第九讲三角形及其全等

第九讲三角形及其全等一、课程名称三角形及其全等二、课程说明（1）课程定位初三中等及以上学生（2）课程价值三角形，几何中的基本图形之一，涉及的内容与考点较多，意在帮助学生条理化，系统化此部分内容。（3）课程营销亮点对该知识点进行了详细全面的总结，对考试动向与应试技巧进行了提炼与剖析，使学生在学习中做到有的放矢。（4）适用对象将进入初三的学生（5）使用时的注意事项尽量包含所涉及的基本概念，选择近几年中考考试题，有针对性三、教学目标（1）熟悉三角形的考点，考向（2））学会基本性质、概念的应用以及常规辅助线的作法四、课程类型新课与复习想结合五、课时安排2课时六、教学重点、难点（1）基本概念的理解（2）灵活应用七、教具PPT课件，纸质试题（历年高考真题、模拟题为主）八、教学过程对三角形的考查你知道吗？形成体系了吗？考点一、三角形（3~8分）1、三角形的概念由不在同意直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。组成三角形的线段叫做三角形的边；相邻两边的公共端点叫做三角形的顶点；相邻两边所组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角。2、三角形中的主要线段（1）三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点间的线段叫做三角形的角平分线。（2）在三角形中，连接一个顶点和它对边的中点的线段叫做三角形的中线。（3）从三角形一个顶点向它的对边做垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线（简称三角形的高）。3、三角形的稳定性三角形的形状是固定的，三角形的这个性质叫做三角形的稳定性。三角形的这个性质在生产生活中应用很广，需要稳定的东西一般都制成三角形的形状。4、三角形的特性与表示三角形有下面三个特性：（1）三角形有三条线段（2）三条线段不在同一直线上三角形是封闭图形（3）首尾顺次相接三角形用符号“”表示，顶点是A、B、C的三角形记作“ABC”，读作“三角形ABC”。5、三角形的分类三角形按边的关系分类如下：不等边三角形三角形底和腰不相等的等腰三角形等腰三角形等边三角形三角形按角的关系分类如下：直角三角形（有一个角为直角的三角形）三角形锐角三角形（三个角都是锐角的三角形）斜三角形钝角三角形（有一个角为钝角的三角形）把边和角联系在一起，我们又有一种特殊的三角形：等腰直角三角形。它是两条直角边相等的直角三角形。6、三角形的三边关系定理及推论（1）三角形三边关系定理：三角形的两边之和大于第三边。推论：三角形的两边之差小于第三边。（2）三角形三边关系定理及推论的作用：①判断三条已知线段能否组成三角形②当已知两边时，可确定第三边的范围。③证明线段不等关系。7、三角形的内角和定理及推论三角形的内角和定理：三角形三个内角和等于180°。推论：①直角三角形的两个锐角互余。②三角形的一个外角等于和它不相邻的来两个内角的和。③三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。注：在同一个三角形中：等角对等边；等边对等角；大角对大边；大边对大角。8、三角形的面积三角形的面积=21×底×高考点二、全等三角形（3~8分）1、全等三角形的概念能够完全重合的两个图形叫做全等形。能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。两个三角形全等时，互相重合的顶点叫做对应顶点，互相重合的边叫做对应边，互相重合的角叫做对应角。夹边就是三角形中相邻两角的公共边，夹角就是三角形中有公共端点的两边所成的角。2、全等三角形的表示和性质全等用符号“≌”表示，读作“全等于”。如△ABC≌△DEF，读作“三角形ABC全等于三角形DEF”。注：记两个全等三角形时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上。