第二单元参数方程单元测试(人教B版选修4-4)

本章测评(时间：120分钟满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1．参数方程x＝1ty＝1tt2－1(t为参数)所表示的曲线是()答案：D解析：将参数方程进行消参，则有t＝1x，把t＝1x，代入y＝1tt2－1中，得当x0时，x2＋y2＝1，此时y≥0；当x0时，x2＋y2＝1，此时y≤0.对照选项，可知D正确．2．直线x＝－2－2ty＝3＋2t(t为参数)上与点P(－2,3)的距离等于2的点的坐标是()A．(－4,5)B．(－3,4)C．(－3,4)或(－1,2)D．(－4,5)或(0,1)答案：C解析：可以把直线的参数方程转化成标准式，或者直接根据直线参数方程的非标准式中参数的几何意义可得－22＋22·|t|＝2，可得t＝±22，将t代入原方程，得x＝－3，y＝4或x＝－1，y＝2，所以所求点的坐标为(－3,4)或(－1,2)．3．在方程x＝sinθy＝cos2θ(θ为参数)所表示的曲线上的一点的坐标为()A．(2，－7)B.13，23C.12，12D．(1,0)答案：C解析：把参数方程化为普通方程时注意范围的等价性，普通方程是y＝1－2x2(－1≤x≤1)，再根据选择项逐个代入进行检验即可．4．若圆的方程为x＝－1＋2cosθy＝3＋2sinθ(θ为参数)，直线的方程为x＝2t－1y＝6t－1(t为参数)，则直线与圆的位置关系是()A．相交过圆心B．相交但不过圆心C．相切D．相离答案：B5．下列参数方程(t为参数)与普通方程x2－y＝0表示同一曲线的方程是()A.x＝|t|y＝tB.x＝costy＝cos2tC.x＝tanty＝1＋cos2t1－cos2tD.x＝tanty＝1－cos2t1＋cos2t答案：D解析：注意参数范围，可利用排除法．普通方程x2－y＝0中的x∈R，y≥0.A中x＝|t|≥0，B中x＝cost∈[－1,1]，故排除A和B.而C中y＝2cos2t2sin2t＝cot2t＝1tan2t＝1x2，即x2y＝1，故排除C.6．直线3x－4y－9＝0与圆x＝2cosθy＝2sinθ(θ为参数)的位置关系是()A．相切B．相离C．直线过圆心D．相交但直线不过圆心答案：D解析：把圆的参数方程化为普通方程，得x2＋y2＝4，得到半径为2，圆心为(0,0)，再利用点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离，即可判断直线和圆的位置关系．7．参数方程x＝t＋1ty＝－2(t为参数)所表示的曲线是()A．一条射线B．两条射线C．一条直线D．两条直线答案：B解析：根据参数中y是常数可知，方程表示的是平行于x轴的直线，再利用不等式知识求出x的范围可得x≤－2或x≥2，可知方程表示的图形是两条射线．8．双曲线x＝－2＋tanθy＝1＋2cosθ(θ为参数)的渐近线方程为()A．y－1＝±12(x＋2)B．y＝±12xC．y－1＝±2(x＋2)D．y＋1＝±2(x－2)答案：C解析：根据三角函数的性质把参数方程化为普通方程，得y－124－(x＋2)2＝1，可知这是中心在(－2,1)的双曲线，利用平移知识，结合双曲线的渐近线的概念即可．9．设a0，那么直线xcosθ＋ysinθ＝a与圆x＝acosφy＝asinφ(φ是参数)的位置关系是()A．相交B．相切C．相离D．视a的大小而定答案：B解析：根据已知圆的圆心在原点，半径是a，则圆心(0,0)到直线的距离为d＝|0＋0－r|cos2θ＋sin2θ＝r，恰好等于圆的半径，所以，直线和圆相切．10．半径为3的圆的摆线上某点的纵坐标为0，那么其横坐标可能是()A．πB．2πC．12πD．