第二章04随机变量函数的分布密度

第四节随机变量函数的分布密度已知连续型随机变量X的密度函数)(xfX随机变量Y=g(X)，求随机变量Y的密度函数。4.1分布函数法连续随机变量X的函数Y=g(X)的分布密度函数(1)使用如下公式计算Y的分布函数:YF))(()(yXgPyFY})(|{)(yxgxXdxxf(2)对YF求导，得到Y的密度函数：)()(ydydFyfYY例4.1设X服从[0,1]上的均匀分布，令,XY求Y的密度函数.2、X的密度函数：3、X的分布函数：分析：1均匀分布的密度函数与分布函数解：))(()(yXgPyFY)(yXP)(2yXP2y求导得：)()(ydydFyfYY10,2)(2yydyyd当0y时,;0)(yFY当1y时,1)(yFY故：其他,010,2)(yyyfY例4.2某人驾车从甲地到乙地，两地相距180公里，速度值服从[30,60](单位:公里/小时)区间内的均匀分布。求这段旅程所费时间的密度函数。解：设X是速度,Y=g(X)是这段旅程所花费的时间，则XY180Y的分布函数：)180()(yXPyFY)180(XyP)180(1yFX60/180,03018060180,30/)30180(130/180,1yyyy若若若X的密度函数其他若,06030,301)(xxfX分布函数为：60,16030,303030,0)(xxxxxFX若若若6,163,623,0)(yyyyyFY若若若即：对上式求导，得Y的密度函数为：6,063,63,0)(2yyyyyfY若若若本题计算步骤：X的密度函数—X的分布函数—Y的分布函数—Y的密度函数例4.3已知X密度函数xxfX),(的密度函数(教材P64)求随机变量解)()(yYPyFY)(2yXP当y0时，)(yXyP)(21)(21)(yfyyfyyfXXY2XY)()(yFyFXX应用复合函数求导法：4.2线性函数用X的密度函数表示线性函数aX+b的密度函数：xyXfaXfbaXf第一步，计算aX的密度函数。aX的值域比X的值域大a倍。所以，aX的密度函数是将X的密度函数在x轴方向拉长a倍。但为了使aX的密度函数与x轴围成的面积为1，必须将X的密度函数下拉到原来的1/a.随机变量aX+b与aX一样,只是将图形平移了b个单位。最后，得到随机变量Y=aX+b的密度函数为：)(||1)(abyfayfXY随机变量X的线性函数的分布密度函数假设X是连续变量，密度函数为,Xf0,aRba且定义：baXY则)(||1)(abyfayfXY证明：(只证a0的情形))()(yYPyFY)(ybaXP)(abyXP)(abyFX用复合函数求导法得：)(1)()(abyfaydydFyfXYY解:其它02021)(xxfX例4.4设X服从[0,2]上的均匀分布,密度函数求Y=2X+1的密度函数.(P63）Y的密度函数为其它022102121y其它05141y)(||1)(abyfayfXY例4.5(指数随机变量的线性函数)随机变量X服从参数为λ的指数分布，密度函数为：0,0,00,)(xxexfxX定义Y=aX+b,则其他,00,||)(||1)(abyeaabyfayfabyXY注：b=0,a0,Y仍是指数分布，但一般情况Y不是指数分布。4.3单调函数设),(~xfXXy=g(x)是x的单调可导函数,其反函数为x=h(y)，Y=g(X)的密度函数为：|)(|)].([)('yhyhfyfXY证：则在}0)(|{yfyY内，例4.2在区间[30,60]内，h(y)=180/y,所以,301))((yhfY,180|)(|2yyh所以当]6,3[y时，运用公式得到：226180301|)(|))(())((yyyhyhfyhfXY时，Y的概率密度0y0)(yfY解是单调增加的函数，其导函数恒不为零，xey,lnyx反函数为例设随机变量X的密度函数为2221)(xXexfXeY求的密度函数.值域为y0，由定理可得，当ydydx1（教材P65）时，概率密度为0yyyfyfXY1)(ln)(yey1212ln22ln221yey当的概率密度为XeY0,00,21)(2ln2yyeyyfyY从而