第二章§1线性规划§2.2非线性规划模型

数学建模电子教案第2次课课题第二章数学规划模型§2.1线性规划模型§2.2非线性规划模型教学内容1.线性规划模型的建立2.线性规划模型的求解3.非线性规划模型建立及求解教学目标1.使学生掌握基本的建立线性规划模型的方法2.能运用Matlab及Mathematica软件求解简单数学规划问题。教学重点线性规划模型的实际应用教学难点线性规划模型的理论讲解双语教学内容、安排LinearProgramming线性规划subjectto约束Non-linearProgramming非线性规划教学手段、措施以板演为主,多媒体教学及课堂讨论为辅.作业、后记课后作业:P43,1-2教学过程及教学设计备注§2.1线性规划模型数学规划模型的一般表达式：),,(min(max)xf0),,(..xgts其中f为目标函数，g为约束函数，x为可控变量，为已知参数，为随机参数。数学规划分为线性规划、非线性规划、动态规划、整数规划等十几种。一．线性规划的一般形式及其解的概念1.线性规划:通常把目标函数及约束都是线性表达式的规划问题称为线性规划，一般可表示为：)1(),,2,1(0.min221122222121112121112211nixbxaxaxabxaxaxabxaxaxatsxcxcxcfimnmnmmnnnnnnTncccC),,,(21其中：，TnxxxX),,,(21，nmijaA)(，Tmbbbb),,,(21则线性规划模型（1）可表示为矩阵的形式：线性规划研究的实际问题多种多样，如生产计划问题、物资运输问题、合理下料问题、库存问题、劳动力问题、最优设计问题等。线形规划模型类似于高等数学中的条件极值问题，只是其目标函数和约束条件都限定为线性函数。线性规划模数学建模电子教案第2次课0)2(.minXbAXtsXCfT2.线性规划的可行解:满足约束条件的解；3.线性规划的最优解:使目标函数达到最优的可行解。二．软件求解命令求解线性规划的软件很多，下面介绍Mathematica和MATLAB软件。（1）Mathematica命令①可用于求解各种形式线性规划命令。命令输入格式c=c1x1+c2x2+…+cnxn；m={a11x1+a12x2+…+a1nxn=b1，…am1x1+am2x2+…+amnxn=bm}；ConstrainedMin[c，m，{x1,x2,…,xn}]（用于求极小）或Constrained-Max[c，m，{x1,x2,…,xn}]（用于求极大）（2）MATLAB命令命令输入格式),,,,,,(nEqxoxUBxLBbAclpX它用于求解线性规划模型：2211.'minbxAbxAtsxcf2121,bbbAAA其中：，x0是算法迭代的初始点可任意取，nEq表示等式约束的个数。三、模型示范例1、（生产组织与计划问题）某工厂计划生产甲、乙两种产品，主要材料有钢材3600kg、专用设备能力3000台时。材料与设备能力的消耗定额以及单位产品所获利润如下表所示，问如何安排生产，才能使该厂所获利润最大（只需建立数学模型）。单位产品消产甲（件）乙（件）现有材料与备材料与设备耗定额品设备能力钢材（kg）943600铜材（kg）452000设备能力（台时）3103000单位产品的利润（元）70120建模过程：设甲、乙两种产品计划生产量分别为1x，2x(件)，总的利润为z(元)。求变量1x，型的求解方法目前仍以单纯形法为主要方法。对线性规划模型（1），求解结果有以下三种情况出现：①有最优解，即在可行解中能找到最优解。②有可行解，但无最优解。③无可行解，即不存在满足约束条件的解。数学建模电子教案第2次课2x的值为多少时，才能使总利润2120701xxz最大？建立数学模型：0,3000103200054360049..12070max2121212121xxxxxxxxtsxxz例2、（营养配餐问题）每种蔬菜含有的营养素成份是不同的从医学上知道每人每周对每种营养成分的最低需求量。某医院营养室在制定下一周菜单时，需要确定表6—1中所列六种蔬菜的供应量，以便使费用最小而又能满足营养素等其它方面的要求。规定白菜的供应一周内不多于20千克，其它蔬菜的供应在一周内不多于40千克，每周共需供应140千克蔬菜，为了使费用最小又满足营养素等其它方面的要求，问在下一周内应当供应每种蔬菜各多少千克？建模过程：设)6,,1(ixi分别表示在下一周内应当供应的青豆、胡萝卜、菜花、白菜、甜菜及土豆的量，则费用的目标函数为：654321362855xxxxxxf建立数学模型：580.025.015.060.035.030.0245852753381750023515752550906541525752225592810650.050.040.005.145.045.0140.362855min654321654321654321654321654321654321654321xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxtsxxxxxxf0≤x1≤40，0≤x2≤40，0≤x3≤40，0≤x4≤20，0≤x5≤40，0≤x6≤40运用MATLAB程序求解得青豆—40，胡罗卜—40.0000，菜花—0，白菜—20.0000，甜菜—0，土豆—40，最小费用—560.0000。