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第27课相似三角形性质及其应用知识点相似三角形性质，直角三角形中成比例线段大纲要求1.掌握相似三角形对应高线的比，对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比，相似三角形面积的比等于相似比的平方等性质，能应用他们进行简单的证明和计算。2.掌握直角三角形中成比例的线段：斜边上的高线是两条直角边在斜边上的射影的比例中项；每一条直角边是则条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项，会用他们解决线段成比例的简单问题。考查重点与常见题型1．相似三角形性质的应用能力，常以选择题或填空形式出现，如：若两个相似三角形的对应角的平分线之比是1∶2，则这两个三角形的对应高线之比是---------，对应中线之比是------------，周长之比是---------，面积之比是-------------，若两个相似三角形的面积之比是1∶2，则这两个三角形的对应的角平分线之比是----------，对应边上的高线之比是--------对应边上的中线之比是----------，周长之比是--------------，2．考查直角三角形的性质,常以选择题或填空题形式出现，如：如图，在RtΔABC中，∠ACB=90°,CD⊥AB与D，AC=6，BC=8，则AB=--------，CD=---------，AD=----------，BD=-----------。，3．综合考查三角形中有关论证或计算能力，常以中档解答题形式出现。预习练习1．已知两个相似三角形的周长分别为8和6，则他们面积的比是（）2．有一张比例尺为14000的地图上，一块多边形地区的周长是60cm，面积是250cm2，则这个地区的实际周长--------m，面积是----------m23．有一个三角形的边长为3，4，5，另一个和它相似的三角形的最小边长为7，则另一个三角形的周长为----------，面积是-------------4．两个相似三角形的对应角平分线的长分别为10cm和20cm，若它们的周长的差是60cm，则较大的三角形的周长是----------，若它们的面积之和为260cm2，则较小的三角形的面积为----------cm25．如图，矩形ABCD中，AE⊥BD于E，若BE=4，DE=9,则矩形的面积是-----------6.已知直角三角形的两直角边之比为12，则这两直角边在斜边上的射影之比-------------考点训练1．两个三角形周长之比为95，则面积比为（）（A）9∶5（B）81∶25（C）3∶5（D）不能确定2．RtΔABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，DE⊥AC于E，那么和ΔABC相似但不全等的三角形共有（）(A)1个(B)2个(C)3个(D)4个3．在RtΔABC中，∠C=90°，CD⊥AB于D，下列等式中错误的是（）（A）AD•BD=CD2（B）AC•BD=CB•AD（C）AC2=AD•AB（D）AB2=AC2+BC24．在平行四边形ABCD中，E为AB中点，EF交AC于G，交AD于F，AFFD=13则CGGA的比值是（）（A）2（B）3（C）4（D）55．在RtΔABC中，AD是斜边上的高，BC=3AC则ΔABD与ΔACD的面积的比值是（）（A）2（B）3（C）4（D）86．在RtΔABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，则BD∶AD等于（）（A）a∶b（B）a2∶b2（C）a∶b（D）不能确定7．若梯形上底为4CM，下底为6CM，面积为5CM2，则两腰延长线与上底围成的三角形的面积是----------8.已知直角三角形的斜边的长为13CM，两条直角边的和为17CM，则斜边上的高的长度为-------------9.．RtΔABC中，CD是斜边上的高线，，AB=29。AD=25，则DC=---------10．平行四边形ABCD中，E为BA延长线上的一点，CE交AD于F点，若AE∶AB=1∶3则SABCF∶SCDF=---------11．如图，在ΔABC中，D为AC上一点，E为延长线上一点，且BE=AD，ED和AB交于F求证：EF∶FD=AC∶BC12.如图，在ΔABC中，∠ABC＝90°，CD⊥AB于D，DE⊥AC于E，求证：CEAE=BC2AC2解题指导1．如图，在RtΔABC中，∠ADB=90°,CD⊥AB于C，AC=20CM,BC=9CM,求AB及BD的长2．如图，已知ΔABC中，AD为BC边中线，E为AD上一点，并且CE=CD,∠EAC=∠B,求证：ΔAEC∽ΔBDA,DC2=AD•AE3．如图，已知P为ΔABC的BC边上的一点，PQ∥AC交AB于Q，PR∥AB交AC于R，求证：ΔAQR面积为ΔBPQ面积和ΔCPQ面积的比例中项。4．如图，已知PΔABC中，AD，BF分别为BC，AC边上的高，过D作AB的垂线交AB于E，交BF于G，交AC延长线于H，求证：DE2=EG•EHABCDABCDEBACPQRABCDEFGHABCDEABDEC5．如图，已知正方形ABCD，E是AB的中点，F是AD上的一点，EG⊥CF且AF=14AD，于，（1）求证：CE平分∠BCF,(2)14AB2=CG•FG独立训练1.用一个2倍的放大镜照一个ΔABC，下列命题中正确的是（）（A）ΔABC放大后是原来的2倍（B）ΔABC放大后周长是原来的2倍；（C）ΔABC放大后面积是原来的2倍（D）以上的命题都不对2．边长为a的等边三角形被平行于一边的直线分成等积的两部分，则截得的梯形一底的长为（）（A）12a（B）2a（C）22a（D）23a3如图，PLMN为矩形，AD⊥BC于D，PL∶LM=5∶9，且BC=36CM，AD=12CM，则矩形PLMN的周长为（）4在RtΔABC中，CD是斜边上的高线，AC∶BC=3∶1则SΔABC∶SΔACD为（）（A）4∶3（B）9∶1（C）10∶1（D）10∶95如图，RtΔBAC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于D，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，下列中正确的个数是（）AB2=BD•BC，DE2=AE•BD，AC2=DC•BC，AB3AC3=BDCF,AD2=BD•DC，BD2=BE•AB（A）6（B）5（C）4（D）36如图，若DC∥EF∥AB，且DE∶EA=m∶n,BC=a,则CF=---------,FB=--------------6．CD是RtΔABC斜边上的高线，7．BC=10，BD=6，则AD=---------AC=---------8如图，M为AB中点，AB∥CD，延长NC交BD延长线于E，延长MD交AC延长线于F，求证：EF∥AB9如图，在正方形ABCD中，M为AB上一点，N为BC上一点，并且BM=BN，BP⊥MC于P求证：DP⊥NP10如图，在ΔABC中，BC=a，P是BC上一点，PE∥AC，PF∥AB，分别交AB，AC于E，F，求使平行四边形AEPF面积最大时点P的位置。ABCEFPDAMNBCPBACDEFMABCDEMNPLABCDEFABCDEFABCDEFG