第二章信源熵-习题答案

·1·2.1试问四进制、八进制脉冲所含信息量是二进制脉冲的多少倍？解：四进制脉冲可以表示4个不同的消息，例如：{0,1,2,3}八进制脉冲可以表示8个不同的消息，例如：{0,1,2,3,4,5,6,7}二进制脉冲可以表示2个不同的消息，例如：{0,1}假设每个消息的发出都是等概率的，则：四进制脉冲的平均信息量H(X1)=log2n=log24=2bit/symbol八进制脉冲的平均信息量H(X2)=log2n=log28=3bit/symbol二进制脉冲的平均信息量H(X0)=log2n=log22=1bit/symbol所以：四进制、八进制脉冲所含信息量分别是二进制脉冲信息量的2倍和3倍。2.2居住某地区的女孩子有25%是大学生，在女大学生中有75%是身高160厘米以上的，而女孩子中身高160厘米以上的占总数的一半。假如我们得知“身高160厘米以上的某女孩是大学生”的消息，问获得多少信息量？解：设随机变量X代表女孩子学历Xx1（是大学生）x2（不是大学生）P(X)0.250.75设随机变量Y代表女孩子身高Yy1（身高160cm）y2（身高160cm）P(Y)0.50.5已知：在女大学生中有75%是身高160厘米以上的即：p(y1/x1)=0.75求：身高160厘米以上的某女孩是大学生的信息量即：bitypxypxpyxpyxI415.15.075.025.0log)()/()(log)/(log)/(21111211112.3一副充分洗乱了的牌（含52张牌），试问(1)任一特定排列所给出的信息量是多少？(2)若从中抽取13张牌，所给出的点数都不相同能得到多少信息量？解：(1)52张牌共有52！种排列方式，假设每种排列方式出现是等概率的则所给出的信息量是：bitxpxIii581.225!52log)(log)(2(2)52张牌共有4种花色、13种点数，抽取13张点数不同的牌的概率如下：bitCxpxICxpiii208.134log)(log)(4)(13521322135213·2·2.4设离散无记忆信源8/14/1324/18/310)(4321xxxxXPX，其发出的信息为(202120130213001203210110321010021032011223210)，求(1)此消息的自信息量是多少？(2)此消息中平均每符号携带的信息量是多少？解：(1)此消息总共有14个0、13个1、12个2、6个3，因此此消息发出的概率是：62514814183p此消息的信息量是：bitpI811.87log2(2)此消息中平均每符号携带的信息量是：bitnI951.145/811.87/2.5从大量统计资料知道，男性中红绿色盲的发病率为7%，女性发病率为0.5%，如果你问一位男士：“你是否是色盲？”他的回答可能是“是”，可能是“否”，问这两个回答中各含多少信息量，平均每个回答中含有多少信息量？如果问一位女士，则答案中含有的平均自信息量是多少？解：男士：symbolbitxpxpXHbitxpxIxpbitxpxIxpiiiNNNYYY/366.0)93.0log93.007.0log07.0()(log)()(105.093.0log)(log)(%93)(837.307.0log)(log)(%7)(22222222女士：symbolbitxpxpXHiii/045.0)995.0log995.0005.0log005.0()(log)()(22222.6设信源17.016.017.018.019.02.0)(654321xxxxxxXPX，求这个信源的熵，并解释为什么H(X)log6不满足信源熵的极值性。解：585.26log)(/657.2)17.0log17.016.0log16.017.0log17.018.0log18.019.0log19.02.0log2.0()(log)()(222222262XHsymbolbitxpxpXHiii不满足极值性的原因是107.1)(6iixp。·3·2.7证明：H(X3/X1X2)≤H(X3/X1)，并说明当X1,X2,X3是马氏链时等式成立。证明：0log1)/()(log)()/()(log1)/()/()()/()/(log)()/(log)()/(log)()/(log)()/(log)()/()/(2123132121233211231321123221313321123213133211231332112321332113133112321332113213exxpxxpexxxpxxpxxpexxxpxxpxxxpxxxpxxpxxxpxxpxxxpxxxpxxxpxxpxxpxxxpxxxpXXHXXXHiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiii氏链是马等式成立的条件是时等式成立当_,,)/()/()/()()/()/()()()/()/()()/()/(01)/()/()/()/(321132131232113121212131321213132131313213XXXxxxpxxpxxpxxxpxxpxxpxpxxpxxxpxxpxxpxxxpxxpxxxpxxpXXHXXXHiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiii2.8证明：H(X1X2。。。