第二章作业解答

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资源描述

2.1已知某一区域中给定瞬间的电流密度)(333zyxezeyexCJ,其中C是大于零的常量,求:在此瞬间,点(1,-1,2)处电荷密度的时间变化率;解:由电流连续性方程0=tρJP26(2.2-8)所以电荷密度的时间变化率为:)333()()()(222333zyxzCzyCyxCxzJyJxJJtzyx在点(1,-1,2)处的电荷密度的时间变化率为-18C。2.2设在某静电场域中任意点的电场强度均平行于x轴。证明:(1)E与坐标y,z无关;(2)若此区域中没有电荷,则E与坐标x无关。证明:(1)因为任意点的电场强度均平行于x轴,这说明电场强度的振动方向沿x方向,电场强度E的表达式可写为),,(zyxEeExx又因为是静电场,为有源无旋场,所以该电场强度的旋度为零。即000yEezEeEzyxeeeEEEzyxeeeExzxyxzyxzyxzyx所以0zEx并且0yEx,这就说明分量Ex与坐标y,z无关,即电场强度E与坐标y,z无关(2)因为此区域没有电荷,这说明此区域没有电场的源,0,电场的散度也为零,即0xEzEyExEExzyx,所以E与坐标x无关。2.5从微分形式麦克斯韦方程组导出电流连续性方程解:微分形式的麦克斯韦方程组DBtBEtDJH0,其中和电流有关的是第一个全电流方程tDJH因为矢量的旋度的散度恒为零,即0)(H,所以0tDJ即tDJtDJ(因为是对空间坐标求导,t是对时间求导,二者相互独立,可以互换)也就是说0tJtDJ,即电流连续性方程。得证。2.6试证明通过电容器的位移电流等于导线中的传导电流证明:假设平行电容器之间的介质的介电常数为,电容器的面积为S,电容器间距为d。根据图示可知,位移电流Id与传导电流If方向相同根据定义位移电流密度为:tEtDJd;因为电场强度dUE,所以tUdJd。位移电流fddItQtCUtUCtUdSSJI)(dJ其中电容器的电容UQdSC2.7线性各向均匀介质中某点的极化强度zyxeeeP53018,5.20zD,求这点的E和D解:极化强度DDEEPrrrr)11()1()1(0000所以zrzDP11,1.31.41.41115.2051111zzrDP所以电位移矢量zyxrrrreeePPPPPD5.201238.731.411.31.4111111111电场强度1201075.15.103.6zyxreeeDE2.9有一个内、外半径分别为a和b,介质常数为的介质球壳,其中有密度为的均匀电荷,求任一点的电位移矢量及球壳内的极化电荷密度。解:由球对称性可知,电位移矢量的方向沿着球的半径方向,大小随着半径r的变化而变化。根据积分形式的麦克斯韦定理vSfdVQSdD分段考虑:(1)若0ra,则0Q,0D(2)若bra,由于电荷均匀分布,则3334arQ,QrD24*所以233233234344rarrarrQD(3)若br,由于电荷均匀分布,则3334abQ,QrD24*,所以233233234344rabrabrQD(4)球壳内的极化电荷密度满足Pp(P242.1-23)根据极化强度P和电位移矢量D之间的关系即EEPr)1(00(P252.1-31);EDr0(P252.1-32)DDEPrrrr11)1()1(000所以球壳内的极化电荷密度为*1*11*11110rrrpDDP

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