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第二十三讲平面几何的定值与最值问题【趣题引路】传说从前有一个虔诚的信徒,他是集市上的一个小贩.每天他都要从家所在的点A出发,到集市点B,但是,到集市之前他必须先拐弯到圆形古堡朝拜阿波罗神像.古堡是座圣城,阿波罗像供奉在古堡的圆心点O,而周围上的点都是供信徒朝拜的顶礼地点如图1.这个信徒想,我怎样选择朝拜点,才能使从家到朝拜点,然后再到集市的路程最短呢?(1)(2)解析在圆周上选一点P,过P作⊙O的切线MN,使得∠APK=∠BPK,即α=β.那么朝圣者沿A→P→B的路线去走,距离最短.证明如图2,在圆周上除P点外再任选一点P′.连结BP′与切线MN交于R,AR+BRAP+BP.∵RP′+AP′AR.∴AP′+BP′=AP′+RP′+RBAR+BPAP+BP.不过,用尺规作图法求点P的位置至今没有解决.“古堡朝圣问题”属于数学上“最短路线问题”,解决它的方法是采用“等角原理”.【知识延伸】平面几何中的定值问题,是指变动的图形中某些几何元素的几何量保持不变,或几何元素间的某些几何性质或位置关系不变的一类问题.所谓几何定值问题就是要求出这个定值.在解决这类问题的过程中,可以直接通过计算来求出定值;也可以先考虑某一个特殊情形下的该相关值,然后证明当相应几何元素变化时,此值保持不变.例1如果△ABC的外接圆半径R一定,求证:abcS是定值.(S表示△ABC的面积)=12absinC和正弦定理sincC=2R,∴c=2RsinC.∴abcS=2sincC=4sinsinRCC=4R是定值.点评通过正弦定理和三角形面积公式经过变形,计算出结果是4R,即为定值.平面几何中不仅有等量关系,还有不等关系,例如在变动一些几何元素时,某一相关的值保持不大于(或不小于)某个定值,如果这个定值在某个情形下可以取得,这就是一个几何极值.确定几何极值的问题称为几何极值问题,解决这些问题总要证明相关的几何不等式,并指明不等式成为等式的情形(或者至少证明不等式可以成为等式).例2如图,已知⊙O的半径R=33,A为⊙O上一点,过A作一半径为r=3的⊙O′,问OO′何时最长?最长值是多少?OO′何时最短?最短值是多少?解析当O′落在OA的连线段上(即⊙A与线段OA的交点B时)OO′最短,且最短长度为33-3;当O′落在OA的延长线上(即⊙O与OA的延长线交点C时)OO′最长,且最长的长度为33+3.点评⊙O′是一个动圆,满足条件的⊙O′有无数个,但由于⊙O′过A点,所以⊙O′的圆心O′在以A为圆心半径为3的⊙A上.【好题妙解】佳题新题品味例1如图,已知P为定角O的角平分线上的定点,过O、P两点任作一圆与角的两边分别交于A、B两点.求证:OA+OB是定值.证明连结AP、BP,由于它们为有相同圆周角的弦,AP=PB,不妨记为r.另记x1=OA,x2=OB.对△POA应用余弦定理,得x12+OP2-2OP·cos∠AOP·x1=r2.故x1为方程x2-2OP·cos12∠AOB·x+(OP2-r2)=0的根,同理x2亦为其根.因此x1,x2为此方程的两根,由韦达定理,得x1+x2=2OP(12∠AOB)是定值.=x2时,x1+x2为此定值,事实上此时OP一定是直径.例2如图,在矩形ABCD中,AB=8,BC=9,⊙O与外切,且⊙O与AB、BC相切.⊙O′与AD、CD相切,设⊙O的半径为x,⊙O与⊙O′的面积的和为S,求S的最大值和最小值.