3、三角形全等的判定三角形全等的判定定理：（1）边角边定理：有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可简写成“边角边”或“SAS”）（2）角边角定理：有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可简写成“角边角”或“ASA”）（3）边边边定理：有三边对应相等的两个三角形全等（可简写成“边边边”或“SSS”）。直角三角形全等的判定：对于特殊的直角三角形，判定它们全等时，还有HL定理（斜边、直角边定理）：有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可简写成“斜边、直角边”或“HL”）4、全等变换只改变图形的位置，二不改变其形状大小的图形变换叫做全等变换。全等变换包括一下三种：（1）平移变换：把图形沿某条直线平行移动的变换叫做平移变换。（2）对称变换：将图形沿某直线翻折180°，这种变换叫做对称变换。（3）旋转变换：将图形绕某点旋转一定的角度到另一个位置，这种变换叫做旋转变换。考点三、等腰三角形（8~10分）1、等腰三角形的性质（1）等腰三角形的性质定理及推论：定理：等腰三角形的两个底角相等（简称：等边对等角）推论1：等腰三角形顶角平分线平分底边并且垂直于底边。即等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高重合。推论2：等边三角形的各个角都相等，并且每个角都等于60°。（2）等腰三角形的其他性质：①等腰直角三角形的两个底角相等且等于45°②等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角（或直角），但顶角可为钝角（或直角）。③等腰三角形的三边关系：设腰长为a，底边长为b，则2ba④等腰三角形的三角关系：设顶角为顶角为∠A，底角为∠B、∠C，则∠A=180°—2∠B，∠B=∠C=2180A2、等腰三角形的判定等腰三角形的判定定理及推论：定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称：等角对等边）。这个判定定理常用于证明同一个三角形中的边相等。推论1：三个角都相等的三角形是等边三角形推论2：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。推论3：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。等腰三角形的性质与判定等腰三角形性质等腰三角形判定中线1、等腰三角形底边上的中线垂直底边，平分顶角；2、等腰三角形两腰上的中线相等，并且它们的交点与底边两端点距离相等。1、两边上中线相等的三角形是等腰三角形；2、如果一个三角形的一边中线垂直这条边（平分这个边的对角），那么这个三角形是等腰三角形角平分线1、等腰三角形顶角平分线垂直平分底边；2、等腰三角形两底角平分线相等，并且它们的交点到底边两端点的距离相等。1、如果三角形的顶角平分线垂直于这个角的对边（平分对边），那么这个三角形是等腰三角形；2、三角形中两个角的平分线相等，那么这个三角形是等腰三角形。高线1、等腰三角形底边上的高平分顶角、平分底边；2、等腰三角形两腰上的高相等，并且它们的交点和底边两端点距离相等。1、如果一个三角形一边上的高平分这条边（平分这条边的对角），那么这个三角形是等腰三角形；2、有两条高相等的三角形是等腰三角形。角等边对等角等角对等边边底的一半腰长周长的一半两边相等的三角形是等腰三角形4、三角形中的中位线连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。（1）三角形共有三条中位线，并且它们又重新构成一个新的三角形。（2）要会区别三角形中线与中位线。三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半。三角形中位线定理的作用：位置关系：可以证明两条直线平行。数量关系：可以证明线段的倍分关系。常用结论：任一个三角形都有三条中位线，由此有：结论1：三条中位线组成一个三角形，其周长为原三角形周长的一半。结论2：三条中位线将原三角形分割成四个全等的三角形。结论3：三条中位线将原三角形划分出三个面积相等的平行四边形。结论4：三角形一条中线和与它相交的中位线互相平分。结论5：三角形中任意两条中位线的夹角与这夹角所对的三角形的顶角相等。如何考？