第二十章曲线积分

第二十章曲线积分§1第一型曲线积分1.计算下列第一型曲线积分：（1）()Lxyds+ò，其中L是以O（0，0），A（1，0），B（0，1）为顶点的三角形（2）1222()Lxyds+ò，其中L是以原点为中心，R为半径的右半圆周；（3）Lxydsò，其中L为椭圆22221xyab+=在第一象限中的部分;（4）||Lydsò，其中L为单位圆周221xy+=；（5）222()Lxyzds++ò，其中L为螺旋线cosxat=，sinyat=，(02)zbttp=＃的一段；（6）,Lxyzdsò其中L是曲线3221,2,(01)32xtytztt===＃的一段;（7）222Lyzds+ò,其中L是2222xyzaxy++==与相交的圆周．解：（1）()Lxyds+ò()()()OAABBOxydsxydsxyds=+++++蝌?=111000212.xdxydy++=+蝌?(2)右半圆参数方程为cos()sin22xRyRqppqqì=ïï-＃íï=ïî则122222222222()(sin)(cos)LxydsRRRdRRppppqqqp--+=-+==蝌?（3）椭圆22221xyab+=在第一象限中的部分的参数方程为：cos:0sin2xaLybqpqqì=ïï＃íï=ïî且sincosxaybqq¢=-¢=则2220sincos(sin)(cos)Lxydsabdpqqqqq=-+蝌22222201()sinsin2ababbdpqq=-+ò2222322022[()sin]3()ababbabpq禳镲镲=-+睚镲-镲铪22().3()abaabbab++=+（4）单位圆的参数方程为cos:02,sinxLyqqpqì=ïï＃íï=ïî且sinxq¢=-cosyq¢=则有：222220||sin(sin)cossin(sin)cosLydsddpppqqqqqqqq=-+--+蝌?200sinsin4.ddpppqqqq=-=蝌（5）由于L的参数方程为cossinxatyatzbtì=ïïïï=íïï=ïïî且sincosxatyatzb¢=-¢=¢=2222222220()()Lxyzdsabtabdtp++=++蝌222232222222(34).033babattababppp轾犏=++=++犏臌（6）132202121232Lxyzdstttttdt=鬃++蝌1202162(1).3143ttdtq=+=ò（7）2222xyzaxy++==与相交的圆周方程为2222yza+=其参数方程为sin2sin2cosaxtaytzatìïï=ïïïïïï=íïïïï=ïïïïî则cos2cos2sinaxtaytzat¢=¢=¢=-则2222222222002sincos2.Lyzdsaatatdtadtappp+=+==蝌?2.求曲线21,,(01,0)2xayatzatta===＃的质量，设其线密度为2.zar=解：曲线质量122202LzMdstaatdta==+蝌12201(1)(221).23aatdt=++=-ò3.求摆线(sin)(0)(1cos)xatttyatpì=-ïï＃íï=-ïî的重心，设其质量分布是均匀的．解：22222222(1cos)sin(12coscos)sindsatatdtattatdt=-+=-++22222cos2sin2tataadt=-=质量02sin42tMadtaprr==ò其中r为线密度.设重心坐标为(),,xy则：01(sin)2sin2txattadtMpr=-ò004sinsinsin22223atattdttdtapp=-?蝌01(cos),2sin2tyattdtMpr=-ò0034sin(sinsin)224223atatdttdtapp=--=蝌所以重心坐标为44(,).33aa§2第二型曲线积分1.计算第二型曲线积分：（１）Lxdyydx-ò，其中L为本节例２中的三种情况．解：〈1〉沿抛物线22yx=，从O到B的一段，则12202(42)3Lxdyydxxxdx-=-=蝌；〈2〉沿直线OB：2yx=，则10(22)0Lxdyydxxxdx-=-=蝌；〈3〉沿封闭曲线OABO：则LOAABBOxdyydx-=++蝌蝌；:0,01;:1,02;:2,OAyxABxyOByx=＃=＃=(2)Laydxdy-+ò从1x=到0x=的一段。故1200010(22)2xdyydxdxdyxxdx-=++-=蝌蝌。（２）(2)Laydxdy-+ò，其中L为摆线(sin),(1cos)(02)xattyattp=-=-＃沿t增加方向的一段；解：202220222002(2)[(2cos)(1cos)sin](sinsin)1cos2cos|2Laydxdyaaatatatdtatatdttadtatappppp-+=-+?+=+-=-=òòòò（３）22Lxdxydyxy-++ò，其中L为圆周22xy+，依逆时针方向；解：由圆的参数方程{()cos,sin,02xatyattp==＃则222222020sincossincossin20Lxdxydyattattdtxyatdtpp-++=+==蝌ò（４）sinLydxxdy+ò，其中L为sin(0)yxxp=＃与x轴所围的闭曲线，依顺时针方向；解：0000sin(sinsincos)(0sin0)sinsin(sin)2Lydxxdyxxxdxxdxxdxxdxpppp+=+++?=+=ò蝌蝌（５）,Lxdxydyzdz++ò其中L：从（１，１，１）到（２，３，４）的直线段．解：直线L的参数方程：1,1,13,(01)xtytztt=+=+=+＃，则：1010[(1)2(12)3(13)](614)13Lxdxydyzdztttdttdt++=+++++=+=òòò2.设质点受力作用，力的反方向指向原点，大小与质点离原点的距离成正比．若质点由)0,(a沿椭圆移动到),0(b，求力所作的功。解：椭圆的参数方程{cos,sin,(0)2xaybqqqq==＃，222222,(,)(0)xyFkxyxyxykxkyk骣÷--ç÷ç=+÷ç÷ç÷ç++桫=--则222022()[cos(sin)sincos]()2LLWPdxQdykxdxydykatatbttdtkbap=+=-+=-?+?=-蝌ò（K为比例系数）。3．设一质点受力作用，力的方向指向原点，大小与质点到xy平面的距离成反比。若质点沿直线,,(0)xatybtzctc===?从),,(cbaM到)2,2,2(cbaN，求力作的功。解：kFz=，因为力的方向指向原点，估其方向余弦为cos,cos,cos,xyzxrrabg---===其中222rxyz=++，力的三个分力为,,kykykzPQRzrzrzr=-??-?2222222122221222()1ln2Lkxkykwdxdydzrzrzrkkabcdtabctkabcdtctkabcc=-++++=-++?=-++?=-++òòò