14π答案：C解析：根据条件可知圆的摆线的参数方程为x＝3φ－3sinφy＝3－3cosφ(φ为参数)，把y＝0代入，得cosφ＝1，所以φ＝2kπ(k∈Z)．而x＝3φ－3sinφ＝6kπ(k∈Z)，根据选项可知选C.11．已知圆的渐开线x＝rcosφ＋φsinφy＝rsinφ－φcosφ(φ为参数)上有一点的坐标为(3,0)，则渐开线对应的基圆的面积为()A．πB．3πC．4πD．9π答案：D解析：把已知点(3,0)代入参数方程得3＝rcosφ＋φsinφ，0＝rsinφ－φcosφ.①②①×cosφ＋②×sinφ得r＝3，所以基圆的面积为9π.12．若圆的方程为x＝－1＋2cosθy＝3＋2sinθ(θ为参数)，直线的方程为x＝2t－1y＝6t－1(t为参数)，则直线与圆的位置关系是()A．相交过圆心B．相交但不过圆心C．相切D．相离答案：B解析：圆的标准方程为(x＋1)2＋(y－3)2＝4，直线的方程为3x－y＋2＝0，圆心坐标为(－1,3)，易验证圆心不在直线3x－y＋2＝0上．而圆心到直线的距离d＝|－1×3－3＋2|32＋－12＝4102，且3×(－1)－3＋2＝－4≠0.∴直线与圆相交．二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分)13．已知参数方程x＝at＋λcosθy＝bt＋λsinθ(a，b，λ均不为零，0≤θ2π)，当(1)t是参数时，(2)λ是参数时，(3)θ是参数时，分别对应的曲线为________，________，________.答案：直线直线圆解析：在一个方程中，不同的量作为参数会得到不同的含义．把t作为参数，消去t可得bx－ay－bλcosθ＋aλsinθ＝0，表示直线；把λ看做参数，消去λ可得y－bt＝tanθ(x－at)，表示直线．同理，把θ看做参数，消去θ可得(x－at)2＋(y－bt)2＝λ2，表示圆．14．已知直线l：x－y＋4＝0与圆C：x＝1＋2cosθ，y＝1＋2sinθ，则C上各点到l的距离的最小值为________．答案：22－2解析：圆方程为(x－1)2＋(y－1)2＝4，∴d＝|1－1＋4|12＋－12＝22，∴距离最小值为22－2.15．在圆的摆线上有点(π，0)，那么在满足条件的摆线的参数方程中，使圆的半径最大的摆线上，参数φ＝π4对应点的坐标为________．答案：π－228k，2－24k解析：首先根据摆线的参数方程x＝rφ－sinφy＝r1－cosφ(φ为参数)，把点(π，0)代入可得π＝rφ－sinφ，0＝r1－cosφ⇒cosφ＝1，则sinφ＝0，φ＝2kπ(k∈Z)，所以，r＝π2kπ＝12k(k∈N*)．∴x＝12kπ4－22＝π－228k，y＝12k1－22＝2－24k.16．在极坐标系(ρ，θ)(0≤θ2π)中，曲线ρ＝2sinθ与ρcosθ＝－1的交点的极坐标为________．答案：(2，3π4)解析：由ρ＝2sinθ，得ρ2＝2ρsinθ，其普通方程为x2＋y2＝2y，ρcosθ＝－1的普通方程为x＝－1，联立x2＋y2＝2y，x＝－1，解得x＝－1，y＝1，点(－1,1)的极坐标为(2，3π4)．三、解答题(本大题共6小题，共74分)17．(12分)已知x，y满足(x－1)2＋(y＋2)2＝4，求S＝3x－y的最值．解：由(x－1)2＋(y＋2)2＝4可知曲线表示以(1，－2)为圆心，半径等于2的圆．令x＝1＋2cosθ，y＝－2＋2sinθ，则S＝3x－y＝3(1＋2cosθ)－(－2＋2sinθ)＝5＋6cosθ－2sinθ＝5＋210sin(θ＋φ)(其中tanφ＝－3)，所以，当sin(θ＋φ)＝1时，S有最大值5＋210；当sin(θ＋φ)＝－1时，S有最小值为5－210.所以S的最大值Smax＝5＋210；S的最小值Smin＝5－210.18．