第九讲分解质因数

第九讲分解质因数质数：一个大于1的数除了1和它背身之外，没有别的因数，这个数就做质数，也叫做素数。合数：一个数除了1和它本身之外，还有别的因数，这个数叫做合数。质因数：如果某个质数是某个数的因数，那么这个质数就是这个数的质因数。分解质因数：把一个数用质数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数。通常用短除法分解质因数。任何一个合数分解质因数的结果是唯一的。分解质因数的标准表示形式：N=11ya×22ya×33ya×......×nyna，其中1a、2a、3a、4a、......na，都是合数N的质因数，且1a2a3a4a......na。求因数个数的公式：P=)1()1()1()1(321nyyyy。例一：求135因数的个数。分析：首先对l35分解质因数：31353453155所以l35=3×3×3×5。其次，把l35的质因数作各种乘积的组合：(1)一个质因数构成的因数有：3、5，共2个；(2)两个质因数构成的因数有：3×3、3×5，共2个；(3)三个质因数构成的因数有：3×3×3、3×3×5，共2个；(4)四个质因数构成的因数有：3×3×3×5，只有1个；(5)单位1。合计共有因数：2+2+2+1+1=8(个)也可以：l35=1×135135=3×45135=5×27135=9×15或可由135=33×5，套用求因数的个数公式：P=(3+1)×(1+1)=8(个)因此：135的因数共有8个，分别是：l，3，5，9，15，27，45，135。练习一1．写出852的所有因数。2．求294000有几个因数?例二：李强是一个中学生，今年参加一次数学竞赛，满分l00分，他说：“我的名次、分数和我的年龄乘起来是3738，成绩还不错。”李强得了多少分?获得第几名?今年多大了？分析：把3738分解质因数，根据他是一名中学生确定其年龄大约是十几岁，然后确定其成绩和名次。解：3738=2×3×7×89=3×(2×7)×89答：李强得了89分，获得第三名，今年l4岁。练习二1．今年小阳参加了中学数学竞赛，取得了较好的成绩，小红问小阳的竞赛成绩及获得的名次，小阳说：“我的名次和我的岁数及我的分数的乘积是2910。”请问：小阳的成绩和名次各是多少?2．六年级学生丁当参加数学竞赛，他所获得的名次和成绩若与自己的年龄相乘，积正好是2328。问：丁当几岁?名次和成绩又是多少?例三：将14、30、33、35、39、75．143、169这八个数分成两组，使每组四个数的乘积相等。分析：把八个数分成两组，要使两组中的四个数的乘积相等，就是要把积分解质因数，两个积所含有的质因数及质因数的个数完全相同，这样就保证两个积相等。为此我们可以把八个数分别分解质因数，再按上述原则对这八个数进行搭配，即可满足题目要求。14=2×730=2×3×533=3×1135=5×739=3×1375=3×52143=11×13169=132这八个数的所有质因数中有2个2、4个3、2个7、2个11、4个5、4个13。所以在分成两组时，每组数都要含有l个2、2个3,1个7、1个11、2个5、2个13。这样经过搭配可以找到两种分法。第一种分法：l4、33、75、169和30、35、39、143。14×33×75×169=2×7×3×11×3×5×5×13×13=2×32×52×7×11×13230×35×39×143=2×3×5×5×7×3×13×13×11=2×32×52×7×11×132第二种分法：30、33、35、169和39、14、75、143。练习三1．把7、14、20、21、28、30分成两组，每组三个数相乘，使两组数的乘积相等。2．有l0个数：21、22、34、39、44、45、65、76、133和153。把它们编成两组，每组五个数，要求这两组五个数的乘积相等。例四：三个质数的和是80，这三个数的积最大可以是多少?分析：三个质数相加的和是偶数，必定有一个质数是2。80-2=78，剩下两个质数的和是78，要使它们的积最大，应使这两个质数的差尽可能的小，只能是41和37。因此这三个质数分别是2，37和41。答：最大积是：2×37×41=3034。练习四1．如果A+B=70，A×B=1161，A比B大，那么A-B等于多少?2．把1，2，3，4，5，6，7，8，9九张卡片分给甲、乙、丙三人，每人各3张。甲说：“我的三个数的积是48。乙说：“我的三个数的和是16。丙说：“我的三个数的积是63。’’问：甲、乙、丙各拿了哪几张卡片?例五：有四个数相乘，225×1965×292×()，要想使四个数的乘积末尾有5个0，括号中的数最少是多少?分析：我们先对几个整十数进行分解质因数。10=2×520=2×2×530=2×3×5100=2×2×5×5将一个整十数分解质因数后，至少有质因数2和5各一个，也就是说一个数末尾有l个0，这个数中一定能分解出1个2和1个5，一个数的末尾有2个0，这个数一定能分解出2个2和2个5。一个数的末尾有几个0，就能将这个数分解出同样的几个2和几个5。相反两个数相乘，可以先分解这两个数，看这两个数中共有多少对2和5，积的末尾就有多少个0。例如125×64，125=53，64=26，这两个数共有三对2和5，它们的乘积的末尾一定有3个O，所以125×64=8000。下面我们对225、1965、292进行分解。225=3×3×5×51965=3×5×131292=22×73这三个数分解质因数中只有2个2和3个5，要想使乘积末尾有5个连续的0，还需要被补充2个5和3个2。5×5×2×2×2=200，即括号中最小的数是200。练习五1．要使4个数的积l35×1925×486×()的结果最后5位数字全是0，()内的数最小应是多少?积是多少?2．有三个学生，他们的年龄一个比一个大3岁，他们三个人年龄数的乘积是l620，这三个学生年龄的和是多少岁?基础篇1、求2310的约数中，除它本身以外最大的约数是多少?2、长方形的面积是375平方米，已知它的宽比长少l0米，长和宽的和是多少米?3、今年祖孙两人的年龄都是合数，明年他们岁数的乘积是1610，祖孙两人今年各是多少岁?4、王老师带领一班同学去植树，学生恰好分成4组，如果王老师和学生每人植树一样多，那么他们一共植了539棵。这个班有多少个学生?每人植树多少棵?5、小青去看电影，他买的票的排数与座位号数的积是391，而且排数比座位号数大6，小青买的电影票是几排几座?提高篇1、3月12日是植树节，李老师带领同学排成两路人数相等的纵队去植树，已知李老师和同学们每人植树的棵数相等且不为l，一共植了111棵树，求有多少个同学?2、爷孙两人今年的年龄的乘积是693，4年前他们的年龄都是质数。爷孙两人今年的年龄各是多少岁?3、小英参加小学数学竞赛，她说：“我的成绩和我的岁数以及我的名次乘起来是3916。满分是l00分。”你能否知道小英的年龄、考试成绩及名次?4、有l68颗糖，平均分成若干份，每份不得少于10颗，也不能多于50颗，共有多少种分法？5、用216元钱去买一种拖鞋，正好将钱用完，如果每双拖鞋便宜1元，则可多买3双，钱也正好用完。求一共买了多少双拖鞋?6、将750元奖金平均分给若干个获奖者，如果每人所得的钱数化成角为单位的数就正好是得钱人数的l2倍。求获奖人数和每人分得的钱数。