第二十二章《四边形》复习

第二十二章《四边形》复习（1课时）·内容分析“四边形”是初中数学的重要内容之一.特殊四边形的性质也是解决有关实际问题的重要工具，它与三角形有关内容联系非常密切，是最基本的平面图形之一.“四边形”是中考的重点内容，“四边形”的知识在整个初中数学中有着举足轻重的地位.本章比较系统地研究四边形、特殊四边形的基本性质和基本识别方法；探索多边形的内角和、外角和，研究平面图形的密铺；在原有的基础上进一步体验和学习说理和简单推理，是学生进一步学习图形与空间其它内容的基础和必需过程.课前准备：·学习目标1.掌握平行四边形、矩形、菱形、正方形、梯形的概念和性质，了解它们之间的关系；了解四边形的不稳定性.2.掌握平行四边形的有关性质和四边形是平行四边形的条件.3.掌握矩形、菱形、正方形的有关性质和四边形是矩形、菱形、正方形的条件，并会用平行四边形、矩形、菱形、正方形的知识解决有关问题.4.了解等腰梯形的有关性质和四边形是等腰梯形的条件.5.通过探索平面图形的镶嵌，知道任意一个三角形、四边形或正六边形可以镶嵌平面，并能进行简单的镶嵌设计.6.了解多边形的内角和与外角和公式，了解正多边形的概念.·学习重难点1.明确四边形、平行四边形、矩形、菱形、正方形、梯形、直角梯形、等腰梯形的区别与联系；2.为了研究问题的方便，常常将四边形的问题转化为三角形去研究，将梯形转化为三角形与平行四边形去研究；·情绪准备回顾本章的知识，已经熟练掌握的知识点有：_________________________；你还存在的问题有：_____________________________________；本章的易错点有：_______________________________；课中导学·知识结构四边形两组对边分别平行平行四边形有一个角是直角有一组邻边相等矩形菱形有一个角是直角有一组邻边相等正方形一组对边平行而另一组对边不平行梯形有一个角是直角两腰相等等腰梯形直角梯形多边形多边形的内角和、外角和平面图形的镶嵌·知识点梳理1.四边形和几种特殊四边形之间的关系:2.几种特殊四边形的性质：边角对角线对称性平行四边形对边平行且相等对角相等两条对角线互相平分中心对称矩形对边平行且相等四个角都是直角两条对角线互相平分且相等轴对称、中心对称菱形对边平行、四条边都相等对角相等两条对角线互相垂直平分且每条对角线平分一组对角轴对称、中心对称正方形对边平行，四条边都相等四个角都是直角两条对角线互相垂直平分且相等，每条对角线平分一组对角轴对称、中心对称等腰梯形两底平行，两腰相等同一底上的两个角相等两条对角线相等轴对称3.几种特殊四边形常用的识别方法平行四边形（1）两组对边分别平行；（2）两组对边分别相等；（3）一组对边平行且相等；（4）两条对角线互相平分；矩形（1）有三个角是直角；（2）是平行四边形，并且有一个角是直角；（3）是平行四边形，并且两条对角线相等菱形（1）四条边都相等；（2）是平行四边形，并且有一组邻边相等；（3）是平行四边形，并且两条对角线互相垂直.正方形（1）是矩形，并且有一组邻边相等，或对角线垂直；（2）是菱形，并且有一个角是直角，或对角线相等.等腰梯形（1）是梯形，并且两腰相等；（2）是梯形，并且同一底上的两个角相等；（3）是梯形，并且两条对角线相等.4.三角形中位线性质：三角形中位线平行于第三边，且等于第三边的一半．梯形等腰梯形直角梯形平行四边形矩形菱形正方形四边形5.多边形内角和、外角和定理：（1）n边形内角和等于(n-2)·180°；（2）任意多边形外角和等于360°．·典型例析例1、如图1所示，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC⊥BD，AD=3cm，BC=7cm，则梯形ABCD的面积是【】A.20cm2B.15cm2C.10cm2D.25cm2分析：本题是四边形计算的一个综合题，一般是通过添加辅助线来解决的，通过等积变换成一个三角形来求解.（即：平移一条对角线，使两条对角线构成新的三角形）解：过点A作AE⊥BC于点E，则有AEAEBCADS521梯形.过点A作AF∥BD交CB的延长线于点F，则四边形AFBD是平行四边形，∴AF=BD,AD=FB.∵AC⊥BD,∴AC⊥AF，∵四边形ABCD是等腰梯形，∴AF=AC,AE=21AC=5，∴225555cmAES梯形.故选D.例2、将矩形纸片ABCD按如图2所示的方式折叠，（沿AF、CE折叠使得点D，点B与点O重合），得到菱形AECF，若AB=3,则BC的长为_____.分析：此题是矩形中常见的折叠问题，就是把一个图形按照给定的条件折叠，然后进行作图计算证明，此类问题不仅考察动手能力，同时更强调学生对前后条件一致性分析问题和推理能力.解：由折叠可知OC=BC，又∵四边形AECF是菱形，∴OA=OC，∴可设BC=x，则AC=2x，在Rt△ABC中，由勾股定理得222ACBCAB,∴22223xx解得：3x.所以答案为：3.例3、已知，如图3所示，□ABCD中，点H，G分别为AB,CD的中点，BG⊥AC于点E，DH⊥AC于点F，求证：四边形EGFH是平行四边形.分析：此类题是常见的证明题，考察对平行四边形识别方法的掌握，另外，解决此题还要结合三角形中位线定理来解决，可用“对角线互相平分”、“两组对边分别相等”、“一组对边平行且相等”等方法来判定四边形EGFH是平行四边形.