例3、（背包问题）有n件物品，编号为n,,2,1。第i件重为iakg，价值为ip元。今一装包者欲将这些物品装入一包，其质量不能超过akg，问应装入哪几件价值最大？建模过程：设物品装包不将物品装包将iixi01，建立模型：背包问题看似简单，但应用很数学建模电子教案第2次课nixaxatsxpziniiinii,,2,1,10..max1或例4、（投资场所的选定——相互排斥的计划）某公司拟在市东、西、南三区建立门市部。拟议中有7个位置（点）)7,,2,1(iAi可供选择。规定在东区，由321,,AAA三个点中至多选两个；在西区，由54,AA两个点中至少选一个；在南区，由76,AA两个点中至少选一个。如选用iA点，设备投资估计为ib元，每年可获利润估计为ic元，但投资总额不能超过B元。问应选择哪几个点可使年利润为最大？建模过程：引入10变量)7,,2,1(ixi，令.0,1点没被选中当点被选中当，，iAiAix7,,2,1i.建立模型：iiixcz71max10,112765432171或iiiixxxxxxxxBxb§2.2非线性规划模型在数学规划问题中，当目标函数或约束函数中至少有一个是非线性函数时称这类问题为非线性规划。一、非线性规划的一般（标准）形式1.非线性规划：设,(1,2,...,),(1,2,...,)ijfgimhjl均为nR上的实值函数，我们称min..0,1,,0,1,,ijfxNLPstgximhxjl为非线性规划的标准（一般）形式。2..可行域:如果令广，例如某些投资问题即可归入背包问题模型。当目标函数及约束函数是线性函数时，（NLP）就变成（LP）。数学建模电子教案第2次课0,0,1,,,1,,nijxRgxhximjl称为可行域，则可（NLP）写成简单形式minxNLPfx3.无约束问题与约束问题：当nR时，称为无约束问题，否则称为约束问题。二．模型示范例5、某装饰材料公司欲以每桶2元的价钱购进一批彩漆。一般来说随着彩漆售价的提高，预期销售量将减少，并对此进行了估算，见表1。为了尽快收回资金并获得较多的赢利，装饰材料公司打算做广告，投入一定的广告费后，销售量将有一个增长，可由销售增长因子来表示。根据经验，广告费与销售增长因子关系见表2。现在的问题是装饰材料公司采取怎样的营销战略预期的利润最大？表1表2建模过程：设x表示售价（单位：元），y表示预期销售量（单位：桶），z表示广告费（单位：元），k表示销售增长因子。投入广告费后，实际销售量记为s，获得的利润记为P（单位：元）。由表1易见预期销售量y随着售价x的增加而单调下降，而销售增长因子k在开始时随着广告费z的增加而增加，在广告费z等于50000元时达到最大值，然后在广告费增加时反而有所回落，为此可用Mathematica画出散点图。运行之后，可显示图1，图2图-1图-2售价（元）预期销售量（桶）2.00410002.50380003.00340003.50320004.00290004.50280005.00250005.50220006.0020000广告费（元）销售增长因子01.00100001.40200001.70300001.85400001.95500002.00600001.95700001.80数学建模电子教案第2次课从图1和图2易见，售价x与预期销售量y近似于一条直线，广告费z与销售增长因子k近似于一条二次曲线。为此可令：yabx2kcdzez系数,,,,abcde是待定参数。建立模型：0,0.)2)()((max2.zxtszxbxaezdzcPzx模型求解：首先利用Mathematica计算（1）（2）中的参数,,,,abcde，并画出散点图和拟合曲线。文件名：ch622.maf3=Fit[d1,{1,x},x]f4=Plot[f3,{x,1,7}]Show[f1,f4]f5=Fit[d2,{1,x,x^2},x]f6=Plot[f5,{x,0,70000}]Show[f2,f6]运行之后，显示Out[3]=50422.2-5133.33xOut[5]=1.01875+0.0000409226x-4.2559510-10x2图-3图-4及拟合曲线图-3和图-4。图-3即：1051025595.4,1009226.4,01875.133.5133,2.50422edcba其次用MATLAB求解优化模型，因MATLAB中仅能求极小值，为此将优化模型转化为0,0.)2)()(()min(2zxtsxbxaezdzczP且x=5.9113，z=33113，函数P达到最大值16670。