的特解为*()exyQx其中Q(x)是x的多项式,将y*代入方程并消去ex得2(2)()()mQpQpqQPx(1)若不是0ypyqy的特征方程20rprq的根,那么20pq这时()Qx与()mPx应同次,于是可令1011()()mmmmmQxQxaxaxaxa代入2(2)()()mQpQpqQPx,比较等式两端x同次幂的系数，就得到含01,,,maaa的m+1个方程的联立方程组，从而可以定出这些系数,并求得特解*()exmyQx(2)若是特征方程20rprq的单根,那么20pq,而20p.此时，Q应是m次多项式,再注意到此时，(xCeC为常数)为0ypyqy的解,故可令()()mQxxQx(3)若是特征方程20rprq的重根,那么20pq且20p这时()Qx应是m次多项式，再注意到此时1exC和212e(,xCxCC为常数)均为0ypyqy的解.故可设2()()mQxxQx综上所述,有如下结论：如果()e()xmfxPx,则方程()ypyqyfx具有形如*()ekxmyxQx的特解，其中()mQx是与()mPx同次的特定多项式，而k按不是特征方程的根,是特征方程的单根或者是特征方程的重根依次取0,1或2.例12331yyyx求方程的一个特解解本题0,而特征方程为2230,rr0不是特征方程的根，设所求特解为01*,ybxb代入方程:01033231bxbbx比较系数,得00133231bbb所以0111,3bb于是所求特解为1*.3yx例2求方程256xyyyxe的通解解特征方程为2560,rr其根为122,3rr2,对应齐次方程的通解为2312xxYCeCe设非齐次方程特解为201*()xyxbxbe代入方程得01022bxbbx比较系数,得0012120bbb解得011,12bb因此特解为122*(1).xyxxe所求通解为12322122().xxxyCeCexxe二()()cos()sinxlnfxePxxPxx型分析思路：第一步将f(x)转化为()()()ixmfxPxe()()ixmPxe第二步求出如下两个方程的特解()()ixmypyqyPxe()()ixmypyqyPxe第三步利用叠加原理求出原方程的特解第四步分析原方程特解的特点解法：第一步利用欧拉公式将f(x)变形()()()22ixixixixxlneeeefxePxPxi()()()()()()2222ixixlnlnPxPxPxPxeeii令max,,mnl则()()()()()ixixmmfxPxePxe第二步求如下两方程的特解()()ixmypyqyPxe()()ixmypyqyPxe设i是特征方程的k重根(k=0,1),则()()ixmypyqyPxe特解:()1()kixmyxQxe故()111()()()ixmypyqyPxe等式两边取共轭()111()ixmypyqyPxe1y为方程()()ixmypyqyPxe的特解第三步求原方程的特解()cos()sinxlnypyqyePxxPxx利用第二步的结果,根据叠加原理,原方程有特解11*yyy(1)(2)cossinkxmmxeRxRx第四步分析y的特点(1)(2)11cossinkxmmyyyxeRxRx111111*yyyyyyyy所以y本质上为实函数，所以(1)(2),mmRR均为m次实多项式例3求方程cos2yyxx的一个特解解0,2,(),lPxx()0,nPx特征方程210r2ii不是特征方程的根,故设特解为*()cos2()sin2yaxbxcxdx代入方程得(334)cos2(334)sin2cos2axbcxcxdaxxx比较系数,得14,,039adbc于是求得一个特解14*cos2sin2.39yxxx例4第七节例1中若设物体只受弹性恢复力f和铅直干扰力sinFHpt的作用求物体的运动规律解问题归结为求解无阻尼强迫振动方程222dsindxkxhptt当p≠k时,齐次通解12sincossin()XCktCktAkt非齐次特解形式sincosxaptbpt代入可得22,0habkp因此原方程之解为22sin()sinhxAktptkp自由振动强迫振动当干扰力的角频率p≈固有频率k时振幅22hkp将很大当p=k时非齐次特解形式:(sincos)xtaktbkt代入可得:0,2habk方程的解为sin()cos2hxAkttktk自由振动强迫振动随着t的增大,强迫振动的振幅2htk可无限增大,这时产生共振现象.若要避免共振现象,应使p远离固有频率k;若要利用共振现象,应使p与k尽量靠近,或使p=k.对机械来说,共振可能引起破坏作用,如桥梁被破坏,电机机座被破坏等,但对电磁振荡来说,共振可能起有利作用,如收音机的调频放大即是利用共振原理.小结与思考：①自由项)(xf为多项式与指数函数的乘积，即xmexPxf)()(的情形，此时非齐次方程的特解xmkexQxy)(*，其中)(xQm是与已知多项式)(xPm同次的多项式(其系数可将特解代入非齐次方程，比较方程两端同类项的系数，联立求解而得到)，而k按不是特征方程的根、是特征方程的单根和是特征方程的重根分别取0、1和2；②自由项xmmexxQxxPxf]sin)(cos)([)(的情形，此时非齐次方程的特解xsskexxTxxRxy]sin)(cos)([*，其中)(xRs和)(xTs是s次的多项式(其系数可将特解代入非齐次方程，比较方程两端同类项的系数，联立求解而得到)，nms,max，而k按i不是特征方程的根、是特征方程的单根和是特征方程的重根分别取0和1。（1）写出微分方程xexyyy32///)1(127的待定特解的形式。y=cbaecbxaxxx,,,)(32为待定系数。（2）求解xxyysin22sin//。xxxxcxcycos2sin31sincos21（3）求方程33e(5)xyyyyx的通解．解特征方程是323310rrr其根是1231rrr因=-1是特征方程的3重根,故原方程具有如下形式的特解*3e()xyxaxb(a,b为待定常数)将上式代入方程得6245baxx比较系数求得15,246ab从而*31(20)e24xyxx故原方程的通解为231231()e(20)e24xxyCCxCxxx作业：作业见作业本