解析设⊙O′的半径为y,过O与O′分别作CD与BC的垂线OH,O′F,垂足分别为H,F,OH、O′F交于点E,则有:O′E=8-(x+y),OE=9-(x+y)由勾股定理可得:(x+y)2=[8-(x+y)]2+[9-(x+y)]2.整理,得(x+y-29)(x+y-5)=0,由题意知1≤x≤4,∴x+y=5,y=-x+5,∴S=x+y=(2x-10x+25),=2[(x-52)2+254],故当x=52时,Smin=252;当x=4时,S=17.点评先由已知求出⊙O′的半径也⊙O的半径x之间的关系,然后再根据面积公式写出S与x之间的关系,这个关系就是一个函数关系,再通过函数的性质得解.中考真题欣赏例(南京市中考题)如图,⊙O1与⊙O2内切于点P,又⊙O1切⊙O2的直径BE于点C,连结PC并延长交⊙O2于点A,设⊙O1,⊙O2的半径分别为r、R,且R≥2r.求证:PC·AC是定值.解析若放大⊙O1,使⊙O1切⊙O2的直径于点O2(如图),显然此时有PC·AC=PO2·AO2=2r·R(定值).再证明如图的情况:连结CO1,PO2,则PO2必过点O1,且O1C⊥BE,得CO2=22121OOOC=22RRr,从而BC=R+22RRr,EC=R-22RRr.所以PC·AC=EC·BC=2Rr,故PC·AC是定值.点评解答几何定值问题时,可先在符合题目条件的前提下用运动的观点,从特殊位置入手,找出相应定值,然后可借助特殊位置为桥梁,完成一般情况的证明.(第十五届江苏省初中数学竞赛题)如图,正方形ABCD的边长为1,点P为边BC上任意一点(可与点B或点C重合),分别过点B、C、D作射线AP的垂线,垂足分别为点B′、C′、D′.求BB′+CC′+DD′的最大值和最小值.解析∵S△DPC=S△APC=12AP·CC′,得S四边形BCDA=S△ABP+S△ADP+S△DPC=12AP(BB′+DD′+CC′),于是BB′+CC′+DD′=2AP.又1≤AP≤2,故2≤BB′+CC′+DD′≤2,∴BB′+CC′+DD′的最小值为2,最大值为2.点评本题涉及垂线可考虑用面积法来求.例2(2000年“新世纪杯”广西竞赛题)已知△ABC内接于⊙O,D是BC或其延长线上一点,AE是△ABC外接圆的一条弦,若∠BAE=∠CAD.求证:AD.AE为定值.证明如图(1),当点D是BC上任意一点且∠BAE=∠CAD时,连结BE,则∠E=∠C,∠BAE=∠CAD,∴△ABE∽△ADC.∴ABAEADAC,即AD·AE=AB·AC为定值.如图(2),当点D在BC的延长线上时,∠BAE=∠CAD.此时,∠ACD=∠AEB.∴△AEB∽△ACD,∴ABAEADAC·AE=AB·AC为定值.综上所述,当点D在BC边上或其延长线上时,只要∠CAD=∠BAE,总有AD·AE为定值.点评先探求定值,当AD⊥BC,AE为圆的直径时,满足∠BAE=∠CAD这一条件,不难发现△ACD∽△AEB,所以AD·AE=AB·AC,因为已知AB,AC均为定值.再就一般情况分点D在BC上,点D在BC的延长线上两种情况分别证明.全能训练A级1.已知MN是⊙O的切线,AB是⊙O的直径.求证:点A、B与MN的距离的和为定值.2.已知:⊙O与⊙O1外切于C,P是⊙O上任一点,PT与⊙O1相切于点T.求证:PC:PT是定值.⊙O1与⊙O2相交于P、Q两点,过P作任一直线交⊙O1于点E,交⊙O2于点F.求证:∠EQF为定值.4.以O为圆心,1为半径的圆内有一定点A,过A引互相垂直的弦PQ,RS.求PQ+RS的最大值和最小值.5.如图,已知△ABC的周长为2p,在AB、AC上分别取点M和N,使MN∥BC,且MN与△ABC的内切圆相切.