第九讲数学思想与基本方法回顾

回归复习九：数学思想与基本方法☆考点梳理1．重要数学思想：⑴函数方程思想：一个问题常常涉及多个变量，这些变量相互关联，相互制约，为了解决问题，我们便把它们之间的这种制约关系用函数的形式反映出来，运用函数的知识来处理；为确定某些未知量，常需建立量与量之间的等量关系，通过联立方程来求解．象这种利用函数与方程来解决问题的思想即函数方程思想，它在数学问题的解决中有着极为广泛的应用．⑵数形结合思想：数学研究的对象是数量关系和空间形式，“数”与“形”在一定的条件下相互转化．在一维空间，实数与数轴上的点建立了一一对应关系；在二维空间，实数对与坐标平面上的点建立了一一对应关系，进而使函数解析式与函数图象，方程与曲线建立起一一对应的关系；在三维空间，空间向量的引入又为用代数方法研究空间线面关系提供了可能．这种用代数方法研究图形性质，借助图形性质研究数量关系的思想方法即数形结合思想．⑶分类讨论思想：分类是处理问题的一种基本逻辑方法，分类讨论思想，就是将数学问题划分为不同的情形，分别进行研究和求解的一种数学思想方法．在解题时，我们常常会遇到“一言难尽”的情况，问题中一些不确定的因素，使得我们难以用一个“统一”的方法去解决．这时我们把其划分为若干个局部问题，在每一个局部问题中，原先的不确定性不再影响问题的解决，每一个局部问题解决了，整个问题也就迎刃而解．因此，分类讨论思想应用的一个基本策略就是：“化整为零，各个击破”．⑷等价转化思想：即在研究和解决问题时，采取某种手段将问题通过变换使之转化，进而使问题得到解决的一种策略．数学问题的设计通常围绕最基本的概念、定理、知识和方法来进行，都是为考查“三基”服务的，无论问题设计得多么综合，总能经过适当的“转化”，把问题归结到最基本的知识．因此，树立转化思想，培养化归意识非常重要，它通常体现在：“未知”化“已知”、“一般”化“特殊”、“复杂”化“简单”、“陌生”化“熟悉”、“空间”化“平面”，数形转化、实际问题“数学化”等等．2．基本数学方法：比较法，分析法，换元法，三角代换，判别式法，反证法，特殊化与一般化，坐标法，轨迹法，构造法，累加与累乘，补形与分割等等．☆基础演练1．已知复数z满足32212izi，则z=__________.2．不等式228abbaba,bR恒成立，则实数的取值范围是_________.3．已知O是⊿ABC的外心，AB=2，AC=3，21xy，若0AOxAByACxy，则cosBAC_____．（若x+3y=1，则答案是多少？）4．已知等腰三角形腰上的中线长为3，则其面积的最大值是__________．5．一张三角形纸片内有99个点，连同原三角形的顶点共102个点，这些点无任意三点共线，若以这些点为三角形的顶点，把这张三角形纸片剪成小三角形，这样的三角形共有_________个．6．设椭圆222210xyabab恒过定点12A,，则中心到准线距离的最小值是____.7．过双曲线22221xyab的右焦点F作一条渐近线的垂线分别交于A、B两点，O为坐标原点，若OA、AB、OB成等差数列，且BF,FA同向，则离心率e_________．8．已知1240111A,,B,,Pa,,Na,，若四边形PABN的周长最小，则APN的外接圆的圆心坐标是____________．例2．已知1F、2F分别是椭圆()222210xyabab+=的左右焦点，右准线l，离心率e．⑴若P为椭圆上的一点，且12FPF，则12PFFS_____________．⑵若椭圆上存在一点P，使得12PFPF，则e的范围是_____________．⑶若椭圆上存在一点P，使得12PFePF，则e的范围是_____________．⑷若在l上存在一点P，使得线段1PF的中垂线经过2F，则e的范围是___________．⑸若P为椭圆上的一点，线段2PF与圆222xyb相切于中点Q，则e________．⑹过F且斜率为k的直线交椭圆于A、B两点，且3AFFB,若32e，则k___．5．在等差数列na中，已知17120,aSS，给出下列判断：①仅9S最大；②仅10S最大；③100a；④811SS；⑤911SS．