第二章作业解答

2.1已知某一区域中给定瞬间的电流密度)(333zyxezeyexCJ，其中C是大于零的常量，求：在此瞬间，点（1，-1，2）处电荷密度的时间变化率；解：由电流连续性方程0＝tρJP26（2.2-8）所以电荷密度的时间变化率为：)333()()()(222333zyxzCzyCyxCxzJyJxJJtzyx在点（1，-1，2）处的电荷密度的时间变化率为-18C。2.2设在某静电场域中任意点的电场强度均平行于x轴。证明：（1）E与坐标y，z无关；（2）若此区域中没有电荷，则E与坐标x无关。证明：（1）因为任意点的电场强度均平行于x轴，这说明电场强度的振动方向沿x方向，电场强度E的表达式可写为),,(zyxEeExx又因为是静电场，为有源无旋场，所以该电场强度的旋度为零。即000yEezEeEzyxeeeEEEzyxeeeExzxyxzyxzyxzyx所以0zEx并且0yEx，这就说明分量Ex与坐标y，z无关，即电场强度E与坐标y，z无关（2）因为此区域没有电荷，这说明此区域没有电场的源，0，电场的散度也为零，即0xEzEyExEExzyx，所以E与坐标x无关。2.5从微分形式麦克斯韦方程组导出电流连续性方程解：微分形式的麦克斯韦方程组DBtBEtDJH0，其中和电流有关的是第一个全电流方程tDJH因为矢量的旋度的散度恒为零，即0)(H，所以0tDJ即tDJtDJ（因为是对空间坐标求导，t是对时间求导，二者相互独立，可以互换）也就是说0tJtDJ，即电流连续性方程。得证。2.6试证明通过电容器的位移电流等于导线中的传导电流证明：假设平行电容器之间的介质的介电常数为，电容器的面积为S，电容器间距为d。根据图示可知，位移电流Id与传导电流If方向相同根据定义位移电流密度为：tEtDJd；因为电场强度dUE，所以tUdJd。位移电流fddItQtCUtUCtUdSSJI)(dJ其中电容器的电容UQdSC2.7线性各向均匀介质中某点的极化强度zyxeeeP53018，5.20zD，求这点的E和D解：极化强度DDEEPrrrr)11()1()1(0000所以zrzDP11，1.31.41.41115.2051111zzrDP所以电位移矢量zyxrrrreeePPPPPD5.201238.731.411.31.4111111111电场强度1201075.15.103.6zyxreeeDE2.9有一个内、外半径分别为a和b，介质常数为的介质球壳，其中有密度为的均匀电荷，求任一点的电位移矢量及球壳内的极化电荷密度。解：由球对称性可知，电位移矢量的方向沿着球的半径方向，大小随着半径r的变化而变化。根据积分形式的麦克斯韦定理vSfdVQSdD分段考虑：（1）若0ra，则0Q，0D（2）若bra，由于电荷均匀分布，则3334arQ，QrD24*所以233233234344rarrarrQD（3）若br，由于电荷均匀分布，则3334abQ，QrD24*，所以233233234344rabrabrQD（4）球壳内的极化电荷密度满足Pp（P242.1-23）根据极化强度P和电位移矢量D之间的关系即EEPr)1(00（P252.1-31）；EDr0（P252.1-32）DDEPrrrr11)1()1(000所以球壳内的极化电荷密度为*1*11*11110rrrpDDP