(12分)如图所示，连结原点O和抛物线y＝2x2上的动点M，延长OM到点P，使|OM|＝|MP|，求P点的轨迹．解：因为抛物线标准方程为x2＝12y，所以它的参数方程为x＝12ty＝12t2(t为参数)，得Mt2t22.设P(x，y)，则M是OP的中点，所以12t＝0＋x212t2＝0＋y2即x＝ty＝t2(t为参数)，消去参数t，得y＝x2.所以，点P的轨迹方程为y＝x2，它是以y轴为对称轴，焦点为0，14的抛物线．19．(12分)A为椭圆x225＋y29＝1上任意一点，B为圆(x－1)2＋y2＝1上任意一点，求|AB|的最大值和最小值．解：化椭圆普通方程为参数方程x＝5cosθy＝3sinθ(θ为参数)，圆心坐标为C(1,0)，再根据平面内两点之间的距离公式可得|AC|＝5cosθ－12＋9sin2θ＝16cos2θ－10cosθ＋10＝16cosθ－5162＋13516，所以，当cosθ＝516时，|AC|取最小值为3154；当cosθ＝－1时，|AC|取最大值为6.所以，当cosθ＝516时，|AB|取最小值为3154－1；当cosθ＝－1时，|AB|取最大值为6＋1＝7.20．(12分)设直线l的参数方程为x＝3＋tcosαy＝4＋tsinα(t为参数，α为倾斜角)，圆C的参数方程为x＝1＋2cosθy＝－1＋2sinθ(θ为参数)．(1)若直线l经过圆C的圆心，求直线l的斜率．(2)若直线l与圆C交于两个不同的点，求直线l的斜率的取值范围．解：(1)由已知得直线l经过的定点是P(3,4)，而圆C的圆心是C(1，－1)，所以，当直线l经过圆C的圆心时，直线l的斜率为k＝52.(2)由圆C的参数方程x＝1＋2cosθ，y＝－1＋2sinθ得圆C的圆心是C(1，－1)，半径为2，由直线l的参数方程为x＝3＋tcosαy＝4＋tsinα(t为参数，α为倾斜角)，得直线l的普通方程为y－4＝k(x－3)，即kx－y＋4－3k＝0，当直线l与圆C交于两个不同的点时，圆心到直线的距离小于圆的半径，即|5－2k|k2＋12，由此解得k2120.直线l的斜率的取值范围为(2120，＋∞)．21．(12分)已知曲线C1：x＝cosθy＝sinθ，(θ为参数)，曲线C2：x＝22t－2，y＝22t(t为参数)．(1)指出C1，C2各是什么曲线，并说明C1与C2公共点的个数；(2)若把C1，C2上各点的纵坐标都压缩为原来的一半，分别得到曲线C′1，C′2.写出C′1，C′2的参数方程．C′1与C′2公共点的个数和C1与C2公共点的个数是否相同？说明你的理由．解：(1)C1是圆，C2是直线．C1的普通方程为x2＋y2＝1，圆心C1(0,0)，半径r＝1.C2的普通方程为x－y＋2＝0.因为圆心C1到直线x－y＋2＝0的距离为1等于圆C1的半径．所以C2与C1只有一个公共点．(2)压缩后的参数方程分别为C′1：x＝cosθy＝12sinθ(θ为参数)，C′2：x＝22t－2y＝24t(t为参数)，化为普通方程为C′1：x2＋4y2＝1，C′2：y＝12x＋22，联立消元得2x2＋22x＋1＝0，其判别式Δ＝(22)2－4×2×1＝0，所以压缩后的直线C′2与椭圆C′1仍然只有一个公共点，和C1与C2公共点的个数相同．22．(14分)已知P为半圆C：x＝cosθ，y＝sinθ(θ为参数，0≤θ≤π)上的点，点A的坐标为(1,0)，O为坐标原点，点M在射线OP上，线段OM与C的弧AP的长度均为π3.(1)以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求点M的极坐标；(2)求直线AM的参数方程．解：(1)由已知，M点的极角为π3，且M点的极径等于π3，故点M的极坐标为(π3，π3)．(2)M点的直角坐标为(π6，3π6)，A(1,0)，故直线AM的参数方程为x＝1＋π6－1t，y＝3π6t(t为参数)．