Xn)≤H(X1)+H(X2)+…+H(Xn)。证明：)(...)()()()...().../()(0)...;(...)/()(0);()/()(0);().../(...)/()/()()...(3212112112121332131221212121312121NNNNNNNNNNXHXHXHXHXXXHXXXXHXHXXXXIXXXHXHXXXIXXHXHXXIXXXXHXXXHXXHXHXXXH2.9设有一个信源，它产生0，1序列的信息。它在任意时间而且不论以前发生过什么符号，均按P(0)=0.4，P(1)=0.6的概率发出符号。(1)试问这个信源是否是平稳的？(2)试计算H(X2),H(X3/X1X2)及H∞；(3)试计算H(X4)并写出X4信源中可能有的所有符号。解：(1)这个信源是平稳无记忆信源。因为有这些词语：“它在任意时间．．．．而且不论以前发生过什么符号．．．．．．．．．．．……”·4·(2)symbolbitXHHsymbolbitxpxpXHXXXHsymbolbitXHXHiii/971.0)(/971.0)6.0log6.04.0log4.0()(log)()()/(/942.1)6.0log6.04.0log4.0(2)(2)(2223213222(3)1011111111101101110010101001100001110110010101000011001000010000的所有符号：/884.3)6.0log6.04.0log4.0(4)(4)(4224XsymbolbitXHXH2.10一阶马尔可夫信源的状态图如下图所示。信源X的符号集为{0,1,2}。(1)求平稳后信源的概率分布；(2)求信源的熵H∞。201PPPPPP解：(1)3/1)(3/1)(3/1)(1)()()()()()()()()()()()()()()()/()()/()()()/()()/()()()/()()/()()(321321321133322211131333332322222121111epepepepepepepepepeppeppepeppeppepeppeppepeepepeepepepeepepeepepepeepepeepepep·5·3/123/113/10)(3/13/)()()()/()()/()()(3/13/)()()()/()()/()()(3/13/)()()()/()()/()()(131313333323232222212121111XPXppeppeppexpepexpepxpppeppeppexpepexpepxpppeppeppexpepexpepxp(2)symbolbitppppppppppppppppeepeepeepeepeepeepeepeepeepeepeepeepeepeepeepeepeepeepeepeepepHijijiji/logloglog31log31log31log31log31log31)/(log)/(31)/(log)/(31)/(log)/(31)/(log)/(31)/(log)/(31)/(log)/(31)/(log)/(31)/(log)/(31)/(log)/(31)/(log)/()(22222222332333223231231232232222221221132131221211211332.11黑白气象传真图的消息只有黑色和白色两种，即信源X={黑，白}。设黑色出现的概率为P(黑)=0.3，白色出现的概率为P(白)=0.7。(1)假设图上黑白消息出现前后没有关联，求熵H(X)；(2)假设消息前后有关联，其依赖关系为P(白/白)=0.9，P(黑/白)=0.1，P(白/黑)=0.2，P(黑/黑)=0.8，求此一阶马尔可夫信源的熵H2(X);(3)分别求上述两种信源的剩余度，比较H(X)和H2(X)的大小，并说明其物理含义。解：(1)symbolbitxpxpXHiii/881.010log)7.0log7.03.0log3.0()(log)()(2(2)symbolbiteepeepepHepepepepepepepepepepepepeepepeepepepeepepeepepepijijiji/553.010log)9.0log9.0321.0log1.0322.0log2.0318.0log8.031()/(log)/()(3/2)(3/1)(1)()()(2)()(2.0)(9.0)()(1.0)(8.0)()/()()/()()()/()()/()()(221211212221112122222121111黑白p(黑/黑)=0.8e1e2p(白/白)=0.9p(白/白)=0.1p(白/黑)=0.2·6·(3)%7.442log553.02log%9.112log881.02log2200122001HHHHHHH(X)H2(X)表示的物理含义是：无记忆信源的不确定度大与有记忆信源的不确定度，有记忆信源的结构化信息较多，能够进行较大程度的压缩。2.12同时掷出两个正常的骰子，也就是各面呈现的概率都为1/6，求：(1)“3和5同时出现”这事件的自信息；(2)“两个1同时出现”这事件的自信息；(3)两个点数的各种组合（无序）对的熵和平均信息量；(4)两个点数之和（即2,3,…,12构成的子集）的熵；(5)两个点数中至少有一个是1的自信息量。解：(