解：在△ABE中，∵BG⊥AC于点E，H为AB的中点，∴EH=21AB=AH.∴∠FAH=∠FEH，同理FG=21CD=CG,∠GFE=∠GCE.∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD，AB∥CD，∴EH=FG，∴∠FAH=∠GCE，∴∠GFE=∠FEH，∴EH∥GF.∴四边形EGFH是平行四边形.·练习巩固：1、下面各条件中，能够判定四边形是平行四边形的是【】A.一组对角相等B.两条对角线互相平分C.一组对边相等D.两条对角线互相垂直2、正方形具有而矩形不一定具有的性质是【】A.四个角都是直角B.对角线相等C.四条边相等D.对角线互相平分ADCBEF图1ABCFDEO图2ADCBHGFE图33、下列四边形既是轴对称图形，又是中心对称图形的是【】A.平行四边形B.直角梯形C.矩形D.等腰梯形4、能够铺满地面的正多边形组合是【】A.正三角形与正方形B.正五边形与正十边形C.正六边形与正四边形D.正八边形与正五边形5、边数为2010的多边形的外角和为______.6、一个多边形的每个内角都是140°，这是一个正________边形.答案：1、B2、C3、C4、A5、360°6、九·反思感悟1.回顾总结本章的主要知识点：（1）n边形的内角和为______________，外角和为_________.（2）用同一种正多边形可以镶嵌的正多边形是正三角形，__________和__________.不同的多边形只有满足在同一顶点各个内角和是_________才能镶嵌.（3）两组对边分别__________的四边形是平行四边形；两组对边分别__________的四边形是平行四边形；一组对边_________且_________的四边形是平行四边形；对角线___________的四边形是平行四边形.（4）平行四边形的对角_______，对边________，邻角________，对角线___________，是________对称图形.（5）矩形的四个角都是______；矩形的对角线_____________；矩形既是__________图形，也是中心对称图形.（6）有一个角是直角的___________叫做矩形；对角线______的平行四边形是矩形；有三个角是直角的________是矩形.（7）菱形的四条边都相等；菱形的两条对角线__________________，并且每一条对角线平分一组对角；菱形是轴对称图形，菱形也是____________图形.（8）一组邻边相等的____________是菱形；对角线互相垂直平分的四边形是菱形；________是四边形是菱形.（9）四条边都相等且四个角都是直角的四边形是正方形.____________的菱形是正方形；_________的矩形是正方形；对角线______________的四边形是正方形.（10）直角三角形________________等于斜边的一半；设菱形对角线的长分别为a、b，则S菱形=_______.（11）等腰梯形的对角线_________，在同一底上的两个角__________.2.通过对本章知识的学习你有哪些收获？课后巩固达标测评（我巩固我提高）1、直角三角形的两条直角边长分别是5和12，则斜边上的中线长为_________.2、若一个多边形从一个顶点可以引三条对角线，则此多边形是________.3、图4，在梯形ABCD中，AB=CD，∠B=60°，AD=3cm，BC=8cm，则AB=_______4、如图5所示，点E为正方形ABCD的边AD上的一点，连结BE，过点A作AH⊥BE于点H，延长AH交CD于点F，试说明DE=CF.5、如图6所示，在□ABCD中，点E，F在对角线AC上，且AE=CF.请以F为一个端点，和图中已标明字母的某一点连成一条新的线段，猜想它和图中已有的某一条线段相等，并说明理由.（只需要说明一组线段相等即可）ABCD图4HFCDABE图5（1）连结_____________.（2）猜想：________=__________（3）请说明理由：6、顺次连结四边形ABCD四边中点E，F，G，H则得到新的四边形EFGH.请回答下列问题（不要求说明理由）（1）当四边形ABCD是任意四边形时，四边形EFGH是_______四边形.（2）当四边形ABCD是矩形时，四边形EFGH是____________.（3）当四边形ABCD是菱形时，四边形EFGH是____________.（4）当四边形ABCD是正方形形时，四边形EFGH是__________.（5）当四边形ABCD是等腰梯形形时，四边形EFGH是___________.答案：1、6.5cm2、六边形3、54、解：∵AH⊥BE，∴∠AHB=90°，则∠HAB+∠ABH=90°，又∵∠HAE+∠BAH=90°，∴∠ABH=∠HAE，在△ABE与△DAF中，∠ABH=∠HAE，AB=DA,∠BAE=∠ADF=90°,△ABE≌△DAF,∴AE=DF,∴DE=CF.5、解：（1）BF（2）BF,DE（3）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD=BC,AD∥BC，∴∠DAE=∠BCF，并且AE=CF，∴△BCF≌△DAE，∴BF=DE.6、（1）平行四边形；（2）菱形；（3）矩形；（4）正方形；（5）菱形.BCDAFE图6