求:MN的最值.CABMN级(答案)1.定长为圆的直径;2.利用特殊位置探求定值(当PC构成直径时)定值为RRr(R,r是两圆的半径).3.因∠E,∠F为定角(大小固定)易得∠EQF为定值.4.如图,设OA=a(定值),过O作OB⊥PQ,OC⊥RS,B、C为垂足,设OB=x,OC=y,0≤x≤a,(0≤y≤a),且x2+y2=a2.所以PQ=2PB=221x,RS=2(21x+21y).所以PQ+RS=2(21x-21y).∴(PQ+RS)2=4(2-a2+22221axy)而x2y2=x2(a2-x2)=-(x2-22a)2+44a.当x2=22a时,(x2y2)最大值=44a.此时PQ+RS=224(22)aa;当x2=0或x2=a2时,(x2y2)最小值=0,此时(PQ+RS)最小值=2（1+21a）.5.设BC=a,BC边上的高为h,内切圆半径为r.∵△AMN∽△ABC,2MNhrBCh,MN=a(1-2rh),由S△ABC=rp,∴r=2ABCSahpp,∴MN=a(1-ap)=p·ap(1-ap)≤p2(1)2aapp=4p,当且仅当ap=1-ap,即a=2p时,取等号,∴MN的最大值为4p.RSQCBAP0已知正方形ABCD的边长为3,点E在BC上,且BE=2,点P在BD上,则PE+PC的最小值为()A.23B.13C.14D.15EDCABPSQABP0M(1)(2)(3)2.用四条线段a=14,b=13,c=9,d=7.作为四条边构成一个梯形,则在所构成的梯形中,中位线长的最大值是__________.3.如图2,⊙O的半径为2,A、B两点在⊙O上,切线AQ和BQ相交于Q,P是AB延长线上任一点,QS⊥OP于S,则OP·OS=_______.4.已知,如图3,线段AB上有任一点M,分别以AM,BM为边长作正方形AMFE、MBCD.正方形AMFE、MBCD的外接圆⊙O、⊙O′交于M、N两点,则直线MN的情况是()A.定直线B.经过定点C.一定不过定点D.以上都有可能5.如图,已知⊙O的半径为R,以⊙O上一点A为圆心,以r为半径作⊙A,又PQ与⊙A相切,切点为D,且交⊙O于P、Q.求证:AP·AQ为定值.如图,⊙O1与⊙O2相交于A、B两点,经过点B的一直线和两圆分别相交于点C和D,设此两圆的半径为R1,R2.求证:AC:AD=R1:R2.B级(答案)1.B.∵A、C关于BD对称,连结AE交BD于P,此时PE+PC=AE最短.2.11.5(1)当上底为7,下底分别为14,13,9时,中位线长分别为10.5,10,8;(2)当上底为9和13时,均构不成梯形.3.连结OQ交AB于M,则OQ⊥AB.连结OA,则OA⊥AQ.∵∠QMP=∠QSP=90°,∴S,P,Q,M四点共圆,故OS·OP=OM·OQ.又∵OM·OQ=OA2=2,∴OS·OP=2.4.B.由图可知直线MN可看作⊙O和⊙O′的割线,当M在点A时,直线MN变为⊙O′的切线,当M在点B时,直线MN变为⊙O的切线.这两种情况是以AB为直角边的等腰直角三角形的两直角边所在的直线,交点是第三个顶点M.M是AB的中点时,MN是AB的垂直平分线,也过第三个顶点,所以选B.5.如图,作⊙O的直径AB,连结AD.∵PQ切⊙A于D,∴AD⊥PQ,∴AP·AQ=AD·AB.而AD=r,AB=2R,∴AP·AQ=2Rr为定值.6.作AN⊥CD,垂足为点N,连结AB,有AC.AB=AN.2R1,①AB·AD=AN·2R2.②①÷②,得12RACADR,∴AC:AD=R1:R2.