典型题展示、分析、练习一、常规辅助线的做法图中有角平分线，可向两边作垂线。也可将图对折看，对称以后关系现。角平分线平行线，等腰三角形来添。角平分线加垂线，三线合一试试看。线段垂直平分线，常向两端把线连。要证线段倍与半，延长缩短可试验。三角形中两中点，连接则成中位线。三角形中有中线，延长中线等中线。二、精典例题：1、三角形构成条件已知一个三角形中两条边的长分别是a、b，且ba，那么这个三角形的周长L的取值范围是（）A、bLa33B、aLba2)(2C、abLba262D、baLba23分析：涉及构成三角形三边关系问题时，一定要同时考虑第三边大于两边之差且小于两边之和。答案：B变式与思考：在△ABC中，AC＝5，中线AD＝7，则AB边的取值范围是（）A、1＜AB＜29B、4＜AB＜24C、5＜AB＜19D、9＜AB＜19评注：在解三角形的有关中线问题时，如果不能直接求解，则常将中线延长一倍，借助全等三角形知识求解，这也是一种常见的作辅助线的方法。2、利用角相等构造全等（唐山市考题）如图，ABC中，ABAC,D、E分别在AB、AC上，且满足条件BD=CE,∠BCD=∠CBE,若BE、CD相交于O，则∠BOC+∠A=解析：延长CD至F,使得CF=BE,连接BF∵∠BCD=∠CBE,BC=BC,BE=CF∴BCF≌CBE∴BF=CE,∠BEC=∠BFC∵BD=CE∴BF=BD∴∠BFC=∠BDF∵∠BDF=∠ABE+∠BOD,∠BEC=∠ABE+∠A∴∠BOD=∠A∴∠BOC+∠A=∠BOC+∠BOD=180。3、倍长线段（中线）构造全等【6】（历年中考典型题）如图，ABC中,AB=4,AC=7,M是BC的中点，AD平方∠BAC,过M作MF//AD,交AC于F,则FC的长等于解析：延长FM至K，使得FM=MK,连接BK,延长MF与BA的延长线交于点E∵∠BMK=∠CMF,BM=CM,FM=MK∴BMK≌CMF∴FC=BK,∠BKM=∠CFM∵MF//AD,∠BAD=∠CAD∴∠BKM=∠BEM=∠AFE∴BE=BK=AB+AF=FC∴AB+AC=AB+AF+FC=2FC∵AB=4,AC=7FC=5.5(天津市08年中考题)如图，在ABC中，E、F分别在AB、AC上，D是BC的中点，DE⊥DF，试比较BE+CF与EF的大小。DABFOECACEDBFMKBDCAEFMFEHABCP解析：延长FD至M,使得DM=DF,连接BM、EM.易证DCF≌DBM,故DM=DF,BM=CF,又DE⊥DF,故ME=EF,在BEM中，BE+BMEM.即BE+CFEF4、补形法（邯郸市中考题）如图，已知ABC中，∠BAC=90。，AB=AC，BE平分∠B，CE⊥BD。求证：BD=2CE解析：延长BA、CE交于点M。∵BE⊥CE，∠CBE=MBE,BE为公共边，∴CBE≌MBE∴ME=CE∵BE⊥CE,AB⊥AC∴∠MCA=∠MBE∵AB=AC∴ABD≌ACMBE=CM=2CE点评;本题将已知图形补成一个完整的三角形，使得问题迅速解决。综合题：(中考)如图，在等腰△ABC中，CH是底边上的高线，点P是线段CH上不与端点重合的任意一点，连接AP交BC于点E，连接BP交AC于点F.(1)证明：CBFCAE；(2)证明：BFAE；(3)以线段BFAE,和AB为边构成一个新的三角形ABG（点E与点F重合于点G），记△ABC和△ABG的面积分别为ABCS和ABGS，如果存在点P，能使得ABGABCSS,求∠C的取值范围.MADECB综合练习：一：选择题（6分×6）1、一张等腰三角形纸片，底边长l5cm，底边上的高长22．5cm．现沿底边依次从下往上裁剪宽度均为3cm的矩形纸条，如图所示．已知剪得的纸条中有一张是正方形，则这张正方形纸条是()A．第4张B．第5张C.第6张D．第7张2、将一副三角板按图中方式叠放，则角α等于（）A．30°B．45°C．60°D．75°3、如图，为估计池塘岸边AB、的距离，小方在池塘的一侧选取一点O，测得15OA米，OB=10米，AB、间的距离不可能是（）A．20米B．15米C．10米D．5米4、如图2所示，A、B、C分别表示三个村庄，AB=1000米，BC=600米，AC=800米，在社会主义新农村建设中，为了丰富群众生活，拟建一个文化活动中心，要求这三个村庄到活动中心的距离相等，则活动中心P的位置应在（）A．