其中正确判断的序号有_______．☆典型例题1．函数与方程思想例1.⑴若方程222430xaxa有唯一解，则实数a_________.⑵定义：若函数fx为定义域D上的单调函数，且存在区间m,nDmn，使得当xm,n时，fx的取值范围恰为m,n，则称函数fx是D上的“正函数”．已知函数1xfxaa为R上的“正函数”，则实数a的取值范围是______．2．数形结合思想例2.⑴若存在0x，使得不等式22xxt成立，则实数t的取值范围是．⑵若函数32xfxkxx有三个不同零点，则实数k_______________．⑶若12axsinxax对任意02x,都成立，则21aa的最小值是___________．3．分类讨论思想例3．已知向量332222xxxxacos,sin,bcos,sin，且02x,．⑴用x表示ab及ab；⑵若fxabab的最小值是32，求常数的值．4．等价转化思想例4．如图，已知1111ABCDABCD是棱长为a的正方体，E、F分别为棱AA1与CC1的中点，求四棱锥11AEBFD的体积．例5．已知函数ln1fxxx，，0x．⑴求fx的单调区间和极值；⑵设a≥１，函数22325gxxaxa，若对于任意001x，，总存在101x，，使得01xgxf成立，求a的取值范围；⑶对任意，0x，求证：111ln1xxxx．思考下列问题：设有两个函数fx，gx及两个区间A和B，则⑴1xA，总2xB，使得12fxgx成立________________________．⑵1xA，总2xB，使得12fxgx成立________________________．⑶1xA，总2xB，使得12fxgx成立________________________．⑷1xA，且2xB，12fxgx恒成立________________________．⑸xA，fxgx恒成立_______________________________________．☆方法提炼1．要进一步深化对函数概念的理解．函数式yfx既给出了变量、xy之间的函数关系，同时也建立了关于，xy的一个二元方程，①从函数观点看，方程fxa有解的实数a的取值范围即函数fx的值域；②从方程观点看，函数fx的值域即方程fxy有解的y的取值范围，以上两点是应用函数方程思想解决问题的重要方面．2．数列结合思想方法的应用要突出从“数”到“形”的转化，一是要善于根据数量关系的特征联想其几何意义．如22xayb→两点,,,AxyBab的距ADCBFED1C1B1A1离→OAOB；ybxa→两点,Axy、,Bab连线的斜率；fxgx→函数fx的图象在gx图象的上方；22,|1Axyxy→单位圆周上的点的集合，等等；二是要根据题意正确作出相应图形，使图形能充分反映出它们相应的数量关系．3．分类讨论思想应用的关键在于首先应明确分类讨论的原因，即认识到为何要分类，只有明确了分类讨论的原因，才能准确、恰当地进行分类与讨论．例如，数学概念的分类定义，公式、定理、性质的应用范围，线面位置关系的不确定性，等等．因此说，“分类讨论”来源于对“三基”的正确应用，要防止对概念、公式、定理、性质等不分场合，不论条件的随便应用，进一步增强分类讨论的意识．4．应用等价转化的思想方法解题时，应注意以下三个方面的问题：①增强灵活性：对各种可能的设想要学会预见未来，善于观察，明确目标，提高评价能力，突出有效性．②关注等价性：为了解决问题的需要，有时需要进行“非等价转化”．这时应通过相应的“补救”措施，将多余的去掉，把漏掉的找回，应对转化过程中的“非等价性”保持足够的警觉．③重视整体转化：既要学会对问题局部进行转化，又要学会将问题“换个说法”，转化为与之等价的另一个问题来处理，还要重视从整体上实现代数、几何、三角等数学分支之间的转化．数学思想方法是数学的精髓，是数学知识在更高层次上的抽象和概括．蕴涵在数学知识发生、发展和应用的过程中，迁移并作用于相关学科和社会生活．因此，加强对数学思想和方法的考查是高考命题的一个重要原则．希望通过本讲的学习，我们能在今后的解题实践中，多一些思考与研究，力争站在更高层次上来思考和研究问题，指导解题活动，进而提高综合分析和解决问题的能力．